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Theorem pi1coghm 22170
Description: The mapping  G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1coghm  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    Q, g   
g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1coghm
Dummy variables  h  f  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 pi1co.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3 pi1co.p . . . . 5  |-  P  =  ( J  pi1  A )
43pi1grp 22159 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  P  e.  Grp )
51, 2, 4syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
6 pi1co.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 cntop2 20334 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 20025 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 pi1co.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
13 cnf2 20342 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X
--> U. K )
141, 11, 6, 13syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> U. K
)
1514, 2ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  U. K
)
1612, 15eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
17 pi1co.q . . . . 5  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
1817pi1grp 22159 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  B  e.  U. K )  ->  Q  e.  Grp )
1911, 16, 18syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  Grp )
205, 19jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )
)
21 pi1co.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  P
)
22 pi1co.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
233, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1cof 22168 . . 3  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
2421a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  P ) )
253, 1, 2, 24pi1bas2 22150 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
2625eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  V  <->  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) ) )
2726biimpa 492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J )
) )
28 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) )
29 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z )  =  ( y ( +g  `  P ) z ) )
3029fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( G `  (
y ( +g  `  P
) z ) ) )
31 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  y ) )
3231oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3330, 32eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
3433ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( [ f ] (  ~=ph  `  J )  =  y  ->  ( A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) )  <->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
35 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) z ) ) )
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( G `  z ) )
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) )
3936, 38eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( [ h ] (  ~=ph  `  J )  =  z  ->  ( ( G `
 ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) )  =  ( ( G `  [
f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q ) ( G `  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  <-> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) ) )
403, 1, 2, 24pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( f  e.  U. V 
<->  ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( f ` 
0 )  =  A  /\  ( f ` 
1 )  =  A ) ) )
4140biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( f `  0
)  =  A  /\  ( f `  1
)  =  A ) )
4241simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  f  e.  ( II  Cn  J ) )
441adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
452adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A  e.  X )
4621a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  V  =  ( Base `  P
) )
473, 44, 45, 46pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
h  e.  U. V  <->  ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( h `  0
)  =  A  /\  ( h `  1
)  =  A ) ) )
4847biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( h `  0 )  =  A  /\  ( h `
 1 )  =  A ) )
4948simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h  e.  ( II  Cn  J ) )
5041simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f `  1 )  =  A )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
1 )  =  A )
5248simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h ` 
0 )  =  A )
5351, 52eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( h `  0 ) )
546ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5543, 49, 53, 54copco 22127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  ( f ( *p
`  J ) h ) )  =  ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) )
5655eceq1d 7418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K )  =  [ ( ( F  o.  f ) ( *p `  K
) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
5743, 49, 53pcocn 22126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J ) )
5843, 49pco0 22123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  ( f `  0 ) )
5941simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
f `  0 )  =  A )
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ` 
0 )  =  A )
6158, 60eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
0 )  =  A )
6243, 49pco1 22124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  ( h `  1 ) )
6348simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( h ` 
1 )  =  A )
6462, 63eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h ) ` 
1 )  =  A )
651ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
662ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  A  e.  X
)
6721a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  V  =  (
Base `  P )
)
683, 65, 66, 67pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( f ( *p `  J
) h )  e. 
U. V  <->  ( (
f ( *p `  J ) h )  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
( f ( *p
`  J ) h ) `  0 )  =  A  /\  (
( f ( *p
`  J ) h ) `  1 )  =  A ) ) )
6957, 61, 64, 68mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( f ( *p `  J ) h )  e.  U. V )
703, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f
( *p `  J
) h )  e. 
