Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coghm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pi1coghm 22170
 Description: The mapping between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p
pi1co.q
pi1co.v
pi1co.g
pi1co.j TopOn
pi1co.f
pi1co.a
pi1co.b
Assertion
Ref Expression
pi1coghm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4 TopOn
2 pi1co.a . . . 4
3 pi1co.p . . . . 5
43pi1grp 22159 . . . 4 TopOn
51, 2, 4syl2anc 673 . . 3
6 pi1co.f . . . . . 6
7 cntop2 20334 . . . . . 6
86, 7syl 17 . . . . 5
9 eqid 2471 . . . . . 6
109toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
118, 10sylib 201 . . . 4 TopOn
12 pi1co.b . . . . 5
13 cnf2 20342 . . . . . . 7 TopOn TopOn
141, 11, 6, 13syl3anc 1292 . . . . . 6
1514, 2ffvelrnd 6038 . . . . 5
1612, 15eqeltrrd 2550 . . . 4
17 pi1co.q . . . . 5
1817pi1grp 22159 . . . 4 TopOn
1911, 16, 18syl2anc 673 . . 3
205, 19jca 541 . 2
21 pi1co.v . . . 4
22 pi1co.g . . . 4
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 22168 . . 3
2421a1i 11 . . . . . . . 8
253, 1, 2, 24pi1bas2 22150 . . . . . . 7
2625eleq2d 2534 . . . . . 6
2726biimpa 492 . . . . 5
28 eqid 2471 . . . . . 6
29 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
3029fveq2d 5883 . . . . . . . 8
31 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
3231oveq1d 6323 . . . . . . . 8
3330, 32eqeq12d 2486 . . . . . . 7
3433ralbidv 2829 . . . . . 6
35 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
3936, 38eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9
403, 1, 2, 24pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
441adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
452adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
473, 44, 45, 46pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . 14
4948simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . 13
5041simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
5248simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
546ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
5543, 49, 53, 54copco 22127 . . . . . . . . . . . 12
5655eceq1d 7418 . . . . . . . . . . 11
5743, 49, 53pcocn 22126 . . . . . . . . . . . . 13
5843, 49pco0 22123 . . . . . . . . . . . . . 14
5941simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 60eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
6243, 49pco1 22124 . . . . . . . . . . . . . 14
6348simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14
6462, 63eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
651ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
662ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
6721a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
683, 65, 66, 67pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . 13
6957, 61, 64, 68mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . 12
703, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22169 . . . . . . . . . . . . 13
7170adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
7269, 71syldan 478 . . . . . . . . . . 11
73 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
7411ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
7516ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 cnco 20359 . . . . . . . . . . . . . . 15
7942, 77, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
80 iitopon 21989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
82 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn
8381, 44, 42, 82syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8683, 84, 85sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
8759fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
8812adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
8986, 87, 883eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14
90 1elunit 11777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9283, 90, 91sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
9350fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
9492, 93, 883eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14
9511adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
9616adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15
9817, 95, 96, 97pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . 14
9979, 89, 94, 98mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . 13
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
101 cnco 20359 . . . . . . . . . . . . . 14
10249, 54, 101syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
104 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
105103, 65, 49, 104syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . 15
107105, 84, 106sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
10852fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
10912ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
110107, 108, 1093eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13
111 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . 15
112105, 90, 111sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
11363fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
114112, 113, 1093eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13
115 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15
11617, 11, 16, 115pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . 14
117116ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
118102, 110, 114, 117mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . 12
11917, 73, 74, 75, 76, 100, 118pi1addval 22157 . . . . . . . . . . 11
12056, 72, 1193eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10
121 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
122 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
123 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
1243, 21, 65, 66, 121, 122, 123pi1addval 22157 . . . . . . . . . . 11
125124fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
1263, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22169 . . . . . . . . . . . 12
127126adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1283, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22169 . . . . . . . . . . . 12
129128adantlr 729 . . . . . . . . . . 11
130127, 129oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
131120, 125, 1303eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9
13228, 39, 131ectocld 7448 . . . . . . . 8
133132ralrimiva 2809 . . . . . . 7
13425adantr 472 . . . . . . . 8
135134raleqdv 2979 . . . . . . 7
136133, 135mpbird 240 . . . . . 6
13728, 34, 136ectocld 7448 . . . . 5
13827, 137syldan 478 . . . 4
139138ralrimiva 2809 . . 3
14023, 139jca 541 . 2
14121, 73, 121, 76isghm 16961 . 2
14220, 140, 141sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cop 3965  cuni 4190   cmpt 4454   crn 4840   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cec 7379  cqs 7380  cc0 9557  c1 9558  cicc 11663  cbs 15199   cplusg 15268  cgrp 16747   cghm 16958  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317  cii 21985   cphtpc 22078  cpco 22109   cpi1 22112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-mulg 16754  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pco 22114  df-om1 22115  df-pi1 22117 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator