MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Unicode version

Theorem pi1cpbl 20615
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1bas2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas3.r  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
pi1cpbl.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1cpbl.a  |-  .+  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
2 pi1val.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
4 pi1val.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Y  e.  X )
6 pi1val.g . . . . . 6  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
7 pi1bas2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  B  =  ( Base `  G ) )
9 eqidd 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( Base `  O )  =  ( Base `  O
) )
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 20611 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  U. B  =  ( Base `  O ) )
11 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M R N )
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
1312breqi 4297 . . . . . . . 8  |-  ( M R N  <->  M (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N )
14 brinxp2 4899 . . . . . . . 8  |-  ( M ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( M R N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1611, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M (  ~=ph  `  J ) N ) )
1716simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M  e.  U. B )
18 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P R Q )
1912breqi 4297 . . . . . . . 8  |-  ( P R Q  <->  P (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q )
20 brinxp2 4899 . . . . . . . 8  |-  ( P ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( P R Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2218, 21sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P (  ~=ph  `  J ) Q ) )
2322simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P  e.  U. B )
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 20604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  e.  U. B
)
2516simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  N  e.  U. B )
2622simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Q  e.  U. B )
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 20604 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  e.  U. B
)
286, 3, 5, 8pi1eluni 20613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B 
<->  ( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) ) )
2917, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp3d 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  Y )
316, 3, 5, 8pi1eluni 20613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B 
<->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) ) )
3223, 31mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp2d 1001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P `  0
)  =  Y )
3430, 33eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
3516simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M (  ~=ph  `  J
) N )
3622simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P (  ~=ph  `  J
) Q )
3734, 35, 36pcohtpy 20591 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) ( N ( *p `  J ) Q ) )
3812breqi 4297 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( M
( *p `  J
) P ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p
`  J ) Q ) )
39 brinxp2 4899 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4038, 39bitri 249 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4124, 27, 37, 40syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) R ( N ( *p `  J
) Q ) )
421, 3, 5om1plusg 20605 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )
43 pi1cpbl.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  O )
4442, 43syl6eqr 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  .+  )
4544oveqd 6107 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  =  ( M 
.+  P ) )
4644oveqd 6107 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  =  ( N 
.+  Q ) )
4741, 45, 463brtr3d 4320 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  .+  P
) R ( N 
.+  Q ) )
4847ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3326   U.cuni 4090   class class class wbr 4291    X. cxp 4837   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   0cc0 9281   1c1 9282   Basecbs 14173   +g cplusg 14237  TopOnctopon 18498    Cn ccn 18827   IIcii 20450    ~=ph cphtpc 20540   *pcpco 20571    Om1 comi 20572    pi1 cpi1 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-ec 7102  df-qs 7106  df-map 7215  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-divs 14446  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-ii 20452  df-htpy 20541  df-phtpy 20542  df-phtpc 20563  df-pco 20576  df-om1 20577  df-pi1 20579
This theorem is referenced by:  pi1addf  20618  pi1addval  20619  pi1grplem  20620
  Copyright terms: Public domain W3C validator