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Theorem pi1xfr 21681
Description: Given a path  F and its inverse  I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
pi1xfr.q  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
pi1xfr.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
pi1xfr.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
pi1xfr.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1xfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1xfr.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1xfr  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    x, g, B    g, F, x    g, I, x    ph, g, x   
g, J, x    P, g, x    Q, g, x
Allowed substitution hints:    G( x, g)    X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr
Dummy variables  f  h  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iitopon 21509 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
4 pi1xfr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 cnf2 19877 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> X )
63, 1, 4, 5syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7 0elunit 11663 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
8 ffvelrn 6030 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  0 )  e.  X )
96, 7, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  X )
10 pi1xfr.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi1 
( F `  0
) )
1110pi1grp 21676 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  0 )  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
121, 9, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
13 1elunit 11664 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 ffvelrn 6030 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  1 )  e.  X )
156, 13, 14sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  X )
16 pi1xfr.q . . . . 5  |-  Q  =  ( J  pi1 
( F `  1
) )
1716pi1grp 21676 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  1 )  e.  X )  ->  Q  e.  Grp )
181, 15, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
1912, 18jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
20 pi1xfr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
21 pi1xfr.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. B  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( I ( *p `  J ) ( g ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) >. )
22 pi1xfr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
2322pcorevcl 21651 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
2524simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
2624simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
2726eqcomd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
2824simp3d 1010 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
2910, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28pi1xfrf 21679 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> ( Base `  Q ) )
3020a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  P ) )
3110, 1, 9, 30pi1bas2 21667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
3231eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
3332biimpa 484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
34 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) )
35 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3837oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4039ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
4131eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  <->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
4241biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
) )
4342adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
44 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
4544fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
4746oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
4845, 47eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
49 phtpcer 21621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
(  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J
) )
5110, 1, 9, 30pi1eluni 21668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. B 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5251biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
5352simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
54533adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  ( II 
Cn  J ) )
5510, 1, 9, 30pi1eluni 21668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( h  e.  U. B 
<->  ( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
h  e.  U. B  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  ( F `
 0 )  /\  ( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) ) )
5756biimp3a 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( h ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( h ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
5857simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5954, 58pco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( f `
 0 ) )
6052simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
61603adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6259, 61eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6352simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
64633adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
6557simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
6664, 65eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( h `
 0 ) )
6754, 58, 66pcocn 21643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  ( II 
Cn  J ) )
6843ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
6967, 68pco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( f ( *p `  J
) h ) ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( ( f ( *p `  J ) h ) `
 0 ) )
70283ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
7162, 69, 703eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
72253ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J ) )
7350, 72erref 7349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  I (  ~=ph  `  J
) I )
7457simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
75 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7654, 58, 68, 66, 74, 75pcoass 21650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) )
7758, 68pco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( h `
 0 ) )
7866, 77eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
7950, 54erref 7349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f (  ~=ph  `  J
) f )
8068, 72pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( I `
 1 ) )
8165, 77, 703eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
8280, 81eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
83 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )
8422, 83pcorev2 21654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F ( *p `  J ) I ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
8568, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F ( *p
`  J ) I ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) )
8658, 68, 74pcocn 21643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8750, 86erref 7349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
8882, 85, 87pcohtpy 21646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) )
8977, 65eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
9083pcopt 21648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( h ( *p `  J ) F ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) (  ~=ph  `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )
9186, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ( 
~=ph  `  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )
9250, 88, 91ertrd 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) )
93263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
9493eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( I `
 0 ) )
9568, 72, 86, 94, 81, 75pcoass 21650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( F ( *p `  J ) I ) ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9650, 92, 95ertr3d 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( h ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( F ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
9778, 79, 96pcohtpy 21646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
