MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem3OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pilem3OLD 23403
Description: Lemma for pire 23406, pigt2lt4 23404 and sinpi 23405. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) Obsolete version of pilem3 23402 as of 14-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pilem3OLD  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )

Proof of Theorem pilem3OLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10676 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
3 4re 10683 . . . . 5  |-  4  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  4  e.  RR )
5 0re 9640 . . . . 5  |-  0  e.  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
7 2lt4 10777 . . . . 5  |-  2  <  4
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  <  4
)
9 iccssre 11713 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( 2 [,] 4
)  C_  RR )
101, 3, 9mp2an 677 . . . . . 6  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  RR
11 ax-resscn 9593 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11sstri 3440 . . . . 5  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  CC
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2 [,] 4
)  C_  CC )
14 sincn 23392 . . . . 5  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1610sseli 3427 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  y  e.  RR )
1716resincld 14190 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
1817adantl 468 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 2 [,] 4
) )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
19 sin4lt0 14242 . . . . . 6  |-  ( sin `  4 )  <  0
20 sincos2sgn 14241 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
2120simpli 460 . . . . . 6  |-  0  <  ( sin `  2
)
2219, 21pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( ( sin `  4 )  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( sin `  4
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )
242, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23ivth2 22399 . . 3  |-  ( T. 
->  E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x
)  =  0 )
2524trud 1452 . 2  |-  E. x  e.  ( 2 (,) 4
) ( sin `  x
)  =  0
26 df-piOLD 14120 . . . . . . 7  |-  pi  =  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )
27 elioore 11663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  x  e.  RR )
2827adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
295a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  e.  RR )
31 2pos 10698 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  2 )
33 eliooord 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  (
2  <  x  /\  x  <  4 ) )
3433simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  2  <  x )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  <  x )
3629, 30, 28, 32, 35lttrd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  x )
3728, 36elrpd 11335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR+ )
38 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  x
)  =  0 )
39 pilem1 23399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( x  e.  RR+  /\  ( sin `  x )  =  0 ) )
4037, 38, 39sylanbrc 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) )
41 inss1 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR+
42 rpssre 11309 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR
4341, 42sstri 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR
4441sseli 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
z  e.  RR+ )
4544rpge0d 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
0  <_  z )
4645rgen 2746 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) 0  <_  z
47 breq1 4404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  z  <->  0  <_  z ) )
4847ralbidv 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  ( A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )
)
4948rspcev 3149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) y  <_  z )
505, 46, 49mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z
51 infmrlbOLD 10594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  /\  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5243, 50, 51mp3an12 1353 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5340, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5426, 53syl5eqbr 4435 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  <_  x )
55 simplll 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )
57 pilem1 23399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y )  =  0 ) )
5856, 57sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y
)  =  0 ) )
5958simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
60 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  x
)  =  0 )
6158simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  y
)  =  0 )
62 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  pi  <  x
)
6355, 59, 60, 61, 62pilem2OLD 23401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
)
6463ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x
)  /  2 )  <_  y )
6543a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR )
66 ne0i 3736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6740, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) )  =/=  (/) )
6950a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )
70 infmrclOLD 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7143, 50, 70mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7267, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7326, 72syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
7473, 28readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  e.  RR )
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( pi  +  x )  e.  RR )
7675rehalfcld 10856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  e.  RR )
77 infmrgelbOLD 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  /\  ( ( pi  +  x )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
) )
7865, 68, 69, 76, 77syl31anc 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
( pi  +  x
)  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_ 
y ) )
7964, 78mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
8079, 26syl6breqr 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  pi )
8180ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  ->  ( ( pi  +  x )  /  2
)  <_  pi )
)
8273, 28ltnled 9779 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  <->  -.  x  <_  pi )
)
8373recnd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
8428recnd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  CC )
8583, 84addcomd 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  =  ( x  +  pi ) )
8685oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( pi  +  x )  /  2
)  =  ( ( x  +  pi )  /  2 ) )
8786breq1d 4411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
88 avgle2 10850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
8928, 73, 88syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
9087, 89bitr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  x  <_  pi ) )
9181, 82, 903imtr3d 271 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( -.  x  <_  pi  ->  x  <_  pi ) )
9291pm2.18d 115 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  <_  pi )
9373, 28letri3d 9774 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  =  x  <-> 
( pi  <_  x  /\  x  <_  pi ) ) )
9454, 92, 93mpbir2and 932 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  =  x )
95 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9694, 95eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9794fveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  ( sin `  x ) )
9897, 38eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  0 )
9996, 98jca 535 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10099rexlimiva 2874 . 2  |-  ( E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x )  =  0  ->  (
pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10125, 100ax-mp 5 1  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443   T. wtru 1444    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401   `'ccnv 4832   "cima 4836   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    / cdiv 10266   2c2 10656   4c4 10658   RR+crp 11299   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   sincsin 14109   cosccos 14110   picpiold 14113   -cn->ccncf 21901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-piOLD 14120  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator