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Theorem pi1coghm 22085
Description: The mapping  G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1coghm  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    Q, g   
g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables  h  f  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 pi1co.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3 pi1co.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi1  A )
43pi1grp 22074 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
51, 2, 4syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
6 pi1co.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 cntop2 20250 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2450 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 19941 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 pi1co.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
13 cnf2 20258 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X
--> U. K )
141, 11, 6, 13syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> U. K
)
1514, 2ffvelrnd 6021 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  U. K
)
1612, 15eqeltrrd 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
17 pi1co.q . . . . 5  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
1817pi1grp 22074 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  B  e.  U. K )  ->  Q  e.  Grp )
1911, 16, 18syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
205, 19jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
21 pi1co.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  P
)
22 pi1co.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 22083 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
2421a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  P ) )
253, 1, 2, 24pi1bas2 22065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
2625eleq2d 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  <->  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
2726biimpa 487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J )
) )
28 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) )
29 oveq1 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3029fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
31 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3231oveq1d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3330, 32eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
3433ralbidv 2826 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
35 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
3837oveq2d 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
403, 1, 2, 24pi1eluni 22066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. V 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  A  /\  ( f ` 
1 )  =  A ) ) )
4140biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  A  /\  ( f `  1
)  =  A ) )
4241simp1d 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
4342adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  f  e.  ( II  Cn  J ) )
441adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
452adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A  e.  X )
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  V  =  ( Base `  P
) )
473, 44, 45, 46pi1eluni 22066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
h  e.  U. V  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  A  /\  ( h `  1
)  =  A ) ) )
4847biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( h `  0 )  =  A  /\  ( h `
 1 )  =  A ) )
4948simp1d 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5041simp3d 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f `  1 )  =  A )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
1 )  =  A )
5248simp2d 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h ` 
0 )  =  A )
5351, 52eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( h `  0 ) )
546ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5543, 49, 53, 54copco 22042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  ( f ( *p
`  J ) h ) )  =  ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) )
5655eceq1d 7397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K )  =  [ ( ( F  o.  f ) ( *p `  K
) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
5743, 49, 53pcocn 22041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J ) )
5843, 49pco0 22038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( f `  0 ) )
5941simp2d 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f `  0 )  =  A )
6059adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
0 )  =  A )
6158, 60eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  A )
6243, 49pco1 22039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( h `  1 ) )
6348simp3d 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h ` 
1 )  =  A )
6462, 63eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  A )
651ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
662ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  A  e.  X
)
6721a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  V  =  (
Base `  P )
)
683, 65, 66, 67pi1eluni 22066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h )  e. 
U. V  <->  ( (
f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( f ( *p
`  J ) h ) `  0 )  =  A  /\  (
( f ( *p
`  J ) h ) `  1 )  =  A ) ) )
6957, 61, 64, 68mpbir3and 1190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. V )
703, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f
( *p `  J
) h )  e. 
U. V )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p
`  J ) h ) ) ] ( 
~=ph  `  K ) )
7170adantlr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  ( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. V
)  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
7269, 71syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
73 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
7411ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7516ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
76 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
776adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
78 cnco 20275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
7942, 77, 78syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  ( II  Cn  K
) )
80 iitopon 21904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
82 cnf2 20258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> X )
8381, 44, 42, 82syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84 0elunit 11747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
85 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  0 )  =  ( F `  (
f `  0 )
) )
8683, 84, 85sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  0 )  =  ( F `  ( f `  0
) ) )
8759fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  ( f `  0 ) )  =  ( F `  A ) )
8812adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
8986, 87, 883eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  0 )  =  B )
90 1elunit 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
91 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  1 )  =  ( F `  (
f `  1 )
) )
9283, 90, 91sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  1 )  =  ( F `  ( f `  1
) ) )
9350fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  ( f `  1 ) )  =  ( F `  A ) )
9492, 93, 883eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  1 )  =  B )
9511adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9616adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
97 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
9817, 95, 96, 97pi1eluni 22066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
)  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( F  o.  f )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( ( F  o.  f ) `  0 )  =  B  /\  ( ( F  o.  f ) `
 1 )  =  B ) ) )
9979, 89, 94, 98mpbir3and 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  U. ( Base `  Q
) )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  U. ( Base `  Q )
)
101 cnco 20275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  h
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
10249, 54, 101syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  h )  e.  ( II  Cn  K ) )
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
104 cnf2 20258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  h  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  h :
( 0 [,] 1
) --> X )
105103, 65, 49, 104syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
106 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  h ) `  0 )  =  ( F `  (
h `  0 )
) )
107105, 84, 106sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
0 )  =  ( F `  ( h `
 0 ) ) )
10852fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  ( h `  0
) )  =  ( F `  A ) )
10912ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
110107, 108, 1093eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
0 )  =  B )
111 fvco3 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  h ) `  1 )  =  ( F `  (
h `  1 )
) )
112105, 90, 111sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
1 )  =  ( F `  ( h `
 1 ) ) )
11363fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  ( h `  1
) )  =  ( F `  A ) )
114112, 113, 1093eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
1 )  =  B )
115 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
11617, 11, 16, 115pi1eluni 22066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  h )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( F  o.  h
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( F  o.  h ) `  0
)  =  B  /\  ( ( F  o.  h ) `  1
)  =  B ) ) )
117116ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h )  e. 
U. ( Base `  Q
)  <->  ( ( F  o.  h )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( ( F  o.  h ) `  0 )  =  B  /\  ( ( F  o.  h ) `
 1 )  =  B ) ) )
118102, 110, 114, 117mpbir3and 1190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  h )  e.  U. ( Base `  Q )
)
11917, 73, 74, 75, 76, 100, 118pi1addval 22072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K
) ( +g  `  Q
) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )  =  [ ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K
) )
12056, 72, 1193eqtr4d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K
) ( +g  `  Q
) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) ) )
121 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
122 simplr 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  f  e.  U. V )
123 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h  e.  U. V )
1243, 21, 65, 66, 121, 122, 123pi1addval 22072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
125124fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1263, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  f
) ] (  ~=ph  `  K ) )
127126adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K ) )
1283, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ h ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  h
) ] (  ~=ph  `  K ) )
129128adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )
130127, 129oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( F  o.  f
) ] (  ~=ph  `  K ) ( +g  `  Q ) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K
) ) )
131120, 125, 1303eqtr4d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
13228, 39, 131ectocld 7427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
133132ralrimiva 2801 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A. z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J )
) ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
13425adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
135134raleqdv 2992 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) )  <->  A. z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) ) ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) )
136133, 135mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
13728, 34, 136ectocld 7427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
13827, 137syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
139138ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
14023, 139jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : V --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
14121, 73, 121, 76isghm 16876 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : V --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
14220, 140, 141sylanbrc 669 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   <.cop 3973   U.cuni 4197    |-> cmpt 4460   ran crn 4834    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   [cec 7358   /.cqs 7359   0cc0 9536   1c1 9537   [,]cicc 11635   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   Grpcgrp 16662    GrpHom cghm 16873   Topctop 19910  TopOnctopon 19911    Cn ccn 20233   IIcii 21900    ~=ph cphtpc 21993   *pcpco 22024    pi1 cpi1 22027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-mulg 16669  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-ii 21902  df-htpy 21994  df-phtpy 21995  df-phtpc 22016  df-pco 22029  df-om1 22030  df-pi1 22032
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