MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrgim Structured version   Unicode version

Theorem pi1xfrgim 21850
Description: The mapping  G between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfrgim  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfrgim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . 3  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
2 pi1xfr.q . . 3  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
3 pi1xfr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 pi1xfr.g . . 3  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
5 pi1xfr.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 pi1xfr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1xfr.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pi1xfr 21847 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
9 eqid 2402 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9pi1xfrcnv 21849 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G  =  ran  ( y  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ y ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
1110simprd 461 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) )
12 isgim2 16637 . 2  |-  ( G  e.  ( P GrpIso  Q
)  <->  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
138, 11, 12sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   <.cop 3978   U.cuni 4191    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   [cec 7346   0cc0 9522   1c1 9523    - cmin 9841   [,]cicc 11585   Basecbs 14841    GrpHom cghm 16588   GrpIso cgim 16629  TopOnctopon 19687    Cn ccn 20018   IIcii 21671    ~=ph cphtpc 21761   *pcpco 21792    pi1 cpi1 21795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-qus 15123  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-mulg 16384  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-ii 21673  df-htpy 21762  df-phtpy 21763  df-phtpc 21784  df-pco 21797  df-om1 21798  df-pi1 21800
This theorem is referenced by:  pconpi1  29534
  Copyright terms: Public domain W3C validator