MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Unicode version

Theorem pi1cpbl 21410
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1bas2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas3.r  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
pi1cpbl.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1cpbl.a  |-  .+  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
2 pi1val.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
4 pi1val.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Y  e.  X )
6 pi1val.g . . . . . 6  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
7 pi1bas2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  B  =  ( Base `  G ) )
9 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( Base `  O )  =  ( Base `  O
) )
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 21406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  U. B  =  ( Base `  O ) )
11 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M R N )
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
1312breqi 4439 . . . . . . . 8  |-  ( M R N  <->  M (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N )
14 brinxp2 5047 . . . . . . . 8  |-  ( M ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( M R N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1611, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M (  ~=ph  `  J ) N ) )
1716simp1d 1007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M  e.  U. B )
18 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P R Q )
1912breqi 4439 . . . . . . . 8  |-  ( P R Q  <->  P (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q )
20 brinxp2 5047 . . . . . . . 8  |-  ( P ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( P R Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2218, 21sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P (  ~=ph  `  J ) Q ) )
2322simp1d 1007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P  e.  U. B )
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 21399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  e.  U. B
)
2516simp2d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  N  e.  U. B )
2622simp2d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Q  e.  U. B )
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 21399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  e.  U. B
)
286, 3, 5, 8pi1eluni 21408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B 
<->  ( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) ) )
2917, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp3d 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  Y )
316, 3, 5, 8pi1eluni 21408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B 
<->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) ) )
3223, 31mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp2d 1008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P `  0
)  =  Y )
3430, 33eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
3516simp3d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M (  ~=ph  `  J
) N )
3622simp3d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P (  ~=ph  `  J
) Q )
3734, 35, 36pcohtpy 21386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) ( N ( *p `  J ) Q ) )
3812breqi 4439 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( M
( *p `  J
) P ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p
`  J ) Q ) )
39 brinxp2 5047 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4038, 39bitri 249 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4124, 27, 37, 40syl3anbrc 1179 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) R ( N ( *p `  J
) Q ) )
421, 3, 5om1plusg 21400 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )
43 pi1cpbl.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  O )
4442, 43syl6eqr 2500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  .+  )
4544oveqd 6294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  =  ( M 
.+  P ) )
4644oveqd 6294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  =  ( N 
.+  Q ) )
4741, 45, 463brtr3d 4462 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  .+  P
) R ( N 
.+  Q ) )
4847ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    i^i cin 3457   U.cuni 4230   class class class wbr 4433    X. cxp 4983   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   0cc0 9490   1c1 9491   Basecbs 14504   +g cplusg 14569  TopOnctopon 19262    Cn ccn 19591   IIcii 21245    ~=ph cphtpc 21335   *pcpco 21366    Om1 comi 21367    pi1 cpi1 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-ec 7311  df-qs 7315  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-qus 14778  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-ii 21247  df-htpy 21336  df-phtpy 21337  df-phtpc 21358  df-pco 21371  df-om1 21372  df-pi1 21374
This theorem is referenced by:  pi1addf  21413  pi1addval  21414  pi1grplem  21415
  Copyright terms: Public domain W3C validator