MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grplem Structured version   Unicode version

Theorem pi1grplem 20633
Description: Lemma for pi1grp 20634. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1fval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pi1fval.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1fval.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1grplem.z  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pi1grplem  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables  a 
b  c  d  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1fval.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1fval.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 20621 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 pi1fval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
8 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 20624 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
10 fvex 5713 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
12 ovex 6128 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
141, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 20623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " U. B )  C_  U. B  /\  U. B  C_  (
II  Cn  J )
) )
1514simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
165, 9, 11, 13, 15divsin 14494 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
174, 2, 3om1plusg 20618 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) )
18 phtpcer 20579 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2014simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2119, 20erinxp 7186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
22 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
23 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
241, 2, 3, 7, 22, 4, 23pi1cpbl 20628 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
2517oveqd 6120 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a ( *p
`  J ) b )  =  ( a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) )
2617oveqd 6120 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c ( *p
`  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
2725, 26breq12d 4317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( *p `  J ) b ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d )  <-> 
( a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
2824, 27sylibrd 234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( *p `  J ) b ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d ) ) )
2923ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3033ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  Y  e.  X )
3193ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
32 simp2 989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  x  e.  U. B )
33 simp3 990 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
y  e.  U. B
)
344, 29, 30, 31, 32, 33om1addcl 20617 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
( x ( *p
`  J ) y )  e.  U. B
)
352adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
363adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
379adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
38343adant3r3 1198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) y )  e.  U. B )
39 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  U. B )
404, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 20617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
41 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  U. B )
42 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  U. B )
434, 35, 36, 37, 42, 39om1addcl 20617 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
444, 35, 36, 37, 41, 43om1addcl 20617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  e.  U. B )
451, 2, 3, 7pi1eluni 20626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. B 
<->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( x ` 
0 )  =  Y  /\  ( x ` 
1 )  =  Y ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) )
47463ad2antr1 1153 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x `  0 )  =  Y  /\  ( x `
 1 )  =  Y ) )
4847simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
496a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  B  =  (
Base `  G )
)
501, 35, 36, 49pi1eluni 20626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e. 
U. B  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) ) )
5142, 50mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) )
5251simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
531, 35, 36, 49pi1eluni 20626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e. 
U. B  <->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) ) )
5439, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) )
5554simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
5647simp3d 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  Y )
5751simp2d 1001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
0 )  =  Y )
5856, 57eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  ( y `  0 ) )
5951simp3d 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  Y )
6054simp2d 1001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z ` 
0 )  =  Y )
6159, 60eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  ( z `  0 ) )
62 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
6348, 52, 55, 58, 61, 62pcoass 20608 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) (  ~=ph  `  J ) ( x ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) z ) ) )
64 brinxp2 4912 . . . 4  |-  ( ( ( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  <->  ( (
( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B  /\  ( x ( *p
`  J ) ( y ( *p `  J ) z ) )  e.  U. B  /\  ( ( x ( *p `  J ) y ) ( *p
`  J ) z ) (  ~=ph  `  J
) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) ) ) )
6540, 44, 63, 64syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p `  J
) z ) ) )
66 pi1grplem.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
6766pcoptcl 20605 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  `  0 )  =  Y  /\  (  .0.  `  1 )  =  Y ) )
682, 3, 67syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) )
691, 2, 3, 7pi1eluni 20626 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  U. B 
<->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) ) )
7068, 69mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  U. B
)
712adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
723adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  Y  e.  X )
739adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
7470adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  e.  U. B )
75 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  U. B )
764, 71, 72, 73, 74, 75om1addcl 20617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B )
7720sselda 3368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
7846simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  0 )  =  Y )
7966pcopt 20606 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y )  ->  (  .0.  ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) x )
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x )
81 brinxp2 4912 . . . 4  |-  ( (  .0.  ( *p `  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x  <->  ( (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B  /\  x  e.  U. B  /\  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x ) )
8276, 75, 80, 81syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x )
83 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )
8483pcorevcl 20609 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8577, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8685simp1d 1000 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8785simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  ( x `
 1 ) )
8846simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  1 )  =  Y )
8987, 88eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  Y )
9085simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  ( x `
 0 ) )
9190, 78eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y )
921, 2, 3, 7pi1eluni 20626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e. 
U. B  <->  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ` 
0 )  =  Y  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 1 )  =  Y ) ) )
9392adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  U. B 
<->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  0 )  =  Y  /\  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y ) ) )
9486, 89, 91, 93mpbir3and 1171 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  U. B
)
954, 71, 72, 73, 94, 75om1addcl 20617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B
)
96 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )
9783, 96pcorev 20611 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9877, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9988sneqd 3901 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  { ( x `  1 ) }  =  { Y } )
10099xpeq2d 4876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( x `  1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) )
101100, 66syl6reqr 2494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
10298, 101breqtrrd 4330 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
)  .0.  )
103 brinxp2 4912 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  <->  ( (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B  /\  .0.  e.  U. B  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J )  .0.  )
)
10495, 74, 102, 103syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  )
10516, 9, 17, 21, 13, 28, 34, 65, 70, 82, 94, 104divsgrp2 15685 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
106 ecinxp 7187 . . . . 5  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  .0.  e.  U. B )  ->  [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
10715, 70, 106syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  [  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
108107eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G )  <->  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
109108anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
Grp  /\  [  .0.  ] (  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G ) )  <->  ( G  e.  Grp  /\  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
110105, 109mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    i^i cin 3339    C_ wss 3340   ifcif 3803   {csn 3889   U.cuni 4103   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362    X. cxp 4850   "cima 4855   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    Er wer 7110   [cec 7111   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    <_ cle 9431    - cmin 9607    / cdiv 10005   2c2 10383   4c4 10385   [,]cicc 11315   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   0gc0g 14390   Grpcgrp 15422  TopOnctopon 18511    Cn ccn 18840   IIcii 20463    ~=ph cphtpc 20553   *pcpco 20584    Om1 comi 20585    pi1 cpi1 20587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-ec 7115  df-qs 7119  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-divs 14459  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-ii 20465  df-htpy 20554  df-phtpy 20555  df-phtpc 20576  df-pco 20589  df-om1 20590  df-pi1 20592
This theorem is referenced by:  pi1grp  20634  pi1id  20635  pi1inv  20636
  Copyright terms: Public domain W3C validator