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Theorem pi1xfrcnvlem 21641
Description: Given a path  F between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pi1xfrcnv.h  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnvlem  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Distinct variable groups:    g, h, x, B    g, F, h, x    g, I, h, x    h, G    ph, g, h, x    g, J, h, x    P, g, h, x    Q, g, h, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    H( x, g, h)    X( x, g, h)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
2 fvex 5784 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 7233 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 ecexg 7233 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
62, 5mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
71, 4, 6fliftcnv 6110 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J )
>. ) )
8 pi1xfr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pi1xfr.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
109pcorevcl 21610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
1211simp1d 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
1312adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
14 pi1xfr.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
15 pi1xfr.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 iitopon 21468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
18 cnf2 19836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
1917, 15, 8, 18syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
20 0elunit 11559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
21 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
2219, 20, 21sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
23 pi1xfr.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
2514, 15, 22, 24pi1eluni 21627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B 
<->  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( g ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( g ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
2625biimpa 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
2726simp1d 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
288adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
2926simp3d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3027, 28, 29pcocn 21602 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
3111simp3d 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
3231adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
3326simp2d 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
3432, 33eqtr4d 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
3527, 28pco0 21599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( g ` 
0 ) )
3634, 35eqtr4d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
3713, 30, 36pcocn 21602 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
3813, 30pco0 21599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
3911simp2d 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
4039adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4138, 40eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
4213, 30pco1 21600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( g ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
4327, 28pco1 21600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
4442, 43eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
45 pi1xfr.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
46 1elunit 11560 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
47 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
4819, 46, 47sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
49 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
5045, 15, 48, 49pi1eluni 21627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
5150adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) ) ) )
5237, 41, 44, 51mpbir3and 1177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
53 eqidd 2383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ) )
54 eqidd 2383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  =  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
55 eceq1 7265 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ h ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
56 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  (
h ( *p `  J ) I )  =  ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) )
5756oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) )  =  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) )
5857eceq1d 7266 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
5955, 58opeq12d 4139 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) )  ->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
6052, 53, 54, 59fmptco 5966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
61 phtpcer 21580 . . . . . . . . 9  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
)
6313, 27pco0 21599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) g ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
6463, 40eqtr2d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( ( I ( *p `  J
) g ) ` 
0 ) )
6562, 28erref 7249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  F
(  ~=ph  `  J ) F )
6662, 13erref 7249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  I
(  ~=ph  `  J )
I )
67 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
6867pcopt2 21608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  1
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
6927, 29, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
7040eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
71 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( x  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( x  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( x  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  ( x  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( x  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7227, 28, 13, 29, 70, 71pcoass 21609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( F ( *p `  J ) I ) ) )
7328, 13pco0 21599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
7429, 73eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g `  1 )  =  ( ( F ( *p `  J
) I ) ` 
0 ) )
7562, 27erref 7249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
g )
769, 67pcorev2 21613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7728, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
7874, 75, 77pcohtpy 21605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( F ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) ( g ( *p
`  J ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) ) )
7962, 72, 78ertr2d 7246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
g ( *p `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ) (  ~=ph  `  J ) ( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p `  J
) I ) )
8062, 69, 79ertr3d 7247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  g
(  ~=ph  `  J )
( ( g ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) I ) )
8134, 66, 80pcohtpy 21605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8243, 40eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( g ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
8313, 30, 13, 36, 82, 71pcoass 21609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( ( g ( *p
`  J ) F ) ( *p `  J ) I ) ) )
8462, 81, 83ertr4d 7248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) I ) )
8564, 65, 84pcohtpy 21605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) )
8628, 13, 27, 70, 34, 71pcoass 21609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) g ) ) )
8728, 13pco1 21600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( I ` 
1 ) )
8887, 34eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) `  1 )  =  ( g ` 
0 ) )
8988, 77, 75pcohtpy 21605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) g ) )
9067pcopt 21607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9127, 33, 90syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9262, 89, 91ertrd 7245 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  (
( F ( *p
`  J ) I ) ( *p `  J ) g ) (  ~=ph  `  J ) g )
9362, 86, 92ertr3d 7247 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) g ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9462, 85, 93ertr3d 7247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) (  ~=ph  `  J ) g )
9562, 94erthi 7276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ g ] (  ~=ph  `  J
) )
9695opeq2d 4138 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. B )  ->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >.  =  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. )
9796mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( g ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) I ) ) ] (  ~=ph  `  J )
>. )  =  (
g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
9860, 97eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  =  ( g  e.  U. B  |-> 
<. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) >.
) )
9998rneqd 5143 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) I ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )  o.  (
g  e.  U. B  |->  ( I ( *p
`  J ) ( g ( *p `  J ) F ) ) ) )  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ g ] (  ~=ph  `  J
) >. ) )
1007, 99eqtr4d 2426 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  =  ran  ( ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
101 rncoss 5176 . . 3  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  ran  ( h  e.  U. ( Base `  Q )  |->  <. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
102 pi1xfrcnv.h . . 3  |-  H  =  ran  ( h  e. 
U. ( Base `  Q
)  |->  <. [ h ]
(  ~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)
103101, 102sseqtr4i 3450 . 2  |-  ran  (
( h  e.  U. ( Base `  Q )  |-> 
<. [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ,  [ ( F ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) I ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) >.
)  o.  ( g  e.  U. B  |->  ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ) )  C_  H
104100, 103syl6eqss 3467 1  |-  ( ph  ->  `' G  C_  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   ifcif 3857   {csn 3944   <.cop 3950   U.cuni 4163   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   ran crn 4914    o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    Er wer 7226   [cec 7227   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   2c2 10502   4c4 10504   [,]cicc 11453   Basecbs 14634  TopOnctopon 19480    Cn ccn 19811   IIcii 21464    ~=ph cphtpc 21554   *pcpco 21585    pi1 cpi1 21588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-qus 14916  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-ii 21466  df-htpy 21555  df-phtpy 21556  df-phtpc 21577  df-pco 21590  df-om1 21591  df-pi1 21593
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  21642
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