Theorem pi1coghm 21429

Description: The mapping G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	|- P = ( J pi1 A )
pi1co.q	|- Q = ( K pi1 B )
pi1co.v	|- V = ( Base ` P )
pi1co.g	|- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
pi1co.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1co.f	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
pi1co.a	|- ( ph -> A e. X )
pi1co.b	|- ( ph -> ( F ` A ) = B )

Assertion

Ref	Expression
pi1coghm	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   ph, g   g, K   P, g   Q, g   g, V

Allowed substitution hints:   B( g)   G( g)   X( g)

Proof of Theorem pi1coghm

Dummy variables h f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		pi1co.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
3		pi1co.p	. . . . 5 |- P = ( J pi1 A )
4	3	pi1grp 21418	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> P e. Grp )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
6		pi1co.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 19610	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Top )
9		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 19303	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		pi1co.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) = B )
13		cnf2 19618	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> U. K )
14	1, 11, 6, 13	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> U. K )
15	14, 2	ffvelrnd 6033	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) e. U. K )
16	12, 15	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. K )
17		pi1co.q	. . . . 5 |- Q = ( K pi1 B )
18	17	pi1grp 21418	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ B e. U. K ) -> Q e. Grp )
19	11, 16, 18	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
20	5, 19	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
21		pi1co.v	. . . 4 |- V = ( Base ` P )
22		pi1co.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
23	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1cof 21427	. . 3 |- ( ph -> G : V --> ( Base ` Q ) )
24	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = ( Base ` P ) )
25	3, 1, 2, 24	pi1bas2 21409	. . . . . . 7 |- ( ph -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
26	25	eleq2d 2537	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. V <-> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
27	26	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
28		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) )
29		oveq1 6302	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
30	29	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
31		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
32	31	oveq1d 6310	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
33	30, 32	eqeq12d 2489	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
34	33	ralbidv 2906	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
35		oveq2 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
38	37	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2489	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	3, 1, 2, 24	pi1eluni 21410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( f e. U. V <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) ) )
41	40	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) )
42	41	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
44	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
45	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A e. X )
46	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
47	3, 44, 45, 46	pi1eluni 21410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( h e. U. V <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) ) )
48	47	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) )
49	48	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. ( II Cn J ) )
50	41	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
52	48	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 0 ) = A )
53	51, 52	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
54	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
55	43, 49, 53, 54	copco 21386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) = ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) )
56	55	eceq1d 7360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
57	43, 49, 53	pcocn 21385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
58	43, 49	pco0 21382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
59	41	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
60	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
61	58, 60	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A )
62	43, 49	pco1 21383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
63	48	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 1 ) = A )
64	62, 63	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A )
65	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
66	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> A e. X )
67	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
68	3, 65, 66, 67	pi1eluni 21410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A ) ) )
69	57, 61, 64, 68	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V )
70	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 21428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
71	70	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
72	69, 71	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
73		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
74	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
75	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> B e. U. K )
76		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
77	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
78		cnco 19635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
79	42, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
80		iitopon 21251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
82		cnf2 19618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( II Cn J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
83	81, 44, 42, 82	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84		0elunit 11650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
85		fvco3 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
86	83, 84, 85	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
87	59	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
88	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
89	86, 87, 88	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = B )
90		1elunit 11651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
91		fvco3 5951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
92	83, 90, 91	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
93	50	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
94	92, 93, 88	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = B )
95	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
96	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> B e. U. K )
97		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
98	17, 95, 96, 97	pi1eluni 21410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. f ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. f ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. f ) ` 1 ) = B ) ) )
99	79, 89, 94, 98	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
101		cnco 19635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
102	49, 54, 101	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
103	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
104		cnf2 19618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ h e. ( II Cn J ) ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
105	103, 65, 49, 104	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
106		fvco3 5951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
107	105, 84, 106	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
108	52	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
109	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
110	107, 108, 109	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = B )
111		fvco3 5951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
112	105, 90, 111	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
113	63	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
114	112, 113, 109	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = B )
115		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
116	17, 11, 16, 115	pi1eluni 21410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
117	116	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
118	102, 110, 114, 117	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) )
119	17, 73, 74, 75, 76, 100, 118	pi1addval 21416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
120	56, 72, 119	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
121		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
122		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. U. V )
123		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. U. V )
124	3, 21, 65, 66, 121, 122, 123	pi1addval 21416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
125	124	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
126	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 21428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
127	126	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
128	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 21428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
129	128	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
130	127, 129	oveq12d 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
131	120, 125, 130	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
132	28, 39, 131	ectocld 7390	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
133	132	ralrimiva 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
134	25	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
135	134	raleqdv 3069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
136	133, 135	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
137	28, 34, 136	ectocld 7390	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
138	27, 137	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
139	138	ralrimiva 2881	. . 3 |- ( ph -> A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
140	23, 139	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
141	21, 73, 121, 76	isghm 16139	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
142	20, 140, 141	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   <.cop 4039   U.cuni 4251   |-> cmpt 4511   ran crn 5006   o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   [cec 7321   /.cqs 7322   0cc0 9504   1c1 9505   [,]cicc 11544   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   Grpcgrp 15925   GrpHom cghm 16136   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   Cn ccn 19593   IIcii 21247   ~=ph cphtpc 21337   *pcpco 21368   pi1 cpi1 21371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-qus 14781  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-mulg 15932  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-ii 21249  df-htpy 21338  df-phtpy 21339  df-phtpc 21360  df-pco 21373  df-om1 21374  df-pi1 21376

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