MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pilem3 23409
Description: Lemma for pire 23413, pigt2lt4 23411 and sinpi 23412. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
pilem3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10679 . . . . 5  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
3 4re 10686 . . . . 5  |-  4  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  4  e.  RR )
5 0re 9643 . . . . 5  |-  0  e.  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
7 2lt4 10780 . . . . 5  |-  2  <  4
87a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  <  4
)
9 iccssre 11716 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( 2 [,] 4
)  C_  RR )
101, 3, 9mp2an 678 . . . . . 6  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  RR
11 ax-resscn 9596 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11sstri 3441 . . . . 5  |-  ( 2 [,] 4 )  C_  CC
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2 [,] 4
)  C_  CC )
14 sincn 23399 . . . . 5  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
1610sseli 3428 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  y  e.  RR )
1716resincld 14197 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 2 [,] 4 )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
1817adantl 468 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 2 [,] 4
) )  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
19 sin4lt0 14249 . . . . . 6  |-  ( sin `  4 )  <  0
20 sincos2sgn 14248 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  ( sin `  2
)  /\  ( cos `  2 )  <  0
)
2120simpli 460 . . . . . 6  |-  0  <  ( sin `  2
)
2219, 21pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( ( sin `  4 )  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( sin `  4
)  <  0  /\  0  <  ( sin `  2
) ) )
242, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23ivth2 22406 . . 3  |-  ( T. 
->  E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x
)  =  0 )
2524trud 1453 . 2  |-  E. x  e.  ( 2 (,) 4
) ( sin `  x
)  =  0
26 df-pi 14126 . . . . . . 7  |-  pi  = inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
27 elioore 11666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  x  e.  RR )
2827adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR )
295a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  e.  RR )
31 2pos 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  2 )
33 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  (
2  <  x  /\  x  <  4 ) )
3433simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  2  <  x )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
2  <  x )
3629, 30, 28, 32, 35lttrd 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
0  <  x )
3728, 36elrpd 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  RR+ )
38 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  x
)  =  0 )
39 pilem1 23406 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( x  e.  RR+  /\  ( sin `  x )  =  0 ) )
4037, 38, 39sylanbrc 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) )
41 inss1 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR+
42 rpssre 11312 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR
4341, 42sstri 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR
4441sseli 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
z  e.  RR+ )
4544rpge0d 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
0  <_  z )
4645rgen 2747 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) 0  <_  z
47 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  z  <->  0  <_  z ) )
4847ralbidv 2827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  ( A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )
)
4948rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 0  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) y  <_  z )
505, 46, 49mp2an 678 . . . . . . . . 9  |-  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z
51 infrelb 10596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z  /\  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  -> inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  x )
5243, 50, 51mp3an12 1354 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  x )
5340, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <_  x )
5426, 53syl5eqbr 4436 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  <_  x )
55 simplll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )
57 pilem1 23406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  <->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y )  =  0 ) )
5856, 57sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  /\  ( sin `  y
)  =  0 ) )
5958simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
60 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  x
)  =  0 )
6158simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( sin `  y
)  =  0 )
62 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  pi  <  x
)
6355, 59, 60, 61, 62pilem2 23407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  x )  =  0 )  /\  pi  <  x )  /\  y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
)
6463ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x
)  /  2 )  <_  y )
6543a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) 
C_  RR )
66 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6740, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/) )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) )  =/=  (/) )
6950a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )
70 infrecl 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  -> inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7143, 50, 70mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  -> inf ( (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7267, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7326, 72syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
7473, 28readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  e.  RR )
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( pi  +  x )  e.  RR )
7675rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  e.  RR )
77 infregelb 10594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  C_  RR  /\  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) y  <_  z )  /\  ( ( pi  +  x )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  +  x )  /  2 )  <_ inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ( ( pi  +  x )  /  2
)  <_  y )
)
7865, 68, 69, 76, 77syl31anc 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
( pi  +  x
)  /  2 )  <_ inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  <->  A. y  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  y
) )
7964, 78mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_ inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
)
8079, 26syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x
)  =  0 )  /\  pi  <  x
)  ->  ( (
pi  +  x )  /  2 )  <_  pi )
8180ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  ->  ( ( pi  +  x )  /  2
)  <_  pi )
)
8273, 28ltnled 9782 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  <  x  <->  -.  x  <_  pi )
)
8373recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  CC )
8428recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  CC )
8583, 84addcomd 9835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  +  x
)  =  ( x  +  pi ) )
8685oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( pi  +  x )  /  2
)  =  ( ( x  +  pi )  /  2 ) )
8786breq1d 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
88 avgle2 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
8928, 73, 88syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( x  <_  pi  <->  ( ( x  +  pi )  /  2 )  <_  pi ) )
9087, 89bitr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( ( ( pi  +  x )  / 
2 )  <_  pi  <->  x  <_  pi ) )
9181, 82, 903imtr3d 271 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( -.  x  <_  pi  ->  x  <_  pi ) )
9291pm2.18d 115 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  <_  pi )
9373, 28letri3d 9777 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  =  x  <-> 
( pi  <_  x  /\  x  <_  pi ) ) )
9454, 92, 93mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  =  x )
95 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9694, 95eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  ->  pi  e.  ( 2 (,) 4 ) )
9794fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  ( sin `  x ) )
9897, 38eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( sin `  pi )  =  0 )
9996, 98jca 535 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  x )  =  0 )  -> 
( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10099rexlimiva 2875 . 2  |-  ( E. x  e.  ( 2 (,) 4 ) ( sin `  x )  =  0  ->  (
pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
10125, 100ax-mp 5 1  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  infcinf 7955   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   2c2 10659   4c4 10661   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119   -cn->ccncf 21908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  23411  sinpi  23412  pire  23413
  Copyright terms: Public domain W3C validator