MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Unicode version

Theorem pire 21921
Description:  pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire  |-  pi  e.  RR

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 21918 . . 3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
21simpli 458 . 2  |-  pi  e.  ( 2 (,) 4
)
3 elioore 11330 . 2  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  pi  e.  RR )
42, 3ax-mp 5 1  |-  pi  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   2c2 10371   4c4 10373   (,)cioo 11300   sincsin 13349   picpi 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342
This theorem is referenced by:  picn  21922  pipos  21923  sinhalfpilem  21925  halfpire  21926  sincosq1lem  21959  sincosq2sgn  21961  sincosq3sgn  21962  sincosq4sgn  21963  coseq00topi  21964  coseq0negpitopi  21965  tangtx  21967  sinq12gt0  21969  sinq12ge0  21970  sinq34lt0t  21971  cosq14gt0  21972  cosq14ge0  21973  sincos4thpi  21975  tan4thpi  21976  sincos6thpi  21977  pige3  21979  coskpi  21982  sineq0  21983  coseq1  21984  efeq1  21985  cosne0  21986  cosordlem  21987  cosord  21988  cos11  21989  sinord  21990  recosf1o  21991  resinf1o  21992  tanord1  21993  tanregt0  21995  negpitopissre  21996  efif1olem1  21998  efif1olem2  21999  efif1olem4  22001  efif1o  22002  efifo  22003  eff1o  22005  ellogrn  22011  relogrn  22013  logimclad  22024  abslogimle  22025  logneg  22036  lognegb  22038  eflogeq  22050  logcj  22055  argregt0  22059  argrege0  22060  argimgt0  22061  argimlt0  22062  logimul  22063  logneg2  22064  abslogle  22067  logcnlem3  22089  dvloglem  22093  logf1o2  22095  efopnlem1  22101  efopnlem2  22102  efopn  22103  cxpsqrlem  22147  abscxpbnd  22191  root1eq1  22193  ang180lem1  22205  ang180lem2  22206  ang180lem3  22207  ang180lem4  22208  logreclem  22214  isosctrlem1  22216  1cubrlem  22236  asinneg  22281  asinsin  22287  asin1  22289  reasinsin  22291  acosbnd  22295  atanlogaddlem  22308  atanlogsublem  22310  atanlogsub  22311  atantan  22318  atanbndlem  22320  atanbnd  22321  atan1  22323  o1cxp  22368  basellem1  22418  basellem4  22421  basellem8  22425  basellem9  22426  lgamgulmlem4  27018  lgamgulmlem5  27019  lgamgulmlem6  27020  lgambdd  27023  circum  27319  sin2h  28422  cos2h  28423  tan2h  28424  dvtanlem  28441  areacirc  28489  proot1ex  29569  itgsin0pilem1  29790  itgsinexplem1  29794  itgsinexp  29795  wallispilem1  29860  wallispilem2  29861  wallispilem3  29862  wallispilem4  29863  wallispi  29865  stirlinglem15  29883  stirlingr  29885  isosctrlem1ALT  31670  sineq0ALT  31673  bj-pirp  32528  bj-pinftyccb  32544  bj-minftyccb  32548  bj-pinftynminfty  32550  pirp  35613  taupi  35617
  Copyright terms: Public domain W3C validator