Theorem pilog 8851

Description: Relationship between pi and the natural logarithm function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pilog	|- pi = (i x. (log` -u1))

Proof of Theorem pilog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 5335	. . . . . . 7 |- i e. CC
2		pire 8760	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3	2	recni 5379	. . . . . . 7 |- pi e. CC
4	1, 3	mulcli 5386	. . . . . 6 |- (i x. pi) e. CC
5		1z 6241	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
6		znegcl 6245	. . . . . . 7 |- (1 e. ZZ -> -u1 e. ZZ)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- -u1 e. ZZ
8		efper 8830	. . . . . 6 |- (((i x. pi) e. CC /\ -u1 e. ZZ) -> (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi)))
9	4, 7, 8	mp2an 709	. . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi))
10		2cn 6041	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
11	10, 3	mulcli 5386	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. pi) e. CC
12	1, 11	mulcli 5386	. . . . . . . . 9 |- (i x. (2 x. pi)) e. CC
13	4, 12	negsubi 5446	. . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
14		zcn 6222	. . . . . . . . . . . 12 |- (-u1 e. ZZ -> -u1 e. CC)
15	7, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
16	12, 15	mulcomi 5388	. . . . . . . . . 10 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = (-u1 x. (i x. (2 x. pi)))
17	12	mulm1i 5537	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. (i x. (2 x. pi))) = -u(i x. (2 x. pi))
18	16, 17	eqtri 1542	. . . . . . . . 9 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = -u(i x. (2 x. pi))
19	18	opreq2i 4030	. . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi)))
20	1, 3, 11	subdii 5494	. . . . . . . 8 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
21	13, 19, 20	3eqtr4i 1552	. . . . . . 7 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = (i x. (pi - (2 x. pi)))
22	11, 3	negsubdi2i 5515	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = (pi - (2 x. pi))
23	3	2timesi 6064	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
24	23	eqcomi 1526	. . . . . . . . . . 11 |- (pi + pi) = (2 x. pi)
25	11, 3, 3, 24	subaddrii 5437	. . . . . . . . . 10 |- ((2 x. pi) - pi) = pi
26	25	negeqi 5425	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = -upi
27	22, 26	eqtr3i 1544	. . . . . . . 8 |- (pi - (2 x. pi)) = -upi
28	27	opreq2i 4030	. . . . . . 7 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = (i x. -upi)
29	1, 3	mulneg2i 5511	. . . . . . 7 |- (i x. -upi) = -u(i x. pi)
30	21, 28, 29	3eqtri 1546	. . . . . 6 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = -u(i x. pi)
31	30	fveq2i 3784	. . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` -u(i x. pi))
32		df-neg 5423	. . . . . 6 |- -u1 = (0 - 1)
33		eulerid 8766	. . . . . . 7 |- ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0
34		0cn 5393	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
35		ax1cn 5334	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36		efcl 7402	. . . . . . . . 9 |- ((i x. pi) e. CC -> (exp` (i x. pi)) e. CC)
37	4, 36	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` (i x. pi)) e. CC
38	34, 35, 37	subadd2i 5438	. . . . . . 7 |- ((0 - 1) = (exp` (i x. pi)) <-> ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0)
39	33, 38	mpbir 197	. . . . . 6 |- (0 - 1) = (exp` (i x. pi))
40	32, 39	eqtr2i 1543	. . . . 5 |- (exp` (i x. pi)) = -u1
41	9, 31, 40	3eqtr3i 1550	. . . 4 |- (exp` -u(i x. pi)) = -u1
42		ax1ne0 5345	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
43	35, 42	negn0i 5866	. . . . 5 |- -u1 =/= 0
44		fveq2 3781	. . . . . . . . 9 |- (x = -u(i x. pi) -> (Im` x) = (Im` -u(i x. pi)))
45	44	eleq1d 1587	. . . . . . . 8 |- (x = -u(i x. pi) -> ((Im` x) e. (-upi[,)pi) <-> (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
