MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnvlem Structured version   Unicode version

Theorem pi1xfrcnvlem 21284
Description: Given a path  F between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pi1xfrcnv.h  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Distinct variable groups:    g, h, x, B    g, F, h, x    g, I, h, x    h, G    ph, g, h, x    g, J, h, x    P, g, h, x    Q, g, h, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    H( x, g, h)    X( x, g, h)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
2 fvex 5867 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 7305 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 ecexg 7305 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
62, 5mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
71, 4, 6fliftcnv 6188 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J )
>. ) )
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
109pcorevcl 21253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
1211simp1d 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 iitopon 21111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
18 cnf2 19509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
1917, 15, 8, 18syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
20 0elunit 11627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
21 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
23 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
2514, 15, 22, 24pi1eluni 21270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B 
<->  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( g ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
2726simp1d 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
288adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
2926simp3d 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3027, 28, 29pcocn 21245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
3111simp3d 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3326simp2d 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
3432, 33eqtr4d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
3527, 28pco0 21242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
3634, 35eqtr4d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
3713, 30, 36pcocn 21245 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
3813, 30pco0 21242 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
3911simp2d 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4138, 40eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4213, 30pco1 21243 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
4327, 28pco1 21243 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
4442, 43eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
45 pi1xfr.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
46 1elunit 11628 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
47 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
4819, 46, 47sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
49 eqidd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
5045, 15, 48, 49pi1eluni 21270 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) ) ) )
5237, 41, 44, 51mpbir3and 1174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
53 eqidd 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ) )
54 eqidd 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
55 eceq1 7337 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ h ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
56 oveq1 6282 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  (
h ( *p `  J ) I )  =  ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) )
5756oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) )  =  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) )
5857eceq1d 7338 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
5955, 58opeq12d 4214 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
6052, 53, 54, 59fmptco 6045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
61 phtpcer 21223 . . . . . . . . 9  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
6313, 27pco0 21242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) g ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
6463, 40eqtr2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( ( I ( *p `  J
) g ) ` 
0 ) )
6562, 28erref 7321 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F
(  ~=ph  `  J ) F )
6662, 13erref 7321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I
(  ~=ph  `  J )
I )
67 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
6867pcopt2 21251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
6927, 29, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
7040eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
71 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7227, 28, 13, 29, 70, 71pcoass 21252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( F ( *p `  J ) I ) ) )
7328, 13pco0 21242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
7429, 73eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( ( F ( *p `  J
) I ) ` 
0 ) )
7562, 27erref 7321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
g )
769, 67pcorev2 21256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7728, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7874, 75, 77pcohtpy 21248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( F ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) ) )
7962, 72, 78ertr2d 7318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) ( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p `  J
) I ) )
8062, 69, 79ertr3d 7319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) I ) )
8134, 66, 80pcohtpy 21248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8243, 40eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
8313, 30, 13, 36, 82, 71pcoass 21252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8462, 81, 83ertr4d 7320 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) )
8564, 65, 84pcohtpy 21248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) )
8628, 13, 27, 70, 34, 71pcoass 21252 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) g ) ) )
8728, 13pco1 21243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( I ` 
1 ) )
8887, 34eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
8988, 77, 75pcohtpy 21248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) g ) )
9067pcopt 21250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9127, 33, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9262, 89, 91ertrd 7317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9362, 86, 92ertr3d 7319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9462, 85, 93ertr3d 7319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9562, 94erthi 7348 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ g ] (  ~=ph  `  J
) )
9695opeq2d 4213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. )
9796mpteq2dva 4526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  =  (
g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
9860, 97eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
9998rneqd 5221 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )  o.  (
g  e.  U. B  |->  ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ) )  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
1007, 99eqtr4d 2504 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
101 rncoss 5254 . . 3  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  ran  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
102 pi1xfrcnv.h . . 3  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
103101, 102sseqtr4i 3530 . 2  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  H
104100, 103syl6eqss 3547 1  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   ifcif 3932   {csn 4020   <.cop 4026   U.cuni 4238   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   ran crn 4993    o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    Er wer 7298   [cec 7299   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   2c2 10574   4c4 10576   [,]cicc 11521   Basecbs 14479  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484   IIcii 21107    ~=ph cphtpc 21197   *pcpco 21228    pi1 cpi1 21231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-divs 14753  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-ii 21109  df-htpy 21198  df-phtpy 21199  df-phtpc 21220  df-pco 21233  df-om1 21234  df-pi1 21236
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  21285
  Copyright terms: Public domain W3C validator