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Theorem pi1grplem 21422
Description: Lemma for pi1grp 21423. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1fval.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1fval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pi1fval.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1fval.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1grplem.z  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pi1grplem  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )

Proof of Theorem pi1grplem
Dummy variables  a 
b  c  d  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1fval.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1fval.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1fval.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 21410 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 pi1fval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
8 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
91, 2, 3, 4, 7, 8pi1buni 21413 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
10 fvex 5866 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
12 ovex 6309 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
141, 2, 3, 4, 7, 9pi1blem 21412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " U. B )  C_  U. B  /\  U. B  C_  (
II  Cn  J )
) )
1514simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
165, 9, 11, 13, 15qusin 14818 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
174, 2, 3om1plusg 21407 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) )
18 phtpcer 21368 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2014simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2119, 20erinxp 7387 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
22 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
23 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
241, 2, 3, 7, 22, 4, 23pi1cpbl 21417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
2517oveqd 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a ( *p
`  J ) b )  =  ( a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) )
2617oveqd 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c ( *p
`  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
2725, 26breq12d 4450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( *p `  J ) b ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d )  <-> 
( a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
2824, 27sylibrd 234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( *p `  J ) b ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( *p `  J ) d ) ) )
2923ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3033ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  Y  e.  X )
3193ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
32 simp2 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  ->  x  e.  U. B )
33 simp3 999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
y  e.  U. B
)
344, 29, 30, 31, 32, 33om1addcl 21406 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B  /\  y  e. 
U. B )  -> 
( x ( *p
`  J ) y )  e.  U. B
)
352adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
363adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
379adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
38343adant3r3 1208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) y )  e.  U. B )
39 simpr3 1005 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  U. B )
404, 35, 36, 37, 38, 39om1addcl 21406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
41 simpr1 1003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  U. B )
42 simpr2 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  U. B )
434, 35, 36, 37, 42, 39om1addcl 21406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ( *p `  J ) z )  e.  U. B )
444, 35, 36, 37, 41, 43om1addcl 21406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  e.  U. B )
451, 2, 3, 7pi1eluni 21415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. B 
<->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( x ` 
0 )  =  Y  /\  ( x ` 
1 )  =  Y ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) )
47463ad2antr1 1162 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x `  0 )  =  Y  /\  ( x `
 1 )  =  Y ) )
4847simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
496a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  B  =  (
Base `  G )
)
501, 35, 36, 49pi1eluni 21415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e. 
U. B  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) ) )
5142, 50mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y `  0 )  =  Y  /\  ( y `
 1 )  =  Y ) )
5251simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
531, 35, 36, 49pi1eluni 21415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e. 
U. B  <->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) ) )
5439, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( z `  0 )  =  Y  /\  ( z `
 1 )  =  Y ) )
5554simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
5647simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  Y )
5751simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
0 )  =  Y )
5856, 57eqtr4d 2487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( x ` 
1 )  =  ( y `  0 ) )
5951simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  Y )
6054simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( z ` 
0 )  =  Y )
6159, 60eqtr4d 2487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( y ` 
1 )  =  ( z `  0 ) )
62 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  ( 1  /  2 ) ,  if ( u  <_ 
( 1  /  4
) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4 ) ) ) ,  ( ( u  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( u  <_  (
1  /  2 ) ,  if ( u  <_  ( 1  / 
4 ) ,  ( 2  x.  u ) ,  ( u  +  ( 1  /  4
) ) ) ,  ( ( u  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
6348, 52, 55, 58, 61, 62pcoass 21397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) (  ~=ph  `  J ) ( x ( *p `  J
) ( y ( *p `  J ) z ) ) )
64 brinxp2 5051 . . . 4  |-  ( ( ( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) )  <->  ( (
( x ( *p
`  J ) y ) ( *p `  J ) z )  e.  U. B  /\  ( x ( *p
`  J ) ( y ( *p `  J ) z ) )  e.  U. B  /\  ( ( x ( *p `  J ) y ) ( *p
`  J ) z ) (  ~=ph  `  J
) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p
`  J ) z ) ) ) )
6540, 44, 63, 64syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U. B  /\  y  e.  U. B  /\  z  e.  U. B ) )  ->  ( ( x ( *p `  J
) y ) ( *p `  J ) z ) ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( x ( *p `  J ) ( y ( *p `  J
) z ) ) )
66 pi1grplem.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
6766pcoptcl 21394 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  `  0 )  =  Y  /\  (  .0.  `  1 )  =  Y ) )
682, 3, 67syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) )
691, 2, 3, 7pi1eluni 21415 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  U. B 
<->  (  .0.  e.  ( II  Cn  J )  /\  (  .0.  ` 
0 )  =  Y  /\  (  .0.  ` 
1 )  =  Y ) ) )
7068, 69mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  U. B
)
712adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
723adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  Y  e.  X )
739adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  U. B  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
7470adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  e.  U. B )
75 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  U. B )
764, 71, 72, 73, 74, 75om1addcl 21406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B )
7720sselda 3489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
7846simp2d 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  0 )  =  Y )
7966pcopt 21395 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y )  ->  (  .0.  ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) x )
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x )
81 brinxp2 5051 . . . 4  |-  ( (  .0.  ( *p `  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x  <->  ( (  .0.  ( *p `  J
) x )  e. 
