MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1buni Structured version   Unicode version

Theorem pi1buni 21406
Description: Another way to write the loop space base in terms of the base of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1buni  |-  ( ph  ->  U. B  =  K )

Proof of Theorem pi1buni
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . . 5  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1val.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
5 pi1bas.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
6 pi1bas.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6pi1bas 21404 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6pi1blem 21405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
98simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
10 qsinxp 7399 . . . . 5  |-  ( ( (  ~=ph  `  J )
" K )  C_  K  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J )
)  =  ( K /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K ) ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( K /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) ) ) )
127, 11eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K ) ) ) )
1312unieqd 4261 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  =  U. ( K /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) ) ) )
14 phtpcer 21361 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
168simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
1715, 16erinxp 7397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) )  Er  K )
18 fvex 5882 . . . . 5  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
1918inex1 4594 . . . 4  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( K  X.  K
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) )  e. 
_V )
2117, 20uniqs2 7385 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( K /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( K  X.  K ) ) )  =  K )
2213, 21eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  U. B  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   U.cuni 4251    X. cxp 5003   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    Er wer 7320   /.cqs 7322   Basecbs 14506  TopOnctopon 19262    Cn ccn 19591   IIcii 21245    ~=ph cphtpc 21335    Om1 comi 21367    pi1 cpi1 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-qus 14780  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-ii 21247  df-htpy 21336  df-phtpy 21337  df-phtpc 21358  df-om1 21372  df-pi1 21374
This theorem is referenced by:  pi1bas2  21407  pi1eluni  21408  pi1bas3  21409  pi1cpbl  21410  pi1addf  21413  pi1addval  21414  pi1grplem  21415
  Copyright terms: Public domain W3C validator