MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem3 Unicode version

Theorem pilem3 20322
Description: Lemma for pire 20325, pigt2lt4 20323 and sinpi 20324. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
pilem3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10025 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
3 4re 10029 . . . . 5  |-  4  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  4  e.  RR )
5 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
7 2lt4 10102 . . . . 5  |-  2  <  4
87a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  <  4
)
9 iccssre 10948 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( 2 [,] 4
)  C_  RR )
101, 3, 9mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  RR
11 ax-resscn 9003 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11sstri 3317 . . . . 5  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  CC
1312a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2 [,] 4
)  C_  CC )
14 sincn 20313 . . . . 5  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
1514a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1610sseli 3304 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  y  e.  RR )
1716resincld 12699 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 2 [,] 4
) )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
19 sin4lt0 12751 . . . . . 6  |-  ( sin `  4 )  <  0
20 sincos2sgn 12750 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
2120simpli 445 . . . . . 6  |-  0  <  ( sin `  2
)
2219, 21pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( ( sin `  4 )  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) )
2322a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( sin `  4
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )
242, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23ivth2 19305 . . 3  |-  (  T. 
->  E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x
)  =  0 )
2524trud 1329 . 2  |-  E. x  e.  ( 2 (,) 4
) ( sin `  x
)  =  0
26 df-pi 12630 . . . . . . 7  |-  pi  =  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )
27 elioore 10902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  x  e.  RR )
2827adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
295a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  e.  RR )
31 2pos 10038 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  2 )
33 eliooord 10926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  (
2  <  x  /\  x  <  4 ) )
3433simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  2  <  x )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  <  x )
3629, 30, 28, 32, 35lttrd 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  x )
3728, 36elrpd 10602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR+ )
38 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  x
)  =  0 )
39 pilem1 20320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( x  e.  RR+  /\  ( sin `  x )  =  0 ) )
4037, 38, 39sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) )
41 inss1 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR+
42 rpssre 10578 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR
4341, 42sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR
4441sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
z  e.  RR+ )
4544rpge0d 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
0  <_  z )
4645rgen 2731 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) 0  <_  z
47 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  z  <->  0  <_  z ) )
4847ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  ( A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )
)
4948rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) y  <_  z )
505, 46, 49mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z
51 infmrlb 9945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  /\  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5243, 50, 51mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5340, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
5426, 53syl5eqbr 4205 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  <_  x )
55 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
56 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )
57 pilem1 20320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y )  =  0 ) )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y
)  =  0 ) )
5958simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
60 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  x
)  =  0 )
6158simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  y
)  =  0 )
62 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  pi  <  x
)
6355, 59, 60, 61, 62pilem2 20321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
)
6463ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x
)  /  2 )  <_  y )
6543a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR )
66 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6740, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) )  =/=  (/) )
6950a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )
70 infmrcl 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7143, 50, 70mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7267, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7326, 72syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
7473, 28readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  e.  RR )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( pi  +  x )  e.  RR )
7675rehalfcld 10170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  e.  RR )
77 infmrgelb 9944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  /\  ( ( pi  +  x )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
) )
7865, 68, 69, 76, 77syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
( pi  +  x
)  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_ 
y ) )
7964, 78mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  sup ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
8079, 26syl6breqr 4212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  pi )
8180ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  ->  ( ( pi  +  x )  /  2
)  <_  pi )
)
8273, 28ltnled 9176 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  <->  -.  x  <_  pi )
)
8373recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
8428recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  CC )
8583, 84addcomd 9224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  =  ( x  +  pi ) )
8685oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( pi  +  x )  /  2
)  =  ( ( x  +  pi )  /  2 ) )
8786breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
88 avgle2 10164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
8928, 73, 88syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
9087, 89bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  x  <_  pi ) )
9181, 82, 903imtr3d 259 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( -.  x  <_  pi  ->  x  <_  pi ) )
9291pm2.18d 105 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  <_  pi )
9373, 28letri3d 9171 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  =  x  <-> 
( pi  <_  x  /\  x  <_  pi ) ) )
9454, 92, 93mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  =  x )
95 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9694, 95eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9794fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  ( sin `  x ) )
9897, 38eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  0 )
9996, 98jca 519 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10099rexlimiva 2785 . 2  |-  ( E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x )  =  0  ->  (
pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10125, 100ax-mp 8 1  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  20323  sinpi  20324  pire  20325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
  Copyright terms: Public domain W3C validator