MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Unicode version

Theorem pire 22613
Description:  pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire  |-  pi  e.  RR

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 22610 . . 3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
21simpli 458 . 2  |-  pi  e.  ( 2 (,) 4
)
3 elioore 11559 . 2  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  pi  e.  RR )
42, 3ax-mp 5 1  |-  pi  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   2c2 10585   4c4 10587   (,)cioo 11529   sincsin 13661   picpi 13664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034
This theorem is referenced by:  picn  22614  pipos  22615  sinhalfpilem  22617  halfpire  22618  sincosq1lem  22651  sincosq2sgn  22653  sincosq3sgn  22654  sincosq4sgn  22655  coseq00topi  22656  coseq0negpitopi  22657  tangtx  22659  sinq12gt0  22661  sinq12ge0  22662  sinq34lt0t  22663  cosq14gt0  22664  cosq14ge0  22665  sincos4thpi  22667  tan4thpi  22668  sincos6thpi  22669  pige3  22671  coskpi  22674  sineq0  22675  coseq1  22676  efeq1  22677  cosne0  22678  cosordlem  22679  cosord  22680  cos11  22681  sinord  22682  recosf1o  22683  resinf1o  22684  tanord1  22685  tanregt0  22687  negpitopissre  22688  efif1olem1  22690  efif1olem2  22691  efif1olem4  22693  efif1o  22694  efifo  22695  eff1o  22697  ellogrn  22703  relogrn  22705  logimclad  22716  abslogimle  22717  logneg  22728  lognegb  22730  eflogeq  22742  logcj  22747  argregt0  22751  argrege0  22752  argimgt0  22753  argimlt0  22754  logimul  22755  logneg2  22756  abslogle  22759  logcnlem3  22781  dvloglem  22785  logf1o2  22787  efopnlem1  22793  efopnlem2  22794  efopn  22795  cxpsqrtlem  22839  abscxpbnd  22883  root1eq1  22885  ang180lem1  22897  ang180lem2  22898  ang180lem3  22899  ang180lem4  22900  logreclem  22906  isosctrlem1  22908  1cubrlem  22928  asinneg  22973  asinsin  22979  asin1  22981  reasinsin  22983  acosbnd  22987  atanlogaddlem  23000  atanlogsublem  23002  atanlogsub  23003  atantan  23010  atanbndlem  23012  atanbnd  23013  atan1  23015  o1cxp  23060  basellem1  23110  basellem4  23113  basellem8  23117  basellem9  23118  lgamgulmlem4  28242  lgamgulmlem5  28243  lgamgulmlem6  28244  lgambdd  28247  circum  28543  sin2h  29650  cos2h  29651  tan2h  29652  dvtanlem  29669  areacirc  29717  proot1ex  30794  negpilt0  31067  coseq0  31227  pirp2  31228  sinaover2ne0  31232  itgsin0pilem1  31295  itgsinexplem1  31299  itgsinexp  31300  wallispilem1  31393  wallispilem2  31394  wallispilem3  31395  wallispilem4  31396  wallispi  31398  stirlinglem15  31416  stirlingr  31418  dirker2re  31420  dirkerdenne0  31421  dirkerval2  31422  dirkerre  31423  dirkerper  31424  dirkertrigeqlem1  31426  dirkertrigeqlem2  31427  dirkertrigeqlem3  31428  dirkertrigeq  31429  dirkeritg  31430  dirkercncflem1  31431  dirkercncflem2  31432  dirkercncflem4  31434  fourierdlem5  31440  fourierdlem9  31444  fourierdlem16  31451  fourierdlem18  31453  fourierdlem21  31456  fourierdlem22  31457  fourierdlem24  31459  fourierdlem38  31473  fourierdlem40  31475  fourierdlem43  31478  fourierdlem44  31479  fourierdlem46  31481  fourierdlem50  31485  fourierdlem56  31491  fourierdlem58  31493  fourierdlem62  31497  fourierdlem66  31501  fourierdlem72  31507  fourierdlem74  31509  fourierdlem75  31510  fourierdlem76  31511  fourierdlem77  31512  fourierdlem78  31513  fourierdlem83  31518  fourierdlem85  31520  fourierdlem87  31522  fourierdlem88  31523  fourierdlem93  31528  fourierdlem94  31529  fourierdlem95  31530  fourierdlem101  31536  fourierdlem102  31537  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  fourierdlem111  31546  fourierdlem112  31547  fourierdlem113  31548  fourierdlem114  31549  sqwvfoura  31557  sqwvfourb  31558  fourierswlem  31559  fouriersw  31560  fouriercn  31561  isosctrlem1ALT  32832  sineq0ALT  32835  bj-pirp  33698  bj-pinftyccb  33714  bj-minftyccb  33718  bj-pinftynminfty  33720  pirp  36783  taupi  36787
  Copyright terms: Public domain W3C validator