9872, 86, 81pcocn 21643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
9972, 86pco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( I `
 0 ) )
10099, 93eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
101100eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
10254, 68, 98, 64, 101, 75pcoass 21650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( f ( *p `  J ) ( F ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
10350, 97, 102ertr4d 7348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10450, 76, 103ertrd 7345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( f ( *p `  J
) F ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
10571, 73, 104pcohtpy 21646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
1064adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
10753, 106, 63pcocn 21643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
f ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
1081073adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) F )  e.  ( II 
Cn  J ) )
10953, 106pco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
11028adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
11160, 109, 1103eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
1121113adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I `  1
)  =  ( ( f ( *p `  J ) F ) `
 0 ) )
11354, 68pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
114113, 100eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) `
 0 ) )
11572, 108, 98, 112, 114, 75pcoass 21650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) (  ~=ph  `  J
) ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) F ) ( *p
`  J ) ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ) ) )
11650, 105, 115ertr4d 7348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( ( f ( *p
`  J ) h ) ( *p `  J ) F ) ) (  ~=ph  `  J
) ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) )
11750, 116erthi 7376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
11813ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
11954, 58pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( h `
 1 ) )
120119, 74eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h ) `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
12110, 1, 9, 30pi1eluni 21668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
1221213ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. B 
<->  ( ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) ) )
12367, 62, 120, 122mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. B
)
12410, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123pi1xfrval 21680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( ( f ( *p `  J ) h ) ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
125 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
126153ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  1
)  e.  X )
127 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
12825adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  I  e.  ( II  Cn  J
) )
129128, 107, 111pcocn 21643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I ( *p `  J ) ( f ( *p `  J
) F ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
1301293adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
131128, 107pco0 21640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( I ` 
0 ) )
13226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
I `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
133131, 132eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
1341333adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
135128, 107pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( ( f ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
13653, 106pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( f ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
137135, 136eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  (
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
1381373adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
139 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
14016, 118, 126, 139pi1eluni 21668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
141130, 134, 138, 140mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14272, 86pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( ( h ( *p `  J ) F ) `
 1 ) )
14358, 68pco1 21641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( h ( *p `  J ) F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
144142, 143eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
14516, 118, 126, 139pi1eluni 21668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) ) ) )
14698, 100, 144, 145mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( I ( *p
`  J ) ( h ( *p `  J ) F ) )  e.  U. ( Base `  Q ) )
14716, 125, 118, 126, 127, 141, 146pi1addval 21674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ( *p `  J ) ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ) ] (  ~=ph  `  J
) )
148117, 124, 1473eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( I ( *p `  J
) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q
) [ ( I ( *p `  J
) ( h ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
14993ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( F `  0
)  e.  X )
150 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
151 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
f  e.  U. B
)
152 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  ->  h  e.  U. B )
15310, 20, 118, 149, 150, 151, 152pi1addval 21674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
154153fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1551adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
15627adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( F `  1 )  =  ( I ` 
0 ) )
157 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  f  e.  U. B )
15810, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157pi1xfrval 21680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) )
1591583adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( f ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
16010, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152pi1xfrval 21680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p
`  J ) F ) ) ] ( 
~=ph  `  J ) )
161159, 160oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( I ( *p
`  J ) ( f ( *p `  J ) F ) ) ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  Q ) [ ( I ( *p `  J ) ( h ( *p `  J
) F ) ) ] (  ~=ph  `  J
) ) )
162148, 154, 1613eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B  /\  h  e. 
U. B )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
1631623expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  h  e.  U. B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
16434, 48, 163ectocld 7396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16543, 164syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. B )  /\  z  e.  B )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
166165ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
16734, 40, 166ectocld 7396 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
16833, 167syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
169168ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
17029, 169jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
17120, 125, 150, 127isghm 16394 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : B --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
17219, 170, 171sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   ifcif 3944   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    Er wer 7326   [cec 7327   /.cqs 7328   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   4c4 10608   [,]cicc 11557   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   Grpcgrp 16180    GrpHom cghm 16391  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852   IIcii 21505    ~=ph cphtpc 21595   *pcpco 21626    pi1 cpi1 21629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-mulg 16187  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-ii 21507  df-htpy 21596  df-phtpy 21597  df-phtpc 21618  df-pco 21631  df-om1 21632  df-pi1 21634
This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  21683  pi1xfrgim  21684
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