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Theorem pi1grplem 21376
Description: Lemma for pi1grp 21377. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1fval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pi1fval.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1fval.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1grplem.z  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pi1grplem  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables  a 
b  c  d  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1fval.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1fval.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 21364 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 pi1fval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
8 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 21367 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
10 fvex 5876 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
12 ovex 6310 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
141, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 21366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " U. B )  C_  U. B  /\  U. B  C_  (
II  Cn  J )
) )
1514simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
165, 9, 11, 13, 15qusin 14802 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
174, 2, 3om1plusg 21361 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) )
18 phtpcer 21322 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2014simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2119, 20erinxp 7386 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
22 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
23 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
241, 2, 3, 7, 22, 4, 23pi1cpbl 21371 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
2517oveqd 6302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a ( *p
`  J ) b )  =  ( a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) )
2617oveqd 6302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c ( *p
`  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
2725, 26breq12d 4460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( *p `  J ) b ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d )  <-> 
( a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
2824, 27sylibrd 234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( *p `  J ) b ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d ) ) )
2923ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3033ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  Y  e.  X )
3193ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
32 simp2 997 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  x  e.  U. B )
33 simp3 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
y  e.  U. B
)
344, 29, 30, 31, 32, 33om1addcl 21360 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
( x ( *p
`  J ) y )  e.  U. B
)
352adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
363adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
379adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
38343adant3r3 1207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) y )  e.  U. B )
39 simpr3 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  U. B )
404, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 21360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
41 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  U. B )
42 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  U. B )
434, 35, 36, 37, 42, 39om1addcl 21360 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
444, 35, 36, 37, 41, 43om1addcl 21360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  e.  U. B )
451, 2, 3, 7pi1eluni 21369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. B 
<->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( x ` 
0 )  =  Y  /\  ( x ` 
1 )  =  Y ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) )
47463ad2antr1 1161 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x `  0 )  =  Y  /\  ( x `
 1 )  =  Y ) )
4847simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
496a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  B  =  (
Base `  G )
)
501, 35, 36, 49pi1eluni 21369 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e. 
U. B  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) ) )
5142, 50mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) )
5251simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
531, 35, 36, 49pi1eluni 21369 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e. 
U. B  <->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) ) )
5439, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) )
5554simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
5647simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  Y )
5751simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
0 )  =  Y )
5856, 57eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  ( y `  0 ) )
5951simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  Y )
6054simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z ` 
0 )  =  Y )
6159, 60eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  ( z `  0 ) )
62 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
6348, 52, 55, 58, 61, 62pcoass 21351 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) (  ~=ph  `  J ) ( x ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) z ) ) )
64 brinxp2 5061 . . . 4  |-  ( ( ( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  <->  ( (
( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B  /\  ( x ( *p
`  J ) ( y ( *p `  J ) z ) )  e.  U. B  /\  ( ( x ( *p `  J ) y ) ( *p
`  J ) z ) (  ~=ph  `  J
) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) ) ) )
6540, 44, 63, 64syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p `  J
) z ) ) )
66 pi1grplem.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
6766pcoptcl 21348 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  `  0 )  =  Y  /\  (  .0.  `  1 )  =  Y ) )
682, 3, 67syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) )
691, 2, 3, 7pi1eluni 21369 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  U. B 
<->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) ) )
7068, 69mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  U. B
)
712adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
723adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  Y  e.  X )
739adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
7470adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  e.  U. B )
75 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  U. B )
764, 71, 72, 73, 74, 75om1addcl 21360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B )
7720sselda 3504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
7846simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  0 )  =  Y )
7966pcopt 21349 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y )  ->  (  .0.  ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) x )
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x )
81 brinxp2 5061 . . . 4  |-  ( (  .0.  ( *p `  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x  <->  ( (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B  /\  x  e.  U. B  /\  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x ) )
8276, 75, 80, 81syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x )
83 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )
8483pcorevcl 21352 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8577, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8685simp1d 1008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8785simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  ( x `
 1 ) )
8846simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  1 )  =  Y )
8987, 88eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  Y )
9085simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  ( x `
 0 ) )
9190, 78eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y )
921, 2, 3, 7pi1eluni 21369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e. 
U. B  <->  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ` 
0 )  =  Y  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 1 )  =  Y ) ) )
9392adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  U. B 
<->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  0 )  =  Y  /\  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y ) ) )
9486, 89, 91, 93mpbir3and 1179 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  U. B
)
954, 71, 72, 73, 94, 75om1addcl 21360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B
)
96 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )
9783, 96pcorev 21354 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9877, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9988sneqd 4039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  { ( x `  1 ) }  =  { Y } )
10099xpeq2d 5023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( x `  1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) )
101100, 66syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
10298, 101breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
)  .0.  )
103 brinxp2 5061 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  <->  ( (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B  /\  .0.  e.  U. B  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J )  .0.  )
)
10495, 74, 102, 103syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  )
10516, 9, 17, 21, 13, 28, 34, 65, 70, 82, 94, 104qusgrp2 16002 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
106 ecinxp 7387 . . . . 5  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  .0.  e.  U. B )  ->  [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
10715, 70, 106syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  [  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
108107eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G )  <->  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
109108anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
Grp  /\  [  .0.  ] (  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G ) )  <->  ( G  e.  Grp  /\  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
110105, 109mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   "cima 5002   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    Er wer 7309   [cec 7310   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   2c2 10586   4c4 10588   [,]cicc 11533   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730  TopOnctopon 19202    Cn ccn 19531   IIcii 21206    ~=ph cphtpc 21296   *pcpco 21327    Om1 comi 21328    pi1 cpi1 21330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-qus 14767  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-ii 21208  df-htpy 21297  df-phtpy 21298  df-phtpc 21319  df-pco 21332  df-om1 21333  df-pi1 21335
This theorem is referenced by:  pi1grp  21377  pi1id  21378  pi1inv  21379
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