MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Structured version   Unicode version

Theorem pi1inv 21284
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1inv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
pi1inv.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1inv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1inv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1inv.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
pi1inv.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
pi1inv.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1inv  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, J    ph, x    x, Y
Allowed substitution hints:    I( x)    N( x)    X( x)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 pi1inv.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 pi1inv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6 pi1inv.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1inv.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
87pcorevcl 21257 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
109simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
119simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
12 pi1inv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
1311, 12eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  Y )
149simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
15 pi1inv.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
1614, 15eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  Y )
172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
181, 3, 4, 17pi1eluni 21274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  Y  /\  ( I `  1
)  =  Y ) ) )
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1179 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U. ( Base `  G ) )
201, 3, 4, 17pi1eluni 21274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
216, 15, 12, 20mpbir3and 1179 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  U. ( Base `  G ) )
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 21280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J
) F ) ] (  ~=ph  `  J ) )
23 phtpcer 21227 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
25 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )
267, 25pcorev 21259 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } ) )
276, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
1 ) } ) )
2812sneqd 4039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F ` 
1 ) }  =  { Y } )
2928xpeq2d 5023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) )
3027, 29breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) )
3124, 30erthi 7355 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( I ( *p `  J ) F ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
) )
32 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 21281 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) )
3522, 31, 343eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( 0g `  G ) )
3633simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 21278 . . 3  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 21278 . . 3  |-  ( ph  ->  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
39 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 pi1inv.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
412, 5, 39, 40grpinvid2 15897 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J )  e.  (
Base `  G )  /\  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4236, 37, 38, 41syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4335, 42mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    Er wer 7305   [cec 7306   0cc0 9488   1c1 9489    - cmin 9801   [,]cicc 11528   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   Grpcgrp 15720   invgcminusg 15721  TopOnctopon 19159    Cn ccn 19488   IIcii 21111    ~=ph cphtpc 21201   *pcpco 21232    pi1 cpi1 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-divs 14757  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-ii 21113  df-htpy 21202  df-phtpy 21203  df-phtpc 21224  df-pco 21237  df-om1 21238  df-pi1 21240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator