MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfr Structured version   Unicode version

Theorem pi1xfr 20602
Description: Given a path  F and its inverse  I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfr  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables  f  h  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iitopon 20430 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
4 pi1xfr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 cnf2 18828 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
63, 1, 4, 5syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7 0elunit 11395 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
8 ffvelrn 5836 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
96, 7, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
10 pi1xfr.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
1110pi1grp 20597 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  0 )  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
121, 9, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
13 1elunit 11396 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 ffvelrn 5836 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
156, 13, 14sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
16 pi1xfr.q . . . . 5  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
1716pi1grp 20597 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  1 )  e.  X )  ->  Q  e.  Grp )
181, 15, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
1912, 18jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
20 pi1xfr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
21 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
22 pi1xfr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
2322pcorevcl 20572 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
2524simp1d 1000 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
2624simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
2726eqcomd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
2824simp3d 1002 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 20600 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> ( Base `  Q ) )
3020a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
3110, 1, 9, 30pi1bas2 20588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
3231eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
3332biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
34 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) )
35 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3837oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4039ralbidv 2730 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4131eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  <->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
4241biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
4342adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
44 oveq2 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
4544fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
46 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
4746oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
4845, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
49 phtpcer 20542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
(  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J
) )
5110, 1, 9, 30pi1eluni 20589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. B 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5251biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
5352simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
54533adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  ( II 
Cn  J ) )
5510, 1, 9, 30pi1eluni 20589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. B 
<->  ( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
h  e.  U. B  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) ) )
5756biimp3a 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
5857simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5954, 58pco0 20561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( f `
 0 ) )
6052simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
61603adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6259, 61eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6352simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
64633adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
6557simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6664, 65eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
6754, 58, 66pcocn 20564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
6843ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
6967, 68pco0 20561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( f ( *p `  J
) h ) ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( ( f ( *p `  J ) h ) `
 0 ) )
70283ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
7162, 69, 703eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
72253ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J ) )
7350, 72erref 7113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I (  ~=ph  `  J
) I )
7457simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
75 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7654, 58, 68, 66, 74, 75pcoass 20571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) )
7758, 68pco0 20561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( h `
 0 ) )
7866, 77eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
7950, 54erref 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) f )
8068, 72pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) )
8165, 77, 703eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
8280, 81eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
83 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
8422, 83pcorev2 20575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
8568, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F ( *p
`  J ) I ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) )
8658, 68, 74pcocn 20564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8750, 86erref 7113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
8882, 85, 87pcohtpy 20567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) )
8977, 65eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
9083pcopt 20569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) (  ~=ph  `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )
9186, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ( 
~=ph  `  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )
9250, 88, 91ertrd 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
93263ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
9493eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
9568, 72, 86, 94, 81, 75pcoass 20571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9650, 92, 95ertr3d 7111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9778, 79, 96pcohtpy 20567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
9872, 86, 81pcocn 20564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
9972, 86pco0 20561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( I `
 0 ) )
10099, 93eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
101100eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
10254, 68, 98, 64, 101, 75pcoass 20571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
10350, 97, 102ertr4d 7112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10450, 76, 103ertrd 7109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10571, 73, 104pcohtpy 20567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
1064adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
10753, 106, 63pcocn 20564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
1081073adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
10953, 106pco0 20561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
11028adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
11160, 109, 1103eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
1121113adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( f ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
11354, 68pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
114113, 100eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
11572, 108, 98, 112, 114, 75pcoass 20571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
11650, 105, 115ertr4d 7112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
11750, 116erthi 7139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
11813ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
11954, 58pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
120119, 74eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
12110, 1, 9, 30pi1eluni 20589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
1221213ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
12367, 62, 120, 122mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. B
)
12410, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123pi1xfrval 20601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
125 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
126153ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  e.  X )
127 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
12825adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
129128, 107, 111pcocn 20564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( f ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
1301293adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
131128, 107pco0 20561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
13226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
133131, 132eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
1341333adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
135128, 107pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
13653, 106pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
137135, 136eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
1381373adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
139 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
14016, 118, 126, 139pi1eluni 20589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
141130, 134, 138, 140mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14272, 86pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 1 ) )
14358, 68pco1 20562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
144142, 143eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
14516, 118, 126, 139pi1eluni 20589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
14698, 100, 144, 145mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14716, 125, 118, 126, 127, 141, 146pi1addval 20595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
148117, 124, 1473eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
14993ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  0
)  e.  X )
150 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
151 simp2 989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  U. B
)
152 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  U. B )
15310, 20, 118, 149, 150, 151, 152pi1addval 20595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
154153fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1551adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
15627adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
157 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  U. B )
15810, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157pi1xfrval 20601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )
1591583adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
16010, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152pi1xfrval 20601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
161159, 160oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q ) [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ) )
162148, 154, 1613eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
1631623expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  h  e.  U. B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
16434, 48, 163ectocld 7159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16543, 164syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
166165ralrimiva 2794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16734, 40, 166ectocld 7159 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
16833, 167syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
169168ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
17029, 169jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
17120, 125, 150, 127isghm 15738 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
17219, 170, 171sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   ifcif 3786   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   ran crn 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    Er wer 7090   [cec 7091   /.cqs 7092   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   2c2 10363   4c4 10365   [,]cicc 11295   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   Grpcgrp 15402    GrpHom cghm 15735  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803   IIcii 20426    ~=ph cphtpc 20516   *pcpco 20547    pi1 cpi1 20550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-mulg 15539  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428  df-htpy 20517  df-phtpy 20518  df-phtpc 20539  df-pco 20552  df-om1 20553  df-pi1 20555
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  20604  pi1xfrgim  20605
  Copyright terms: Public domain W3C validator