U. B  /\  x  e.  U. B  /\  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( 
~=ph  `  J ) x ) )
8276, 75, 80, 81syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (  .0.  ( *p `  J
) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) x )
83 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )
8483pcorevcl 21398 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8577, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 0 )  =  ( x `  1
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  1 )  =  ( x ` 
0 ) ) )
8685simp1d 1009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
8785simp2d 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  ( x `
 1 ) )
8846simp3d 1011 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
x `  1 )  =  Y )
8987, 88eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  0
)  =  Y )
9085simp3d 1011 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  ( x `
 0 ) )
9190, 78eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y )
921, 2, 3, 7pi1eluni 21415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e. 
U. B  <->  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ` 
0 )  =  Y  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 ( 1  -  a ) ) ) `
 1 )  =  Y ) ) )
9392adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) )  e.  U. B 
<->  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) ) `  0 )  =  Y  /\  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) `  1
)  =  Y ) ) )
9486, 89, 91, 93mpbir3and 1180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
a  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  ( 1  -  a ) ) )  e.  U. B
)
954, 71, 72, 73, 94, 75om1addcl 21406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B
)
96 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( x `
 1 ) } )
9783, 96pcorev 21400 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9877, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
9988sneqd 4026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  { ( x `  1 ) }  =  { Y } )
10099xpeq2d 5013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( x `  1 ) } )  =  ( ( 0 [,] 1
)  X.  { Y } ) )
101100, 66syl6reqr 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  .0.  =  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( x ` 
1 ) } ) )
10298, 101breqtrrd 4463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) (  ~=ph  `  J
)  .0.  )
103 brinxp2 5051 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  <->  ( (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x )  e.  U. B  /\  .0.  e.  U. B  /\  ( ( a  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  ( 1  -  a
) ) ) ( *p `  J ) x ) (  ~=ph  `  J )  .0.  )
)
10495, 74, 102, 103syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. B )  ->  (
( a  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x `  (
1  -  a ) ) ) ( *p
`  J ) x ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  .0.  )
10516, 9, 17, 21, 13, 28, 34, 65, 70, 82, 94, 104qusgrp2 16062 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
106 ecinxp 7388 . . . . 5  |-  ( ( ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B  /\  .0.  e.  U. B )  ->  [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
10715, 70, 106syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  [  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
108107eqeq1d 2445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [  .0.  ]
(  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G )  <->  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
109108anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
Grp  /\  [  .0.  ] (  ~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G ) )  <->  ( G  e.  Grp  /\  [  .0.  ] ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) ) )
110105, 109mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\ 
[  .0.  ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   "cima 4992   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    Er wer 7310   [cec 7311   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10212   2c2 10591   4c4 10593   [,]cicc 11541   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927  TopOnctopon 19268    Cn ccn 19598   IIcii 21252    ~=ph cphtpc 21342   *pcpco 21373    Om1 comi 21374    pi1 cpi1 21376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-qus 14783  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-ii 21254  df-htpy 21343  df-phtpy 21344  df-phtpc 21365  df-pco 21378  df-om1 21379  df-pi1 21381
This theorem is referenced by:  pi1grp  21423  pi1id  21424  pi1inv  21425
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