Theorem pi1coghm 20768

Description: The mapping G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	|- P = ( J pi1 A )
pi1co.q	|- Q = ( K pi1 B )
pi1co.v	|- V = ( Base ` P )
pi1co.g	|- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
pi1co.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1co.f	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
pi1co.a	|- ( ph -> A e. X )
pi1co.b	|- ( ph -> ( F ` A ) = B )

Assertion

Ref	Expression
pi1coghm	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   ph, g   g, K   P, g   Q, g   g, V

Allowed substitution hints:   B( g)   G( g)   X( g)

Proof of Theorem pi1coghm

Dummy variables h f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		pi1co.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
3		pi1co.p	. . . . 5 |- P = ( J pi1 A )
4	3	pi1grp 20757	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> P e. Grp )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
6		pi1co.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 18980	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Top )
9		eqid 2454	. . . . . 6 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 18673	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		pi1co.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) = B )
13		cnf2 18988	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> U. K )
14	1, 11, 6, 13	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> U. K )
15	14, 2	ffvelrnd 5956	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) e. U. K )
16	12, 15	eqeltrrd 2543	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. K )
17		pi1co.q	. . . . 5 |- Q = ( K pi1 B )
18	17	pi1grp 20757	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ B e. U. K ) -> Q e. Grp )
19	11, 16, 18	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
20	5, 19	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
21		pi1co.v	. . . 4 |- V = ( Base ` P )
22		pi1co.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
23	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1cof 20766	. . 3 |- ( ph -> G : V --> ( Base ` Q ) )
24	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = ( Base ` P ) )
25	3, 1, 2, 24	pi1bas2 20748	. . . . . . 7 |- ( ph -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
26	25	eleq2d 2524	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. V <-> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
27	26	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
28		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) )
29		oveq1 6210	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
30	29	fveq2d 5806	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
31		fveq2 5802	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
32	31	oveq1d 6218	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
33	30, 32	eqeq12d 2476	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
34	33	ralbidv 2846	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
35		oveq2 6211	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 5806	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
38	37	oveq2d 6219	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	3, 1, 2, 24	pi1eluni 20749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( f e. U. V <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) ) )
41	40	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) )
42	41	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
44	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
45	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A e. X )
46	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
47	3, 44, 45, 46	pi1eluni 20749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( h e. U. V <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) ) )
48	47	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) )
49	48	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. ( II Cn J ) )
50	41	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
52	48	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 0 ) = A )
53	51, 52	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
54	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
55	43, 49, 53, 54	copco 20725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) = ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) )
56		eceq1 7250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) = ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) -> [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
58	43, 49, 53	pcocn 20724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
59	43, 49	pco0 20721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
60	41	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
62	59, 61	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A )
63	43, 49	pco1 20722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
64	48	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 1 ) = A )
65	63, 64	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A )
66	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
67	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> A e. X )
68	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
69	3, 66, 67, 68	pi1eluni 20749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A ) ) )
70	58, 62, 65, 69	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V )
71	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 20767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
72	71	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
73	70, 72	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
74		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
75	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
76	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> B e. U. K )
77		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
78	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
79		cnco 19005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
80	42, 78, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
81		iitopon 20590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
83		cnf2 18988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( II Cn J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84	82, 44, 42, 83	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
85		0elunit 11523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
86		fvco3 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
87	84, 85, 86	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
88	60	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
89	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
90	87, 88, 89	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = B )
91		1elunit 11524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
92		fvco3 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
93	84, 91, 92	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
94	50	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
95	93, 94, 89	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = B )
96	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
97	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> B e. U. K )
98		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
99	17, 96, 97, 98	pi1eluni 20749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. f ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. f ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. f ) ` 1 ) = B ) ) )
100	80, 90, 95, 99	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
102		cnco 19005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
103	49, 54, 102	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
104	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
105		cnf2 18988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ h e. ( II Cn J ) ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
106	104, 66, 49, 105	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
107		fvco3 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
108	106, 85, 107	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
109	52	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
110	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
111	108, 109, 110	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = B )
112		fvco3 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
113	106, 91, 112	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
114	64	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
115	113, 114, 110	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = B )
116		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
117	17, 11, 16, 116	pi1eluni 20749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
118	117	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
119	103, 111, 115, 118	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) )
120	17, 74, 75, 76, 77, 101, 119	pi1addval 20755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
121	57, 73, 120	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
122		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
123		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. U. V )
124		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. U. V )
125	3, 21, 66, 67, 122, 123, 124	pi1addval 20755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
126	125	fveq2d 5806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
127	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 20767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
129	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 20767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
130	129	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
131	128, 130	oveq12d 6221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
132	121, 126, 131	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
133	28, 39, 132	ectocld 7280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
134	133	ralrimiva 2830	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
135	25	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
136	135	raleqdv 3029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
137	134, 136	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
138	28, 34, 137	ectocld 7280	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
139	27, 138	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
140	139	ralrimiva 2830	. . 3 |- ( ph -> A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
141	23, 140	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
142	21, 74, 122, 77	isghm 15869	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
143	20, 141, 142	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   <.cop 3994   U.cuni 4202   |-> cmpt 4461   ran crn 4952   o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   [cec 7212   /.cqs 7213   0cc0 9396   1c1 9397   [,]cicc 11417   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   Grpcgrp 15532   GrpHom cghm 15866   Topctop 18633  TopOnctopon 18634   Cn ccn 18963   IIcii 20586   ~=ph cphtpc 20676   *pcpco 20707   pi1 cpi1 20710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-divs 14569  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-mulg 15670  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-ii 20588  df-htpy 20677  df-phtpy 20678  df-phtpc 20699  df-pco 20712  df-om1 20713  df-pi1 20715

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