MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coval Structured version   Unicode version

Theorem pi1coval 21854
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1coval  |-  ( (
ph  /\  T  e.  U. V )  ->  ( G `  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  T
) ] (  ~=ph  `  K ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    T, g    Q, g    g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1coval
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . 2  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
2 fvex 5861 . . 3  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 7354 . . 3  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 fvex 5861 . . 3  |-  (  ~=ph  `  K )  e.  _V
6 ecexg 7354 . . 3  |-  ( ( 
~=ph  `  K )  e. 
_V  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K )  e.  _V )
75, 6mp1i 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  e.  _V )
8 eceq1 7386 . 2  |-  ( g  =  T  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )
9 coeq2 4984 . . 3  |-  ( g  =  T  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  T ) )
109eceq1d 7387 . 2  |-  ( g  =  T  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( F  o.  T ) ] (  ~=ph  `  K
) )
11 pi1co.p . . . 4  |-  P  =  ( J  pi1  A )
12 pi1co.q . . . 4  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
13 pi1co.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  P
)
14 pi1co.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
15 pi1co.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
16 pi1co.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
17 pi1co.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
1811, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17pi1cof 21853 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
19 ffun 5718 . . 3  |-  ( G : V --> ( Base `  Q )  ->  Fun  G )
2018, 19syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  G )
211, 4, 7, 8, 10, 20fliftval 6199 1  |-  ( (
ph  /\  T  e.  U. V )  ->  ( G `  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  T
) ] (  ~=ph  `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061   <.cop 3980   U.cuni 4193    |-> cmpt 4455   ran crn 4826    o. ccom 4829   Fun wfun 5565   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   [cec 7348   Basecbs 14843  TopOnctopon 19689    Cn ccn 20020    ~=ph cphtpc 21763    pi1 cpi1 21797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ec 7352  df-qs 7356  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-qus 15125  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-ii 21675  df-htpy 21764  df-phtpy 21765  df-phtpc 21786  df-om1 21800  df-pi1 21802
This theorem is referenced by:  pi1coghm  21855
  Copyright terms: Public domain W3C validator