Theorem pi1coghm 22085

Description: The mapping G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	|- P = ( J pi1 A )
pi1co.q	|- Q = ( K pi1 B )
pi1co.v	|- V = ( Base ` P )
pi1co.g	|- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
pi1co.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1co.f	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
pi1co.a	|- ( ph -> A e. X )
pi1co.b	|- ( ph -> ( F ` A ) = B )

Assertion

Ref	Expression
pi1coghm	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   ph, g   g, K   P, g   Q, g   g, V

Allowed substitution hints:   B( g)   G( g)   X( g)

Proof of Theorem pi1coghm

Dummy variables h f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		pi1co.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
3		pi1co.p	. . . . 5 |- P = ( J pi1 A )
4	3	pi1grp 22074	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> P e. Grp )
5	1, 2, 4	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
6		pi1co.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 20250	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Top )
9		eqid 2450	. . . . . 6 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 19941	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 200	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		pi1co.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) = B )
13		cnf2 20258	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> U. K )
14	1, 11, 6, 13	syl3anc 1267	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> U. K )
15	14, 2	ffvelrnd 6021	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) e. U. K )
16	12, 15	eqeltrrd 2529	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. K )
17		pi1co.q	. . . . 5 |- Q = ( K pi1 B )
18	17	pi1grp 22074	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ B e. U. K ) -> Q e. Grp )
19	11, 16, 18	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
20	5, 19	jca 535	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
21		pi1co.v	. . . 4 |- V = ( Base ` P )
22		pi1co.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
23	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1cof 22083	. . 3 |- ( ph -> G : V --> ( Base ` Q ) )
24	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = ( Base ` P ) )
25	3, 1, 2, 24	pi1bas2 22065	. . . . . . 7 |- ( ph -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
26	25	eleq2d 2513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. V <-> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
27	26	biimpa 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
28		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) )
29		oveq1 6295	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
30	29	fveq2d 5867	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
31		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
32	31	oveq1d 6303	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
33	30, 32	eqeq12d 2465	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
34	33	ralbidv 2826	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
35		oveq2 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
38	37	oveq2d 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2465	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	3, 1, 2, 24	pi1eluni 22066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( f e. U. V <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) ) )
41	40	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) )
42	41	simp1d 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
43	42	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
44	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
45	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A e. X )
46	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
47	3, 44, 45, 46	pi1eluni 22066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( h e. U. V <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) ) )
48	47	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) )
49	48	simp1d 1019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. ( II Cn J ) )
50	41	simp3d 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
52	48	simp2d 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 0 ) = A )
53	51, 52	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
54	6	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
55	43, 49, 53, 54	copco 22042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) = ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) )
56	55	eceq1d 7397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
57	43, 49, 53	pcocn 22041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
58	43, 49	pco0 22038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
59	41	simp2d 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
60	59	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
61	58, 60	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A )
62	43, 49	pco1 22039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
63	48	simp3d 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 1 ) = A )
64	62, 63	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A )
65	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
66	2	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> A e. X )
67	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
68	3, 65, 66, 67	pi1eluni 22066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A ) ) )
69	57, 61, 64, 68	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V )
70	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 22084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
71	70	adantlr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
72	69, 71	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
73		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
74	11	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
75	16	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> B e. U. K )
76		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
77	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
78		cnco 20275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
79	42, 77, 78	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
80		iitopon 21904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
82		cnf2 20258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( II Cn J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
83	81, 44, 42, 82	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84		0elunit 11747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
85		fvco3 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
86	83, 84, 85	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
87	59	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
88	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
89	86, 87, 88	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = B )
90		1elunit 11748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
91		fvco3 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
92	83, 90, 91	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
93	50	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
94	92, 93, 88	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = B )
95	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
96	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> B e. U. K )
97		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
98	17, 95, 96, 97	pi1eluni 22066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. f ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. f ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. f ) ` 1 ) = B ) ) )
99	79, 89, 94, 98	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
100	99	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
101		cnco 20275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
102	49, 54, 101	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
103	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
104		cnf2 20258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ h e. ( II Cn J ) ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
105	103, 65, 49, 104	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
106		fvco3 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
107	105, 84, 106	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
108	52	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
109	12	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
110	107, 108, 109	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = B )
111		fvco3 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
112	105, 90, 111	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
113	63	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
114	112, 113, 109	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = B )
115		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
116	17, 11, 16, 115	pi1eluni 22066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
117	116	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
118	102, 110, 114, 117	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) )
119	17, 73, 74, 75, 76, 100, 118	pi1addval 22072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
120	56, 72, 119	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
121		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
122		simplr 761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. U. V )
123		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. U. V )
124	3, 21, 65, 66, 121, 122, 123	pi1addval 22072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
125	124	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
126	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 22084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
127	126	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
128	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 22084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
129	128	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
130	127, 129	oveq12d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
131	120, 125, 130	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
132	28, 39, 131	ectocld 7427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
133	132	ralrimiva 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
134	25	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
135	134	raleqdv 2992	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
136	133, 135	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
137	28, 34, 136	ectocld 7427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
138	27, 137	syldan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
139	138	ralrimiva 2801	. . 3 |- ( ph -> A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
140	23, 139	jca 535	. 2 |- ( ph -> ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
141	21, 73, 121, 76	isghm 16876	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
142	20, 140, 141	sylanbrc 669	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   <.cop 3973   U.cuni 4197   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   [cec 7358   /.cqs 7359   0cc0 9536   1c1 9537   [,]cicc 11635   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   Grpcgrp 16662   GrpHom cghm 16873   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   Cn ccn 20233   IIcii 21900   ~=ph cphtpc 21993   *pcpco 22024   pi1 cpi1 22027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-mulg 16669  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-ii 21902  df-htpy 21994  df-phtpy 21995  df-phtpc 22016  df-pco 22029  df-om1 22030  df-pi1 22032

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