46	45	elrab 1952	. . . . . . 7 |- (-u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)} <-> (-u(i x. pi) e. CC /\ (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
47	4	negcli 5434	. . . . . . 7 |- -u(i x. pi) e. CC
48	4	imnegi 6886	. . . . . . . . 9 |- (Im` -u(i x. pi)) = -u(Im` (i x. pi))
49	4	addid2i 5396	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + (i x. pi)) = (i x. pi)
50	49	fveq2i 3784	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = (Im` (i x. pi))
51		0re 5505	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
52	51, 2	crimi 6862	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = pi
53	50, 52	eqtr3i 1544	. . . . . . . . . 10 |- (Im` (i x. pi)) = pi
54	53	negeqi 5425	. . . . . . . . 9 |- -u(Im` (i x. pi)) = -upi
55	48, 54	eqtri 1542	. . . . . . . 8 |- (Im` -u(i x. pi)) = -upi
56	2	renegcli 5481	. . . . . . . . 9 |- -upi e. RR
57	56	leidi 5675	. . . . . . . . 9 |- -upi <_ -upi
58		pipos 8761	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
59		lt0neg2 5734	. . . . . . . . . . . 12 |- (pi e. RR -> (0 < pi <-> -upi < 0))
60	2, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (0 < pi <-> -upi < 0)
61	58, 60	mpbi 196	. . . . . . . . . 10 |- -upi < 0
62	56, 51, 2	lttri 5650	. . . . . . . . . 10 |- ((-upi < 0 /\ 0 < pi) -> -upi < pi)
63	61, 58, 62	mp2an 709	. . . . . . . . 9 |- -upi < pi
64		elico2 6416	. . . . . . . . . . 11 |- ((-upi e. RR /\ pi e. RR) -> (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi)))
65	56, 2, 64	mp2an 709	. . . . . . . . . 10 |- (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi))
66	65	biimpri 159	. . . . . . . . 9 |- ((-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi) -> -upi e. (-upi[,)pi))
67	56, 57, 63, 66	mp3an 928	. . . . . . . 8 |- -upi e. (-upi[,)pi)
68	55, 67	eqeltri 1591	. . . . . . 7 |- (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)
69	46, 47, 68	mpbir2an 742	. . . . . 6 |- -u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
70		logrn 8834	. . . . . 6 |- ran log = {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
71	69, 70	eleqtrri 1594	. . . . 5 |- -u(i x. pi) e. ran log
72		logeftb 8847	. . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ -u1 =/= 0 /\ -u(i x. pi) e. ran log) -> ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1))
73	15, 43, 71, 72	mp3an 928	. . . 4 |- ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1)
74	41, 73	mpbir 197	. . 3 |- (log` -u1) = -u(i x. pi)
75	74	opreq2i 4030	. 2 |- (i x. (log` -u1)) = (i x. -u(i x. pi))
76	1, 4	mulneg2i 5511	. . 3 |- (i x. -u(i x. pi)) = -u(i x. (i x. pi))
77		ixi 5746	. . . . . 6 |- (i x. i) = -u1
78	77	opreq1i 4029	. . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (-u1 x. pi)
79	1, 1, 3	mulassi 5390	. . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (i x. (i x. pi))
80	3	mulm1i 5537	. . . . 5 |- (-u1 x. pi) = -upi
81	78, 79, 80	3eqtr3i 1550	. . . 4 |- (i x. (i x. pi)) = -upi
82	81	negeqi 5425	. . 3 |- -u(i x. (i x. pi)) = -u-upi
83	3	negnegi 5455	. . 3 |- -u-upi = pi
84	76, 82, 83	3eqtri 1546	. 2 |- (i x. -u(i x. pi)) = pi
85	75, 84	eqtr2i 1543	1 |- pi = (i x. (log` -u1))

Syntax hints:   <-> wb 153   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632  {crab 1695   class class class wbr 2674  ran crn 3228  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297  RRcr 5298  0cc0 5299  1c1 5300  ici 5301   + caddc 5302   x. cmul 5304   - cmin 5357  -ucneg 5358   <_ cle 5360  ZZcz 5363   < clt 5551  2c2 6022  [,)cico 6384  Imcim 6838  expce 7383  picpi 7387  logclog 8832

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-r1 4705  df-rank 4706  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-5 6034  df-6 6035  df-7 6036  df-8 6037  df-9 6038  df-rp 6106  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-ioc 6387  df-ico 6388  df-icc 6389  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-seq0 6623  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-