MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pipos Structured version   Unicode version

Theorem pipos 23145
Description:  pi is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pipos  |-  0  <  pi

Proof of Theorem pipos
StepHypRef Expression
1 2pos 10668 . 2  |-  0  <  2
2 pigt2lt4 23141 . . 3  |-  ( 2  <  pi  /\  pi  <  4 )
32simpli 456 . 2  |-  2  <  pi
4 0re 9626 . . 3  |-  0  e.  RR
5 2re 10646 . . 3  |-  2  e.  RR
6 pire 23143 . . 3  |-  pi  e.  RR
74, 5, 6lttri 9742 . 2  |-  ( ( 0  <  2  /\  2  <  pi )  ->  0  <  pi )
81, 3, 7mp2an 670 1  |-  0  <  pi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4395   0cc0 9522    < clt 9658   2c2 10626   4c4 10628   picpi 14011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563
This theorem is referenced by:  pirp  23146  sinhalfpilem  23148  sincos4thpi  23198  sincos6thpi  23200  sineq0  23206  coseq1  23207  efeq1  23208  cosne0  23209  recosf1o  23214  tanord1  23216  efif1olem2  23222  efif1olem4  23224  relogrn  23241  logneg  23267  eflogeq  23281  logneg2  23294  logf1o2  23325  root1eq1  23425  logbrec  23449  ang180lem1  23468  ang180lem2  23469  ang180lem3  23470  asin1  23550  basellem4  23738  logi  29943  bj-pinftyccb  31188  bj-minftyccb  31192  bj-pinftynminfty  31194  tan2h  31419  dvtanlemOLD  31437  proot1ex  35525  isosctrlem1ALT  36765  sineq0ALT  36768  negpilt0  36836  coseq0  37032  sinaover2ne0  37036  itgsin0pilem1  37116  itgsinexplem1  37120  wallispilem2  37216  wallispi  37220  stirlinglem15  37238  stirlingr  37240  dirker2re  37242  dirkerdenne0  37243  dirkerval2  37244  dirkerre  37245  dirkertrigeqlem1  37248  dirkertrigeqlem2  37249  dirkertrigeqlem3  37250  dirkertrigeq  37251  dirkeritg  37252  dirkercncflem1  37253  dirkercncflem2  37254  dirkercncflem4  37256  fourierdlem16  37273  fourierdlem21  37278  fourierdlem22  37279  fourierdlem24  37281  fourierdlem62  37319  fourierdlem66  37323  fourierdlem83  37340  fourierdlem94  37351  fourierdlem95  37352  fourierdlem102  37359  fourierdlem103  37360  fourierdlem104  37361  fourierdlem111  37368  fourierdlem112  37369  fourierdlem113  37370  fourierdlem114  37371  sqwvfoura  37379  sqwvfourb  37380  fourierswlem  37381  fouriersw  37382
  Copyright terms: Public domain W3C validator