MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1grp Unicode version

Theorem pi1grp 18380
Description: The fundamental group is a group. Proposition 1.3 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pi1grp.2  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
Assertion
Ref Expression
pi1grp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem pi1grp
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . 3  |-  G  =  ( J  pi 1  Y )
2 eqid 2253 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 simpl 445 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 simpr 449 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  Y  e.  X )
5 eqid 2253 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
)
61, 2, 3, 4, 5pi1grplem 18379 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  ( G  e.  Grp  /\  [
( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } ) ] ( 
~=ph  `  J )  =  ( 0g `  G
) ) )
76simpld 447 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {csn 3544    X. cxp 4578   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   [cec 6544   0cc0 8617   1c1 8618   [,]cicc 10537   Basecbs 13022   0gc0g 13274   Grpcgrp 14197  TopOnctopon 16464    ~=ph cphtpc 18299    pi 1 cpi1 18333
This theorem is referenced by:  pi1xfr  18385  pi1coghm  18391  sconpi1  22941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-ii 18213  df-htpy 18300  df-phtpy 18301  df-phtpc 18322  df-pco 18335  df-om1 18336  df-pi1 18338
  Copyright terms: Public domain W3C validator