MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Unicode version

Theorem pire 23278
Description:  pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire  |-  pi  e.  RR

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 23274 . . 3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
21simpli 459 . 2  |-  pi  e.  ( 2 (,) 4
)
3 elioore 11666 . 2  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  pi  e.  RR )
42, 3ax-mp 5 1  |-  pi  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   2c2 10659   4c4 10661   (,)cioo 11635   sincsin 14094   picpi 14097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699
This theorem is referenced by:  picn  23279  pipos  23280  pirp  23281  sinhalfpilem  23283  halfpire  23284  sincosq1lem  23317  sincosq2sgn  23319  sincosq3sgn  23320  sincosq4sgn  23321  coseq00topi  23322  coseq0negpitopi  23323  tangtx  23325  sinq12gt0  23327  sinq12ge0  23328  sinq34lt0t  23329  cosq14gt0  23330  cosq14ge0  23331  sincos4thpi  23333  tan4thpi  23334  sincos6thpi  23335  pige3  23337  coskpi  23340  sineq0  23341  coseq1  23342  efeq1  23343  cosne0  23344  cosordlem  23345  cosord  23346  cos11  23347  sinord  23348  recosf1o  23349  resinf1o  23350  tanord1  23351  negpitopissre  23354  efif1olem1  23356  efif1olem2  23357  efif1olem4  23359  efif1o  23360  efifo  23361  eff1o  23363  ellogrn  23374  relogrn  23376  logimclad  23387  abslogimle  23388  logneg  23402  lognegb  23404  eflogeq  23416  logcj  23420  argregt0  23424  argrege0  23425  argimgt0  23426  argimlt0  23427  logimul  23428  logneg2  23429  abslogle  23432  logcnlem3  23454  dvloglem  23458  logf1o2  23460  efopnlem1  23466  efopnlem2  23467  cxpsqrtlem  23512  abscxpbnd  23558  root1eq1  23560  logreclem  23564  ang180lem1  23603  ang180lem2  23604  ang180lem3  23605  ang180lem4  23606  isosctrlem1  23612  1cubrlem  23632  asinneg  23677  asinsin  23683  asin1  23685  acosbnd  23691  atanlogaddlem  23704  atanlogsublem  23706  atanlogsub  23707  atantan  23714  atanbndlem  23716  atan1  23719  o1cxp  23765  lgamgulmlem4  23822  lgamgulmlem5  23823  lgamgulmlem6  23824  lgambdd  23827  basellem1  23870  basellem4  23873  basellem8  23877  basellem9  23878  circum  30106  logi  30157  bj-pinftyccb  31408  bj-minftyccb  31412  bj-pinftynminfty  31414  taupi  31469  sin2h  31639  cos2h  31640  tan2h  31641  pigt3  31642  dvtanlemOLD  31695  proot1ex  35777  isosctrlem1ALT  36971  sineq0ALT  36974  negpilt0  37099  coseq0  37311  sinaover2ne0  37315  itgsin0pilem1  37395  itgsinexplem1  37399  itgsinexp  37400  wallispilem1  37496  wallispilem2  37497  wallispi  37501  stirlinglem15  37519  stirlingr  37521  dirker2re  37523  dirkerval2  37525  dirkerre  37526  dirkerper  37527  dirkertrigeqlem2  37530  dirkertrigeqlem3  37531  dirkertrigeq  37532  dirkeritg  37533  dirkercncflem1  37534  dirkercncflem2  37535  dirkercncflem4  37537  fourierdlem5  37543  fourierdlem9  37547  fourierdlem16  37554  fourierdlem18  37556  fourierdlem21  37559  fourierdlem22  37560  fourierdlem24  37562  fourierdlem38  37576  fourierdlem40  37578  fourierdlem43  37581  fourierdlem44  37582  fourierdlem46  37584  fourierdlem50  37588  fourierdlem58  37596  fourierdlem62  37600  fourierdlem66  37604  fourierdlem72  37610  fourierdlem74  37612  fourierdlem75  37613  fourierdlem76  37614  fourierdlem77  37615  fourierdlem78  37616  fourierdlem83  37621  fourierdlem85  37623  fourierdlem87  37625  fourierdlem88  37626  fourierdlem93  37631  fourierdlem94  37632  fourierdlem95  37633  fourierdlem101  37639  fourierdlem102  37640  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642  fourierdlem111  37649  fourierdlem112  37650  fourierdlem113  37651  fourierdlem114  37652  sqwvfoura  37660  sqwvfourb  37661  fourierswlem  37662  fouriersw  37663  fouriercn  37664
  Copyright terms: Public domain W3C validator