Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pigt3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pigt3 31982
Description:  pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pigt3  |-  3  <  pi

Proof of Theorem pigt3
StepHypRef Expression
1 sincos6thpi 23518 . . . . 5  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
21simpli 464 . . . 4  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
3 ax-1cn 9622 . . . . 5  |-  1  e.  CC
4 2cnne0 10852 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
5 3cn 10711 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
6 3ne0 10731 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
75, 6pm3.2i 461 . . . . 5  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
8 divcan5 10336 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
93, 4, 7, 8mp3an 1373 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
10 3t1e3 10788 . . . . 5  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
11 3t2e6 10789 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
1210, 11oveq12i 6326 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 3  /  6
)
132, 9, 123eqtr2i 2489 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 3  /  6 )
14 pire 23461 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
15 pipos 23463 . . . . . 6  |-  0  <  pi
1614, 15elrpii 11333 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
17 6re 10717 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
18 6pos 10735 . . . . . 6  |-  0  <  6
1917, 18elrpii 11333 . . . . 5  |-  6  e.  RR+
20 rpdivcl 11353 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  6  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  6 )  e.  RR+ )
2116, 19, 20mp2an 683 . . . 4  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR+
22 sinltx 14291 . . . 4  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  RR+  ->  ( sin `  ( pi  /  6
) )  <  (
pi  /  6 ) )
2321, 22ax-mp 5 . . 3  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  <  (
pi  /  6 )
2413, 23eqbrtrri 4437 . 2  |-  ( 3  /  6 )  < 
( pi  /  6
)
25 3re 10710 . . 3  |-  3  e.  RR
2625, 14, 17, 18ltdiv1ii 10563 . 2  |-  ( 3  <  pi  <->  ( 3  /  6 )  < 
( pi  /  6
) )
2724, 26mpbir 214 1  |-  3  <  pi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   0cc0 9564   1c1 9565    x. cmul 9569    < clt 9700    / cdiv 10296   2c2 10686   3c3 10687   6c6 10690   RR+crp 11330   sqrcsqrt 13344   sincsin 14164   cosccos 14165   picpi 14167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator