Theorem pi1eluni 21415

Description: Elementhood in the base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	|- G = ( J pi1 Y )
pi1val.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1val.2	|- ( ph -> Y e. X )
pi1bas2.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
pi1eluni	|- ( ph -> ( F e. U. B <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y /\ ( F ` 1 ) = Y ) ) )

Proof of Theorem pi1eluni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. 2 |- ( J Om1 Y ) = ( J Om1 Y )
2		pi1val.1	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		pi1val.2	. 2 |- ( ph -> Y e. X )
4		pi1val.g	. . 3 |- G = ( J pi1 Y )
5		pi1bas2.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
6		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` ( J Om1 Y ) ) = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
7	4, 2, 3, 1, 5, 6	pi1buni 21413	. 2 |- ( ph -> U. B = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
8	1, 2, 3, 7	om1elbas 21405	1 |- ( ph -> ( F e. U. B <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y /\ ( F ` 1 ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   U.cuni 4234   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496   Basecbs 14509  TopOnctopon 19268   Cn ccn 19598   IIcii 21252   Om1 comi 21374   pi1 cpi1 21376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-qus 14783  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-ii 21254  df-htpy 21343  df-phtpy 21344  df-phtpc 21365  df-om1 21379  df-pi1 21381

This theorem is referenced by:  pi1cpbl  21417  elpi1  21418  pi1grplem  21422  pi1inv  21425  pi1xfrf  21426  pi1xfr  21428  pi1xfrcnvlem  21429  pi1cof  21432  pi1coghm  21434