MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Structured version   Unicode version

Theorem pi1inv 21844
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1inv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
pi1inv.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1inv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1inv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pi1inv.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
pi1inv.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
pi1inv.i  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
pi1inv  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, J    ph, x    x, Y
Allowed substitution hints:    I( x)    N( x)    X( x)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 pi1inv.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 pi1inv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6 pi1inv.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
7 pi1inv.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
87pcorevcl 21817 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 )  /\  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) ) )
96, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( I ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( I ` 
1 )  =  ( F `  0 ) ) )
109simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( II 
Cn  J ) )
119simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  ( F `
 1 ) )
12 pi1inv.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  Y )
1311, 12eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  0
)  =  Y )
149simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  ( F `
 0 ) )
15 pi1inv.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  Y )
1614, 15eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  1
)  =  Y )
172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
181, 3, 4, 17pi1eluni 21834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( I  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( I `  0
)  =  Y  /\  ( I `  1
)  =  Y ) ) )
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1180 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U. ( Base `  G ) )
201, 3, 4, 17pi1eluni 21834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  U. ( Base `  G )  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
216, 15, 12, 20mpbir3and 1180 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  U. ( Base `  G ) )
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 21840 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( I ( *p `  J
) F ) ] (  ~=ph  `  J ) )
23 phtpcer 21787 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
25 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } )
267, 25pcorev 21819 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
I ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } ) )
276, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
1 ) } ) )
2812sneqd 3984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F ` 
1 ) }  =  { Y } )
2928xpeq2d 4847 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) )
3027, 29breqtrd 4419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) )
3124, 30erthi 7395 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( I ( *p `  J ) F ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
) )
32 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 21841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3433simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  [ ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) ] (  ~=ph  `  J
)  =  ( 0g
`  G ) )
3522, 31, 343eqtrd 2447 . 2  |-  ( ph  ->  ( [ I ]
(  ~=ph  `  J )
( +g  `  G ) [ F ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( 0g `  G ) )
3633simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 21838 . . 3  |-  ( ph  ->  [ F ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 21838 . . 3  |-  ( ph  ->  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )
39 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 pi1inv.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
412, 5, 39, 40grpinvid2 16423 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  [ F ] (  ~=ph  `  J )  e.  (
Base `  G )  /\  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4236, 37, 38, 41syl3anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ I ] ( 
~=ph  `  J )  <->  ( [
I ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  G ) [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
4335, 42mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( N `  [ F ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
I ] (  ~=ph  `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3972   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    Er wer 7345   [cec 7346   0cc0 9522   1c1 9523    - cmin 9841   [,]cicc 11585   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377   invgcminusg 16378  TopOnctopon 19687    Cn ccn 20018   IIcii 21671    ~=ph cphtpc 21761   *pcpco 21792    pi1 cpi1 21795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-qus 15123  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-ii 21673  df-htpy 21762  df-phtpy 21763  df-phtpc 21784  df-pco 21797  df-om1 21798  df-pi1 21800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator