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Theorem pi1cof 20606
Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p  |-  P  =  ( J  pi1  A )
pi1co.q  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
pi1co.v  |-  V  =  ( Base `  P
)
pi1co.g  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
pi1co.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1co.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
pi1co.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
pi1co.b  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
Assertion
Ref Expression
pi1cof  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    ph, g    g, K    P, g    Q, g   
g, V
Allowed substitution hints:    B( g)    G( g)    X( g)

Proof of Theorem pi1cof
Dummy variables  s  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . . . 4  |-  G  =  ran  ( g  e. 
U. V  |->  <. [ g ] (  ~=ph  `  J
) ,  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
) >. )
2 fvex 5696 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
3 ecexg 7097 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  e. 
_V  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
42, 3mp1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  e.  _V )
5 pi1co.q . . . . 5  |-  Q  =  ( K  pi1  B )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
7 pi1co.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
8 cntop2 18820 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
10 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1110toptopon 18513 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
129, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
14 pi1co.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  B )
15 pi1co.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 cnf2 18828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X
--> U. K )
1715, 12, 7, 16syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> U. K
)
18 pi1co.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
1917, 18ffvelrnd 5839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  U. K
)
2014, 19eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  B  e.  U. K )
22 pi1co.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( J  pi1  A )
23 pi1co.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  P
)
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  P ) )
2522, 15, 18, 24pi1eluni 20589 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( g  e.  U. V 
<->  ( g  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( g ` 
0 )  =  A  /\  ( g ` 
1 )  =  A ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( g `  0
)  =  A  /\  ( g `  1
)  =  A ) )
2726simp1d 1000 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  g  e.  ( II  Cn  J
) )
287adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
29 cnco 18845 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( II  Cn  K
) )
31 iitopon 20430 . . . . . . . . 9  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
3315adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
34 cnf2 18828 . . . . . . . 8  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  J  e.  (TopOn `  X )  /\  g  e.  (
II  Cn  J )
)  ->  g :
( 0 [,] 1
) --> X )
3532, 33, 27, 34syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  g : ( 0 [,] 1 ) --> X )
36 0elunit 11395 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
37 fvco3 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  0 )  =  ( F `  (
g `  0 )
) )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  g
) `  0 )  =  ( F `  ( g `  0
) ) )
3926simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
g `  0 )  =  A )
4039fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  ( F `  ( g `  0 ) )  =  ( F `  A ) )
4114adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  ( F `  A )  =  B )
4238, 40, 413eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  g
) `  0 )  =  B )
43 1elunit 11396 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
44 fvco3 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F  o.  g ) `  1 )  =  ( F `  (
g `  1 )
) )
4535, 43, 44sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  g
) `  1 )  =  ( F `  ( g `  1
) ) )
4626simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
g `  1 )  =  A )
4746fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  ( F `  ( g `  1 ) )  =  ( F `  A ) )
4845, 47, 413eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  (
( F  o.  g
) `  1 )  =  B )
495, 6, 13, 21, 30, 42, 48elpi1i 20593 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  U. V )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  e.  ( Base `  Q ) )
50 eceq1 7129 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J
)  =  [ h ] (  ~=ph  `  J
) )
51 coeq2 4993 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h ) )
52 eceq1 7129 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  g )  =  ( F  o.  h )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K
) )
5351, 52syl 16 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K
)  =  [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K
) )
54 phtpcer 20542 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  K )  Er  (
II  Cn  K )
5554a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  (  ~=ph  `  K
)  Er  ( II 
Cn  K ) )
56 simpr3 996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  [ g ] (  ~=ph  `  J )  =  [ h ]
(  ~=ph  `  J )
)
57 phtpcer 20542 . . . . . . . . 9  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  (  ~=ph  `  J
)  Er  ( II 
Cn  J ) )
59 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  g  e.  U. V )
6025adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  ( g  e. 
U. V  <->  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( g `  0 )  =  A  /\  ( g `
 1 )  =  A ) ) )
6159, 60mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  ( g  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( g `  0 )  =  A  /\  ( g `
 1 )  =  A ) )
6261simp1d 1000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  g  e.  ( II  Cn  J ) )
6358, 62erth 7137 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  ( g ( 
~=ph  `  J ) h  <->  [ g ] ( 
~=ph  `  J )  =  [ h ] ( 
~=ph  `  J ) ) )
6456, 63mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  g (  ~=ph  `  J ) h )
657adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
6664, 65phtpcco2 20546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  ( F  o.  g ) (  ~=ph  `  K ) ( F  o.  h ) )
6755, 66erthi 7139 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  U. V  /\  h  e.  U. V  /\  [
g ] (  ~=ph  `  J )  =  [
h ] (  ~=ph  `  J ) ) )  ->  [ ( F  o.  g ) ] (  ~=ph  `  K )  =  [ ( F  o.  h ) ] (  ~=ph  `  K ) )
681, 4, 49, 50, 53, 67fliftfund 6001 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  G )
691, 4, 49fliftf 6003 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  <->  G : ran  ( g  e.  U. V  |->  [ g ] (  ~=ph  `  J ) ) --> ( Base `  Q
) ) )
7068, 69mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  G : ran  (
g  e.  U. V  |->  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) ) --> ( Base `  Q
) )
7122, 15, 18, 24pi1bas2 20588 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) ) )
72 df-qs 7099 . . . . 5  |-  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) )  =  {
s  |  E. g  e.  U. V s  =  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) }
73 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( g  e.  U. V  |->  [ g ] (  ~=ph  `  J ) )  =  ( g  e.  U. V  |->  [ g ] (  ~=ph  `  J ) )
7473rnmpt 5080 . . . . 5  |-  ran  (
g  e.  U. V  |->  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) )  =  { s  |  E. g  e.  U. V s  =  [
g ] (  ~=ph  `  J ) }
7572, 74eqtr4i 2461 . . . 4  |-  ( U. V /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ran  ( g  e.  U. V  |->  [ g ] (  ~=ph  `  J ) )
7671, 75syl6eq 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ran  (
g  e.  U. V  |->  [ g ] ( 
~=ph  `  J ) ) )
7776feq2d 5542 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : V --> ( Base `  Q )  <->  G : ran  ( g  e.  U. V  |->  [ g ] (  ~=ph  `  J ) ) --> (
Base `  Q )
) )
7870, 77mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G : V --> ( Base `  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   <.cop 3878   U.cuni 4086   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836    o. ccom 4839   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    Er wer 7090   [cec 7091   /.cqs 7092   0cc0 9274   1c1 9275   [,]cicc 11295   Basecbs 14166   Topctop 18473  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803   IIcii 20426    ~=ph cphtpc 20516    pi1 cpi1 20550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428  df-htpy 20517  df-phtpy 20518  df-phtpc 20539  df-om1 20553  df-pi1 20555
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