MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrgim Structured version   Unicode version

Theorem pi1xfrgim 20605
Description: The mapping  G between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfrgim  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfrgim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . 3  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
2 pi1xfr.q . . 3  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
3 pi1xfr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 pi1xfr.g . . 3  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
5 pi1xfr.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 pi1xfr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1xfr.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pi1xfr 20602 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9pi1xfrcnv 20604 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G  =  ran  ( y  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ y ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
1110simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) )
12 isgim2 15784 . 2  |-  ( G  e.  ( P GrpIso  Q
)  <->  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
138, 11, 12sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3878   U.cuni 4086    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   [cec 7091   0cc0 9274   1c1 9275    - cmin 9587   [,]cicc 11295   Basecbs 14166    GrpHom cghm 15735   GrpIso cgim 15776  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803   IIcii 20426    ~=ph cphtpc 20516   *pcpco 20547    pi1 cpi1 20550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-mulg 15539  df-ghm 15736  df-gim 15778  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428  df-htpy 20517  df-phtpy 20518  df-phtpc 20539  df-pco 20552  df-om1 20553  df-pi1 20555
This theorem is referenced by:  pconpi1  27078
  Copyright terms: Public domain W3C validator