Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Unicode version

Theorem pi1coghm 20768
 Description: The mapping between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p
pi1co.q
pi1co.v
pi1co.g
pi1co.j TopOn
pi1co.f
pi1co.a
pi1co.b
Assertion
Ref Expression
pi1coghm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4 TopOn
2 pi1co.a . . . 4
3 pi1co.p . . . . 5
43pi1grp 20757 . . . 4 TopOn
51, 2, 4syl2anc 661 . . 3
6 pi1co.f . . . . . 6
7 cntop2 18980 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 eqid 2454 . . . . . 6
109toptopon 18673 . . . . 5 TopOn
118, 10sylib 196 . . . 4 TopOn
12 pi1co.b . . . . 5
13 cnf2 18988 . . . . . . 7 TopOn TopOn
141, 11, 6, 13syl3anc 1219 . . . . . 6
1514, 2ffvelrnd 5956 . . . . 5
1612, 15eqeltrrd 2543 . . . 4
17 pi1co.q . . . . 5
1817pi1grp 20757 . . . 4 TopOn
1911, 16, 18syl2anc 661 . . 3
205, 19jca 532 . 2
21 pi1co.v . . . 4
22 pi1co.g . . . 4
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 20766 . . 3
2421a1i 11 . . . . . . . 8
253, 1, 2, 24pi1bas2 20748 . . . . . . 7
2625eleq2d 2524 . . . . . 6
2726biimpa 484 . . . . 5
28 eqid 2454 . . . . . 6
29 oveq1 6210 . . . . . . . . 9
3029fveq2d 5806 . . . . . . . 8
31 fveq2 5802 . . . . . . . . 9
3231oveq1d 6218 . . . . . . . 8
3330, 32eqeq12d 2476 . . . . . . 7
3433ralbidv 2846 . . . . . 6
35 oveq2 6211 . . . . . . . . . . 11
3635fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10
37 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11
3837oveq2d 6219 . . . . . . . . . 10
3936, 38eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9
403, 1, 2, 24pi1eluni 20749 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
441adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
452adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
473, 44, 45, 46pi1eluni 20749 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
4948simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . 13
5041simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
5248simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13
546ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
5543, 49, 53, 54copco 20725 . . . . . . . . . . . 12
56 eceq1 7250 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11
5843, 49, 53pcocn 20724 . . . . . . . . . . . . 13
5943, 49pco0 20721 . . . . . . . . . . . . . 14
6041simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6259, 61eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13
6343, 49pco1 20722 . . . . . . . . . . . . . 14
6448simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . 14
6563, 64eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13
661ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
672ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
6821a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
693, 66, 67, 68pi1eluni 20749 . . . . . . . . . . . . 13
7058, 62, 65, 69mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . 12
713, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 20767 . . . . . . . . . . . . 13
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
7370, 72syldan 470 . . . . . . . . . . 11
74 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
7511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
7616ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
77 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 cnco 19005 . . . . . . . . . . . . . . 15
8042, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
81 iitopon 20590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
83 cnf2 18988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn
8482, 44, 42, 83syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 0elunit 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 fvco3 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 85, 86sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
8860fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15
8912adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
9087, 88, 893eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . 14
91 1elunit 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 fvco3 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9384, 91, 92sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
9450fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15
9593, 94, 893eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . 14
9611adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
9716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
9917, 96, 97, 98pi1eluni 20749 . . . . . . . . . . . . . 14
10080, 90, 95, 99mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . 13
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
102 cnco 19005 . . . . . . . . . . . . . 14
10349, 54, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
10481a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
105 cnf2 18988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
106104, 66, 49, 105syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 fvco3 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15
108106, 85, 107sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
10952fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . 14
11012ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
111108, 109, 1103eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13
112 fvco3 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15
113106, 91, 112sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
11464fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 114, 1103eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . 13
116 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
11717, 11, 16, 116pi1eluni 20749 . . . . . . . . . . . . . 14
118117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
119103, 111, 115, 118mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . 12
12017, 74, 75, 76, 77, 101, 119pi1addval 20755 . . . . . . . . . . 11
12157, 73, 1203eqtr4d 2505 . . . . . . . . . 10
122 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
123 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12
124 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
1253, 21, 66, 67, 122, 123, 124pi1addval 20755 . . . . . . . . . . 11
126125fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10
1273, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 20767 . . . . . . . . . . . 12
128127adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1293, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 20767 . . . . . . . . . . . 12
130129adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
131128, 130oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10
132121, 126, 1313eqtr4d 2505 . . . . . . . . 9
13328, 39, 132ectocld 7280 . . . . . . . 8
134133ralrimiva 2830 . . . . . . 7
13525adantr 465 . . . . . . . 8
136135raleqdv 3029 . . . . . . 7
137134, 136mpbird 232 . . . . . 6
13828, 34, 137ectocld 7280 . . . . 5
13927, 138syldan 470 . . . 4
140139ralrimiva 2830 . . 3
14123, 140jca 532 . 2
14221, 74, 122, 77isghm 15869 . 2
14320, 141, 142sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799  cop 3994  cuni 4202   cmpt 4461   crn 4952   ccom 4955  wf 5525  cfv 5529  (class class class)co 6203  cec 7212  cqs 7213  cc0 9396  c1 9397  cicc 11417  cbs 14295   cplusg 14360  cgrp 15532   cghm 15866  ctop 18633  TopOnctopon 18634   ccn 18963  cii 20586   cphtpc 20676  cpco 20707   cpi1 20710 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-divs 14569  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-mulg 15670  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-ii 20588  df-htpy 20677  df-phtpy 20678  df-phtpc 20699  df-pco 20712  df-om1 20713  df-pi1 20715 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator