MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrgim Structured version   Unicode version

Theorem pi1xfrgim 21293
Description: The mapping  G between fundamental groups is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfrgim  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfrgim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . 3  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
2 pi1xfr.q . . 3  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
3 pi1xfr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 pi1xfr.g . . 3  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
5 pi1xfr.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 pi1xfr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1xfr.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pi1xfr 21290 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ran  (
y  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ y ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9pi1xfrcnv 21292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G  =  ran  ( y  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ y ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
1110simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) )
12 isgim2 16108 . 2  |-  ( G  e.  ( P GrpIso  Q
)  <->  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  /\  `' G  e.  ( Q  GrpHom  P ) ) )
138, 11, 12sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P GrpIso  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   [cec 7306   0cc0 9488   1c1 9489    - cmin 9801   [,]cicc 11528   Basecbs 14486    GrpHom cghm 16059   GrpIso cgim 16100  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491   IIcii 21114    ~=ph cphtpc 21204   *pcpco 21235    pi1 cpi1 21238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-divs 14760  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-mulg 15861  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-ii 21116  df-htpy 21205  df-phtpy 21206  df-phtpc 21227  df-pco 21240  df-om1 21241  df-pi1 21243
This theorem is referenced by:  pconpi1  28322
  Copyright terms: Public domain W3C validator