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Theorem pi1xfr 22078
Description: Given a path  F and its inverse  I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfr  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables  f  h  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iitopon 21903 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
4 pi1xfr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 cnf2 20257 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
63, 1, 4, 5syl3anc 1265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7 0elunit 11752 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
8 ffvelrn 6033 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
96, 7, 8sylancl 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
10 pi1xfr.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
1110pi1grp 22073 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  0 )  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
121, 9, 11syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
13 1elunit 11753 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 ffvelrn 6033 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
156, 13, 14sylancl 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
16 pi1xfr.q . . . . 5  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
1716pi1grp 22073 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  1 )  e.  X )  ->  Q  e.  Grp )
181, 15, 17syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
1912, 18jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
20 pi1xfr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
21 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
22 pi1xfr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
2322pcorevcl 22048 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
244, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
2524simp1d 1018 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
2624simp2d 1019 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
2726eqcomd 2431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
2824simp3d 1020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 22076 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> ( Base `  Q ) )
3020a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
3110, 1, 9, 30pi1bas2 22064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
3231eleq2d 2493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
3332biimpa 487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
34 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) )
35 oveq1 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3837oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4039ralbidv 2865 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4131eleq2d 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  <->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
4241biimpa 487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
4342adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
44 oveq2 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
4544fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
4746oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
4845, 47eqeq12d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
49 phtpcer 22018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
(  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J
) )
5110, 1, 9, 30pi1eluni 22065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. B 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5251biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
5352simp1d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
54533adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  ( II 
Cn  J ) )
5510, 1, 9, 30pi1eluni 22065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. B 
<->  ( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
h  e.  U. B  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) ) )
5756biimp3a 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
5857simp1d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5954, 58pco0 22037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( f `
 0 ) )
6052simp2d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
61603adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6259, 61eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6352simp3d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
64633adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
6557simp2d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6664, 65eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
6754, 58, 66pcocn 22040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
6843ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
6967, 68pco0 22037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( f ( *p `  J
) h ) ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( ( f ( *p `  J ) h ) `
 0 ) )
70283ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
7162, 69, 703eqtr4rd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
72253ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J ) )
7350, 72erref 7389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I (  ~=ph  `  J
) I )
7457simp3d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
75 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7654, 58, 68, 66, 74, 75pcoass 22047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) )
7758, 68pco0 22037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( h `
 0 ) )
7866, 77eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
7950, 54erref 7389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) f )
8068, 72pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) )
8165, 77, 703eqtr4rd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
8280, 81eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
83 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
8422, 83pcorev2 22051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
8568, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F ( *p
`  J ) I ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) )
8658, 68, 74pcocn 22040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8750, 86erref 7389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
8882, 85, 87pcohtpy 22043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) )
8977, 65eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
9083pcopt 22045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) (  ~=ph  `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )
9186, 89, 90syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ( 
~=ph  `  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )
9250, 88, 91ertrd 7385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
93263ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
9493eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
9568, 72, 86, 94, 81, 75pcoass 22047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9650, 92, 95ertr3d 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9778, 79, 96pcohtpy 22043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
9872, 86, 81pcocn 22040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
9972, 86pco0 22037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( I `
 0 ) )
10099, 93eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
101100eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
10254, 68, 98, 64, 101, 75pcoass 22047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
10350, 97, 102ertr4d 7388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10450, 76, 103ertrd 7385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10571, 73, 104pcohtpy 22043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
1064adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
10753, 106, 63pcocn 22040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
1081073adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
10953, 106pco0 22037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
11028adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
11160, 109, 1103eqtr4rd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
1121113adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( f ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
11354, 68pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
114113, 100eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
11572, 108, 98, 112, 114, 75pcoass 22047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
11650, 105, 115ertr4d 7388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
11750, 116erthi 7416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
11813ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
11954, 58pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
120119, 74eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
12110, 1, 9, 30pi1eluni 22065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
1221213ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
12367, 62, 120, 122mpbir3and 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. B
)
12410, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123pi1xfrval 22077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
125 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
126153ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  e.  X )
127 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
12825adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
129128, 107, 111pcocn 22040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( f ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
1301293adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
131128, 107pco0 22037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
13226adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
133131, 132eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
1341333adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
135128, 107pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
13653, 106pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
137135, 136eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
1381373adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
139 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
14016, 118, 126, 139pi1eluni 22065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
141130, 134, 138, 140mpbir3and 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14272, 86pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 1 ) )
14358, 68pco1 22038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
144142, 143eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
14516, 118, 126, 139pi1eluni 22065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
14698, 100, 144, 145mpbir3and 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14716, 125, 118, 126, 127, 141, 146pi1addval 22071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
148117, 124, 1473eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
14993ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  0
)  e.  X )
150 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
151 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  U. B
)
152 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  U. B )
15310, 20, 118, 149, 150, 151, 152pi1addval 22071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
154153fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1551adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
15627adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
157 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  U. B )
15810, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157pi1xfrval 22077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )
1591583adant3 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
16010, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152pi1xfrval 22077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
161159, 160oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q ) [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ) )
162148, 154, 1613eqtr4d 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
1631623expa 1206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  h  e.  U. B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
16434, 48, 163ectocld 7436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16543, 164syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
166165ralrimiva 2840 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16734, 40, 166ectocld 7436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
16833, 167syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
169168ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
17029, 169jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
17120, 125, 150, 127isghm 16876 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
17219, 170, 171sylanbrc 669 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   ifcif 3910   {csn 3997   <.cop 4003   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    Er wer 7366   [cec 7367   /.cqs 7368   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   2c2 10661   4c4 10663   [,]cicc 11640   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   Grpcgrp 16662    GrpHom cghm 16873  TopOnctopon 19910    Cn ccn 20232   IIcii 21899    ~=ph cphtpc 21992   *pcpco 22023    pi1 cpi1 22026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-ec 7371  df-qs 7375  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-mulg 16669  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-ii 21901  df-htpy 21993  df-phtpy 21994  df-phtpc 22015  df-pco 22028  df-om1 22029  df-pi1 22031
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  22080  pi1xfrgim  22081
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