MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1cpbl Structured version   Unicode version

Theorem pi1cpbl 21412
Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1bas2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas3.r  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
pi1cpbl.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1cpbl.a  |-  .+  =  ( +g  `  O )
Assertion
Ref Expression
pi1cpbl  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )

Proof of Theorem pi1cpbl
StepHypRef Expression
1 pi1cpbl.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
2 pi1val.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
4 pi1val.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Y  e.  X )
6 pi1val.g . . . . . 6  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
7 pi1bas2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  B  =  ( Base `  G ) )
9 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( Base `  O )  =  ( Base `  O
) )
106, 3, 5, 1, 8, 9pi1buni 21408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  U. B  =  ( Base `  O ) )
11 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M R N )
12 pi1bas3.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
1312breqi 4459 . . . . . . . 8  |-  ( M R N  <->  M (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N )
14 brinxp2 5067 . . . . . . . 8  |-  ( M ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( M R N  <->  ( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M
(  ~=ph  `  J ) N ) )
1611, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B  /\  N  e.  U. B  /\  M (  ~=ph  `  J ) N ) )
1716simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M  e.  U. B )
18 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P R Q )
1912breqi 4459 . . . . . . . 8  |-  ( P R Q  <->  P (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q )
20 brinxp2 5067 . . . . . . . 8  |-  ( P ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( P R Q  <->  ( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P
(  ~=ph  `  J ) Q ) )
2218, 21sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B  /\  Q  e.  U. B  /\  P (  ~=ph  `  J ) Q ) )
2322simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P  e.  U. B )
241, 3, 5, 10, 17, 23om1addcl 21401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  e.  U. B
)
2516simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  N  e.  U. B )
2622simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  Q  e.  U. B )
271, 3, 5, 10, 25, 26om1addcl 21401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  e.  U. B
)
286, 3, 5, 8pi1eluni 21410 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  U. B 
<->  ( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) ) )
2917, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( M ` 
0 )  =  Y  /\  ( M ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  Y )
316, 3, 5, 8pi1eluni 21410 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  U. B 
<->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) ) )
3223, 31mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( P `  0
)  =  Y )
3430, 33eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
3516simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  M (  ~=ph  `  J
) N )
3622simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  ->  P (  ~=ph  `  J
) Q )
3734, 35, 36pcohtpy 21388 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) ( N ( *p `  J ) Q ) )
3812breqi 4459 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( M
( *p `  J
) P ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p
`  J ) Q ) )
39 brinxp2 5067 . . . . 5  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4038, 39bitri 249 . . . 4  |-  ( ( M ( *p `  J ) P ) R ( N ( *p `  J ) Q )  <->  ( ( M ( *p `  J ) P )  e.  U. B  /\  ( N ( *p `  J ) Q )  e.  U. B  /\  ( M ( *p `  J ) P ) (  ~=ph  `  J ) ( N ( *p
`  J ) Q ) ) )
4124, 27, 37, 40syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P ) R ( N ( *p `  J
) Q ) )
421, 3, 5om1plusg 21402 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  ( +g  `  O ) )
43 pi1cpbl.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  O )
4442, 43syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( *p `  J
)  =  .+  )
4544oveqd 6312 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M ( *p
`  J ) P )  =  ( M 
.+  P ) )
4644oveqd 6312 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( N ( *p
`  J ) Q )  =  ( N 
.+  Q ) )
4741, 45, 463brtr3d 4482 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M R N  /\  P R Q ) )  -> 
( M  .+  P
) R ( N 
.+  Q ) )
4847ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( ( M R N  /\  P R Q )  ->  ( M  .+  P ) R ( N  .+  Q
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3480   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  TopOnctopon 19264    Cn ccn 19593   IIcii 21247    ~=ph cphtpc 21337   *pcpco 21368    Om1 comi 21369    pi1 cpi1 21371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-qus 14781  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-ii 21249  df-htpy 21338  df-phtpy 21339  df-phtpc 21360  df-pco 21373  df-om1 21374  df-pi1 21376
This theorem is referenced by:  pi1addf  21415  pi1addval  21416  pi1grplem  21417
  Copyright terms: Public domain W3C validator