MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coval Structured version   Unicode version

Theorem pi1coval 21288
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1coval  |-  ( (
ph  /\  T  e.  U. V )  ->  ( G `  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  T
) ] (  ~=ph  `  K ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    T, g    Q, g    g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1coval
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . 2  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
2 fvex 5867 . . 3  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 7305 . . 3  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 fvex 5867 . . 3  |-  (  ~=ph  `  K )  e.  _V
6 ecexg 7305 . . 3  |-  ( ( 
~=ph  `  K )  e. 
_V  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K )  e.  _V )
75, 6mp1i 12 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  e.  _V )
8 eceq1 7337 . 2  |-  ( g  =  T  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )
9 coeq2 5152 . . 3  |-  ( g  =  T  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  T ) )
109eceq1d 7338 . 2  |-  ( g  =  T  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( F  o.  T ) ] (  ~=ph  `  K
) )
11 pi1co.p . . . 4  |-  P  =  ( J  pi1  A )
12 pi1co.q . . . 4  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
13 pi1co.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  P
)
14 pi1co.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
15 pi1co.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
16 pi1co.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
17 pi1co.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
1811, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17pi1cof 21287 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
19 ffun 5724 . . 3  |-  ( G : V --> ( Base `  Q )  ->  Fun  G )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  G )
211, 4, 7, 8, 10, 20fliftval 6193 1  |-  ( (
ph  /\  T  e.  U. V )  ->  ( G `  [ T ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  T
) ] (  ~=ph  `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   <.cop 4026   U.cuni 4238    |-> cmpt 4498   ran crn 4993    o. ccom 4996   Fun wfun 5573   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   [cec 7299   Basecbs 14479  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484    ~=ph cphtpc 21197    pi1 cpi1 21231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-divs 14753  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-ii 21109  df-htpy 21198  df-phtpy 21199  df-phtpc 21220  df-om1 21234  df-pi1 21236
This theorem is referenced by:  pi1coghm  21289
  Copyright terms: Public domain W3C validator