MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrgim Structured version   Unicode version

Theorem pi1xfrgim 20761
Description: The mapping  G between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfrgim  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfrgim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . 3  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
2 pi1xfr.q . . 3  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
3 pi1xfr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 pi1xfr.g . . 3  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
5 pi1xfr.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 pi1xfr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1xfr.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pi1xfr 20758 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9pi1xfrcnv 20760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G  =  ran  ( y  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ y ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
1110simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) )
12 isgim2 15911 . 2  |-  ( G  e.  ( P GrpIso  Q
)  <->  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
138, 11, 12sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3990   U.cuni 4198    |-> cmpt 4457   `'ccnv 4946   ran crn 4948   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   [cec 7208   0cc0 9392   1c1 9393    - cmin 9705   [,]cicc 11413   Basecbs 14291    GrpHom cghm 15862   GrpIso cgim 15903  TopOnctopon 18630    Cn ccn 18959   IIcii 20582    ~=ph cphtpc 20672   *pcpco 20703    pi1 cpi1 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ec 7212  df-qs 7216  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-divs 14565  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-mulg 15666  df-ghm 15863  df-gim 15905  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-ii 20584  df-htpy 20673  df-phtpy 20674  df-phtpc 20695  df-pco 20708  df-om1 20709  df-pi1 20711
This theorem is referenced by:  pconpi1  27269
  Copyright terms: Public domain W3C validator