U. V )  -> 
( G `  [
( f ( *p
`  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p
`  J ) h ) ) ] ( 
~=ph  `  K ) )
7170adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  ( f ( *p
`  J ) h )  e.  U. V
)  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
7269, 71syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  ( f ( *p `  J ) h ) ) ] (  ~=ph  `  K ) )
73 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
7411ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7516ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  Q )  =  ( +g  `  Q )
776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
78 cnco 20359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  f
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
7942, 77, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  ( II  Cn  K
) )
80 iitopon 21989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
82 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> X )
8381, 44, 42, 82syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
85 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  0 )  =  ( F `  (
f `  0 )
) )
8683, 84, 85sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  0 )  =  ( F `  ( f `  0
) ) )
8759fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  ( f `  0 ) )  =  ( F `  A ) )
8812adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
8986, 87, 883eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  0 )  =  B )
90 1elunit 11777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
91 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  1 )  =  ( F `  (
f `  1 )
) )
9283, 90, 91sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  1 )  =  ( F `  ( f `  1
) ) )
9350fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F `  ( f `  1 ) )  =  ( F `  A ) )
9492, 93, 883eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
) `  1 )  =  B )
9511adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9616adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
97 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( Base `  Q )  =  ( Base `  Q
) )
9817, 95, 96, 97pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  f
)  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( F  o.  f )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( ( F  o.  f ) `  0 )  =  B  /\  ( ( F  o.  f ) `
 1 )  =  B ) ) )
9979, 89, 94, 98mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  U. ( Base `  Q
) )
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  f )  e.  U. ( Base `  Q )
)
101 cnco 20359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  h
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
10249, 54, 101syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  h )  e.  ( II  Cn  K ) )
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
104 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  h  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  h :
( 0 [,] 1
) --> X )
105103, 65, 49, 104syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
106 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  h ) `  0 )  =  ( F `  (
h `  0 )
) )
107105, 84, 106sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
0 )  =  ( F `  ( h `
 0 ) ) )
10852fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  ( h `  0
) )  =  ( F `  A ) )
10912ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
110107, 108, 1093eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
0 )  =  B )
111 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  h ) `  1 )  =  ( F `  (
h `  1 )
) )
112105, 90, 111sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
1 )  =  ( F `  ( h `
 1 ) ) )
11363fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F `  ( h `  1
) )  =  ( F `  A ) )
114112, 113, 1093eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h ) ` 
1 )  =  B )
115 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  Q ) )
11617, 11, 16, 115pi1eluni 22151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  h )  e.  U. ( Base `  Q )  <->  ( ( F  o.  h
)  e.  ( II 
Cn  K )  /\  ( ( F  o.  h ) `  0
)  =  B  /\  ( ( F  o.  h ) `  1
)  =  B ) ) )
117116ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( F  o.  h )  e. 
U. ( Base `  Q
)  <->  ( ( F  o.  h )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( ( F  o.  h ) `  0 )  =  B  /\  ( ( F  o.  h ) `
 1 )  =  B ) ) )
118102, 110, 114, 117mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( F  o.  h )  e.  U. ( Base `  Q )
)
11917, 73, 74, 75, 76, 100, 118pi1addval 22157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K
) ( +g  `  Q
) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )  =  [ ( ( F  o.  f
) ( *p `  K ) ( F  o.  h ) ) ] (  ~=ph  `  K
) )
12056, 72, 1193eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  ( [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K
) ( +g  `  Q
) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) ) )
121 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
122 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  f  e.  U. V )
123 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  h  e.  U. V )
1243, 21, 65, 66, 121, 122, 123pi1addval 22157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( [ f ] (  ~=ph  `  J
) ( +g  `  P
) [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)  =  [ ( f ( *p `  J ) h ) ] (  ~=ph  `  J
) )
125124fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( G `
 [ ( f ( *p `  J
) h ) ] (  ~=ph  `  J ) ) )
1263, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  f
) ] (  ~=ph  `  K ) )
127126adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  f ) ] (  ~=ph  `  K ) )
1283, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12pi1coval 22169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ h ] (  ~=ph  `  J
) )  =  [
( F  o.  h
) ] (  ~=ph  `  K ) )
129128adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )
130127, 129oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( [ ( F  o.  f
) ] (  ~=ph  `  K ) ( +g  `  Q ) [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K
) ) )
131120, 125, 1303eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  h  e.  U. V )  ->  ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 [ h ]
(  ~=ph  `  J )
) ) )
13228, 39, 131ectocld 7448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  U. V )  /\  z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )  -> 
( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
133132ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A. z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J )
) ( G `  ( [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] ( 
~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
13425adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
135134raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  ( A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) )  <->  A. z  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) ) ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  [ f ] (  ~=ph  `  J
) ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) )
136133, 135mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  U. V )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( [ f ] (  ~=ph  `  J ) ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 [ f ] (  ~=ph  `  J ) ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
13728, 34, 136ectocld 7448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( U. V /. (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
13827, 137syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V )  ->  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q
) ( G `  z ) ) )
139138ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) )
14023, 139jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : V --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y ( +g  `  P
) z ) )  =  ( ( G `
 y ) ( +g  `  Q ) ( G `  z
) ) ) )
14121, 73, 121, 76isghm 16961 . 2  |-  ( G  e.  ( P  GrpHom  Q )  <->  ( ( P  e.  Grp  /\  Q  e.  Grp )  /\  ( G : V --> ( Base `  Q )  /\  A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( G `  ( y
( +g  `  P ) z ) )  =  ( ( G `  y ) ( +g  `  Q ) ( G `
 z ) ) ) ) )
14220, 140, 141sylanbrc 677 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( P 
GrpHom  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   <.cop 3965   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   [cec 7379   /.cqs 7380   0cc0 9557   1c1 9558   [,]cicc 11663   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   Grpcgrp 16747    GrpHom cghm 16958   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317   IIcii 21985    ~=ph cphtpc 22078   *pcpco 22109    pi1 cpi1 22112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-mulg 16754  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pco 22114  df-om1 22115  df-pi1 22117
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