Theorem pilog 10122

Description: Relationship between pi and the natural logarithm function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pilog	|- pi = (_i x. (log` -u1))

Proof of Theorem pilog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 6423	. . . . . . 7 |- _i e. CC
2		pire 10026	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3	2	recni 6467	. . . . . . 7 |- pi e. CC
4	1, 3	mulcli 6474	. . . . . 6 |- (_i x. pi) e. CC
5		1z 7368	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
6		znegcl 7372	. . . . . . 7 |- (1 e. ZZ -> -u1 e. ZZ)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- -u1 e. ZZ
8		efper 10101	. . . . . 6 |- (((_i x. pi) e. CC /\ -u1 e. ZZ) -> (exp` ((_i x. pi) + ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (_i x. pi)))
9	4, 7, 8	mp2an 761	. . . . 5 |- (exp` ((_i x. pi) + ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (_i x. pi))
10		2cn 7164	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
11	10, 3	mulcli 6474	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. pi) e. CC
12	1, 11	mulcli 6474	. . . . . . . . 9 |- (_i x. (2 x. pi)) e. CC
13	4, 12	negsubi 6538	. . . . . . . 8 |- ((_i x. pi) + -u(_i x. (2 x. pi))) = ((_i x. pi) - (_i x. (2 x. pi)))
14		zcn 7349	. . . . . . . . . . . 12 |- (-u1 e. ZZ -> -u1 e. CC)
15	7, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
16	12, 15	mulcomi 6476	. . . . . . . . . 10 |- ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1) = (-u1 x. (_i x. (2 x. pi)))
17	12	mulm1i 6639	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. (_i x. (2 x. pi))) = -u(_i x. (2 x. pi))
18	16, 17	eqtri 1908	. . . . . . . . 9 |- ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1) = -u(_i x. (2 x. pi))
19	18	opreq2i 4893	. . . . . . . 8 |- ((_i x. pi) + ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = ((_i x. pi) + -u(_i x. (2 x. pi)))
20	1, 3, 11	subdii 6592	. . . . . . . 8 |- (_i x. (pi - (2 x. pi))) = ((_i x. pi) - (_i x. (2 x. pi)))
21	13, 19, 20	3eqtr4i 1921	. . . . . . 7 |- ((_i x. pi) + ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = (_i x. (pi - (2 x. pi)))
22	11, 3	negsubdi2i 6614	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = (pi - (2 x. pi))
23	3	2timesi 7187	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
24	23	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . 11 |- (pi + pi) = (2 x. pi)
25	11, 3, 3, 24	subaddrii 6529	. . . . . . . . . 10 |- ((2 x. pi) - pi) = pi
26	25	negeqi 6515	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = -upi
27	22, 26	eqtr3i 1910	. . . . . . . 8 |- (pi - (2 x. pi)) = -upi
28	27	opreq2i 4893	. . . . . . 7 |- (_i x. (pi - (2 x. pi))) = (_i x. -upi)
29	1, 3	mulneg2i 6609	. . . . . . 7 |- (_i x. -upi) = -u(_i x. pi)
30	21, 28, 29	3eqtri 1912	. . . . . 6 |- ((_i x. pi) + ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = -u(_i x. pi)
31	30	fveq2i 4684	. . . . 5 |- (exp` ((_i x. pi) + ((_i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` -u(_i x. pi))
32		df-neg 6513	. . . . . 6 |- -u1 = (0 - 1)
33		eulerid 10032	. . . . . . 7 |- ((exp` (_i x. pi)) + 1) = 0
34		0cn 6481	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
35		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36		efcl 8574	. . . . . . . . 9 |- ((_i x. pi) e. CC -> (exp` (_i x. pi)) e. CC)
37	4, 36	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` (_i x. pi)) e. CC
38	34, 35, 37	subadd2i 6530	. . . . . . 7 |- ((0 - 1) = (exp` (_i x. pi)) <-> ((exp` (_i x. pi)) + 1) = 0)
39	33, 38	mpbir 207	. . . . . 6 |- (0 - 1) = (exp` (_i x. pi))
40	32, 39	eqtr2i 1909	. . . . 5 |- (exp` (_i x. pi)) = -u1
41	9, 31, 40	3eqtr3i 1918	. . . 4 |- (exp` -u(_i x. pi)) = -u1
42		ax1ne0 6433	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
43	35, 42	negne0i 6986	. . . . 5 |- -u1 =/= 0
44		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (x = -u(_i x. pi) -> (Im` x) = (Im` -u(_i x. pi)))
45	44	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (x = -u(_i x. pi) -> ((Im` x) e. (-upi[,)pi) <-> (Im` -u(_i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
46	45	elrab 2414	. . . . . . 7 |- (-u(_i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)} <-> (-u(_i x. pi) e. CC /\ (Im` -u(_i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
47	4	negcli 6526	. . . . . . 7 |- -u(_i x. pi) e. CC
48	4	imnegi 8046	. . . . . . . . 9 |- (Im` -u(_i x. pi)) = -u(Im` (_i x. pi))
49	4	addid2i 6484	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + (_i x. pi)) = (_i x. pi)
50	49	fveq2i 4684	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (_i x. pi))) = (Im` (_i x. pi))
51		0re 6603	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
52	51, 2	crimi 8022	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (_i x. pi))) = pi
53	50, 52	eqtr3i 1910	. . . . . . . . . 10 |- (Im` (_i x. pi)) = pi
54	53	negeqi 6515	. . . . . . . . 9 |- -u(Im` (_i x. pi)) = -upi
55	48, 54	eqtri 1908	. . . . . . . 8 |- (Im` -u(_i x. pi)) = -upi
56	2	renegcli 6576	. . . . . . . . 9 |- -upi e. RR
57	56	leidi 6790	. . . . . . . . 9 |- -upi <_ -upi
58		pipos 10027	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
59		lt0neg2 6858	. . . . . . . . . . . 12 |- (pi e. RR -> (0 < pi <-> -upi < 0))
60	2, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (0 < pi <-> -upi < 0)
61	58, 60	mpbi 206	. . . . . . . . . 10 |- -upi < 0
62	56, 51, 2	lttri 6760	. . . . . . . . . 10 |- ((-upi < 0 /\ 0 < pi) -> -upi < pi)
63	61, 58, 62	mp2an 761	. . . . . . . . 9 |- -upi < pi
64		elico2 7559	. . . . . . . . . . 11 |- ((-upi e. RR /\ pi e. RR) -> (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi)))
65	56, 2, 64	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi))
66	65	biimpri 169	. . . . . . . . 9 |- ((-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi) -> -upi e. (-upi[,)pi))
67	56, 57, 63, 66	mp3an 1191	. . . . . . . 8 |- -upi e. (-upi[,)pi)
68	55, 67	eqeltri 1967	. . . . . . 7 |- (Im` -u(_i x. pi)) e. (-upi[,)pi)
69	46, 47, 68	mpbir2an 800	. . . . . 6 |- -u(_i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
70		logrn 10105	. . . . . 6 |- ran log = {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
71	69, 70	eleqtrri 1970	. . . . 5 |- -u(_i x. pi) e. ran log
72		logeftb 10118	. . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ -u1 =/= 0 /\ -u(_i x. pi) e. ran log) -> ((log` -u1) = -u(_i x. pi) <-> (exp` -u(_i x. pi)) = -u1))
73	15, 43, 71, 72	mp3an 1191	. . . 4 |- ((log` -u1) = -u(_i x. pi) <-> (exp` -u(_i x. pi)) = -u1)
74	41, 73	mpbir 207	. . 3 |- (log` -u1) = -u(_i x. pi)
75	74	opreq2i 4893	. 2 |- (_i x. (log` -u1)) = (_i x. -u(_i x. pi))
76	1, 4	mulneg2i 6609	. . 3 |- (_i x. -u(_i x. pi)) = -u(_i x. (_i x. pi))
77		ixi 6872	. . . . . 6 |- (_i x. _i) = -u1
78	77	opreq1i 4892	. . . . 5 |- ((_i x. _i) x. pi) = (-u1 x. pi)
79	1, 1, 3	mulassi 6478	. . . . 5 |- ((_i x. _i) x. pi) = (_i x. (_i x. pi))
80	3	mulm1i 6639	. . . . 5 |- (-u1 x. pi) = -upi
81	78, 79, 80	3eqtr3i 1918	. . . 4 |- (_i x. (_i x. pi)) = -upi
82	81	negeqi 6515	. . 3 |- -u(_i x. (_i x. pi)) = -u-upi
83	3	negnegi 6549	. . 3 |- -u-upi = pi
84	76, 82, 83	3eqtri 1912	. 2 |- (_i x. -u(_i x. pi)) = pi
85	75, 84	eqtr2i 1909	1 |- pi = (_i x. (log` -u1))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  {crab 2108   class class class wbr 3338  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  [,)cico 7526  Imcim 7998  expce 8555  picpi 8559  logclog 10103

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160  df-9 7161  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-ioc 7529  df-ico 7530  df-icc 7531  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-cncf 8525  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563  df-pi 8564  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-subg 9424  df-log 10104

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