MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pire 23462
Description:  pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire  |-  pi  e.  RR

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 23458 . . 3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
21simpli 464 . 2  |-  pi  e.  ( 2 (,) 4
)
3 elioore 11695 . 2  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  pi  e.  RR )
42, 3ax-mp 5 1  |-  pi  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1455    e. wcel 1898   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   RRcr 9564   0cc0 9565   2c2 10687   4c4 10689   (,)cioo 11664   sincsin 14165   picpi 14168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-ef 14170  df-sin 14172  df-cos 14173  df-pi 14175  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-limc 22870  df-dv 22871
This theorem is referenced by:  picn  23463  pipos  23464  pirp  23465  sinhalfpilem  23467  halfpire  23468  sincosq1lem  23501  sincosq2sgn  23503  sincosq3sgn  23504  sincosq4sgn  23505  coseq00topi  23506  coseq0negpitopi  23507  tangtx  23509  sinq12gt0  23511  sinq12ge0  23512  sinq34lt0t  23513  cosq14gt0  23514  cosq14ge0  23515  sincos4thpi  23517  tan4thpi  23518  sincos6thpi  23519  pige3  23521  coskpi  23524  sineq0  23525  coseq1  23526  efeq1  23527  cosne0  23528  cosordlem  23529  cosord  23530  cos11  23531  sinord  23532  recosf1o  23533  resinf1o  23534  tanord1  23535  negpitopissre  23538  efif1olem1  23540  efif1olem2  23541  efif1olem4  23543  efif1o  23544  efifo  23545  eff1o  23547  ellogrn  23558  relogrn  23560  logimclad  23571  abslogimle  23572  logneg  23586  lognegb  23588  eflogeq  23600  logcj  23604  argregt0  23608  argrege0  23609  argimgt0  23610  argimlt0  23611  logimul  23612  logneg2  23613  abslogle  23616  logcnlem3  23638  dvloglem  23642  logf1o2  23644  efopnlem1  23650  efopnlem2  23651  cxpsqrtlem  23696  abscxpbnd  23742  root1eq1  23744  logreclem  23748  ang180lem1  23787  ang180lem2  23788  ang180lem3  23789  ang180lem4  23790  isosctrlem1  23796  1cubrlem  23816  asinneg  23861  asinsin  23867  asin1  23869  acosbnd  23875  atanlogaddlem  23888  atanlogsublem  23890  atanlogsub  23891  atantan  23898  atanbndlem  23900  atan1  23903  o1cxp  23949  lgamgulmlem4  24006  lgamgulmlem5  24007  lgamgulmlem6  24008  lgambdd  24011  basellem1  24056  basellem4  24059  basellem8  24063  basellem9  24064  circum  30367  logi  30419  bj-pinftyccb  31708  bj-minftyccb  31712  bj-pinftynminfty  31714  taupi  31769  sin2h  31980  cos2h  31981  tan2h  31982  pigt3  31983  dvtanlemOLD  32036  proot1ex  36123  isosctrlem1ALT  37371  sineq0ALT  37374  negpilt0  37528  coseq0  37777  sinaover2ne0  37781  itgsin0pilem1  37864  itgsinexplem1  37868  itgsinexp  37869  wallispilem1  37965  wallispilem2  37966  wallispi  37970  stirlinglem15  37988  stirlingr  37990  dirker2re  37992  dirkerval2  37994  dirkerre  37995  dirkerper  37996  dirkertrigeqlem2  37999  dirkertrigeqlem3  38000  dirkertrigeq  38001  dirkeritg  38002  dirkercncflem1  38003  dirkercncflem2  38004  dirkercncflem4  38006  fourierdlem5  38012  fourierdlem9  38016  fourierdlem16  38023  fourierdlem18  38025  fourierdlem21  38028  fourierdlem22  38029  fourierdlem24  38031  fourierdlem38  38046  fourierdlem40  38048  fourierdlem43  38052  fourierdlem44  38053  fourierdlem46  38054  fourierdlem50  38058  fourierdlem58  38066  fourierdlem62  38070  fourierdlem66  38074  fourierdlem72  38080  fourierdlem74  38082  fourierdlem75  38083  fourierdlem76  38084  fourierdlem77  38085  fourierdlem78  38086  fourierdlem83  38091  fourierdlem85  38093  fourierdlem87  38095  fourierdlem88  38096  fourierdlem93  38101  fourierdlem94  38102  fourierdlem95  38103  fourierdlem101  38109  fourierdlem102  38110  fourierdlem103  38111  fourierdlem104  38112  fourierdlem111  38119  fourierdlem112  38120  fourierdlem113  38121  fourierdlem114  38122  sqwvfoura  38130  sqwvfourb  38131  fourierswlem  38132  fouriersw  38133  fouriercn  38134
  Copyright terms: Public domain W3C validator