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Theorem pi1xfrcnvlem 20628
Description: Given a path  F between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pi1xfrcnv.h  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Distinct variable groups:    g, h, x, B    g, F, h, x    g, I, h, x    h, G    ph, g, h, x    g, J, h, x    P, g, h, x    Q, g, h, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    H( x, g, h)    X( x, g, h)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
2 fvex 5701 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 7105 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 ecexg 7105 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
62, 5mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
71, 4, 6fliftcnv 6004 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J )
>. ) )
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
109pcorevcl 20597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
1211simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 iitopon 20455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
18 cnf2 18853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
1917, 15, 8, 18syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
20 0elunit 11403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
21 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
23 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
2514, 15, 22, 24pi1eluni 20614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B 
<->  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( g ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
2726simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
288adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
2926simp3d 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3027, 28, 29pcocn 20589 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
3111simp3d 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3326simp2d 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
3432, 33eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
3527, 28pco0 20586 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
3634, 35eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
3713, 30, 36pcocn 20589 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
3813, 30pco0 20586 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
3911simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4138, 40eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4213, 30pco1 20587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
4327, 28pco1 20587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
4442, 43eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
45 pi1xfr.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
46 1elunit 11404 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
47 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
4819, 46, 47sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
49 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
5045, 15, 48, 49pi1eluni 20614 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
5150adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) ) ) )
5237, 41, 44, 51mpbir3and 1171 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
53 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ) )
54 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
55 eceq1 7137 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ h ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
56 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  (
h ( *p `  J ) I )  =  ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) )
5756oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) )  =  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) )
58 eceq1 7137 . . . . . . . 8  |-  ( ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) )  =  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
6055, 59opeq12d 4067 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
6152, 53, 54, 60fmptco 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
62 phtpcer 20567 . . . . . . . . 9  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
6362a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
6413, 27pco0 20586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) g ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
6564, 40eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( ( I ( *p `  J
) g ) ` 
0 ) )
6663, 28erref 7121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F
(  ~=ph  `  J ) F )
6763, 13erref 7121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I
(  ~=ph  `  J )
I )
68 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
6968pcopt2 20595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
7027, 29, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
7140eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
72 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7327, 28, 13, 29, 71, 72pcoass 20596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( F ( *p `  J ) I ) ) )
7428, 13pco0 20586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
7529, 74eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( ( F ( *p `  J
) I ) ` 
0 ) )
7663, 27erref 7121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
g )
779, 68pcorev2 20600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7828, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7975, 76, 78pcohtpy 20592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( F ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) ) )
8063, 73, 79ertr2d 7118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) ( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p `  J
) I ) )
8163, 70, 80ertr3d 7119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) I ) )
8234, 67, 81pcohtpy 20592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8343, 40eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
8413, 30, 13, 36, 83, 72pcoass 20596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8563, 82, 84ertr4d 7120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) )
8665, 66, 85pcohtpy 20592 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) )
8728, 13, 27, 71, 34, 72pcoass 20596 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) g ) ) )
8828, 13pco1 20587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( I ` 
1 ) )
8988, 34eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
9089, 78, 76pcohtpy 20592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) g ) )
9168pcopt 20594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9227, 33, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9363, 90, 92ertrd 7117 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9463, 87, 93ertr3d 7119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9563, 86, 94ertr3d 7119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9663, 95erthi 7147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ g ] (  ~=ph  `  J
) )
9796opeq2d 4066 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. )
9897mpteq2dva 4378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  =  (
g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
9961, 98eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
10099rneqd 5067 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )  o.  (
g  e.  U. B  |->  ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ) )  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
1017, 100eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
102 rncoss 5100 . . 3  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  ran  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
103 pi1xfrcnv.h . . 3  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
104102, 103sseqtr4i 3389 . 2  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  H
105101, 104syl6eqss 3406 1  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   <.cop 3883   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    Er wer 7098   [cec 7099   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   2c2 10371   4c4 10373   [,]cicc 11303   Basecbs 14174  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   IIcii 20451    ~=ph cphtpc 20541   *pcpco 20572    pi1 cpi1 20575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-divs 14447  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-htpy 20542  df-phtpy 20543  df-phtpc 20564  df-pco 20577  df-om1 20578  df-pi1 20580
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  20629
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