MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Structured version   Unicode version

Theorem pi1inv 21530
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1inv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
pi1inv.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1inv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1inv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1inv.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
pi1inv.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
pi1inv.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1inv  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, J    ph, x    x, Y
Allowed substitution hints:    I( x)    N( x)    X( x)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 pi1inv.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 pi1inv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6 pi1inv.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1inv.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
87pcorevcl 21503 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
109simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
119simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
12 pi1inv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
1311, 12eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  Y )
149simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
15 pi1inv.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
1614, 15eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  Y )
172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
181, 3, 4, 17pi1eluni 21520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  Y  /\  ( I `  1
)  =  Y ) ) )
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1180 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U. ( Base `  G ) )
201, 3, 4, 17pi1eluni 21520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
216, 15, 12, 20mpbir3and 1180 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  U. ( Base `  G ) )
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 21526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J
) F ) ] (  ~=ph  `  J ) )
23 phtpcer 21473 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
25 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )
267, 25pcorev 21505 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } ) )
276, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
1 ) } ) )
2812sneqd 4026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F ` 
1 ) }  =  { Y } )
2928xpeq2d 5013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) )
3027, 29breqtrd 4461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) )
3124, 30erthi 7360 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( I ( *p `  J ) F ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
) )
32 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 21527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) )
3522, 31, 343eqtrd 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( 0g `  G ) )
3633simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 21524 . . 3  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 21524 . . 3  |-  ( ph  ->  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
39 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 pi1inv.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
412, 5, 39, 40grpinvid2 16078 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J )  e.  (
Base `  G )  /\  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4236, 37, 38, 41syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4335, 42mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    Er wer 7310   [cec 7311   0cc0 9495   1c1 9496    - cmin 9810   [,]cicc 11543   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   0gc0g 14819   Grpcgrp 16032   invgcminusg 16033  TopOnctopon 19373    Cn ccn 19703   IIcii 21357    ~=ph cphtpc 21447   *pcpco 21478    pi1 cpi1 21481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-qus 14888  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-ii 21359  df-htpy 21448  df-phtpy 21449  df-phtpc 21470  df-pco 21483  df-om1 21484  df-pi1 21486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator