MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Structured version   Unicode version

Theorem pi1blem 20570
Description: Lemma for pi1buni 20571. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1blem  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2973 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21elima 5171 . . . 4  |-  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  <->  E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J
) x )
3 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
4 isphtpc 20525 . . . . . . . . 9  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
53, 4sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y (  ~=ph  `  J ) x )  ->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
65adantrl 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  x  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y (
PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
76simp2d 996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
8 phtpc01 20527 . . . . . . . . 9  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  ->  ( (
y `  0 )  =  ( x ` 
0 )  /\  (
y `  1 )  =  ( x ` 
1 ) ) )
98ad2antll 723 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( ( y ` 
0 )  =  ( x `  0 )  /\  ( y ` 
1 )  =  ( x `  1 ) ) )
109simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  ( x `
 0 ) )
11 pi1val.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
1511, 12, 13, 14om1elbas 20563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  ( y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) ) )
1615biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y `  0
)  =  Y  /\  ( y `  1
)  =  Y ) )
1716adantrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( y ` 
0 )  =  Y  /\  ( y ` 
1 )  =  Y ) )
1817simp2d 996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  0
)  =  Y )
1910, 18eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  0
)  =  Y )
209simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  ( x `
 1 ) )
2117simp3d 997 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( y `  1
)  =  Y )
2220, 21eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x `  1
)  =  Y )
2311, 12, 13, 14om1elbas 20563 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
2423adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  -> 
( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y ) ) )
257, 19, 22, 24mpbir3and 1166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  K  /\  y
(  ~=ph  `  J )
x ) )  ->  x  e.  K )
2625rexlimdvaa 2840 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  K  y (  ~=ph  `  J ) x  ->  x  e.  K )
)
272, 26syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( (  ~=ph  `  J )
" K )  ->  x  e.  K )
)
2827ssrdv 3359 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " K ) 
C_  K )
29 simp1 983 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x `  0
)  =  Y  /\  ( x `  1
)  =  Y )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3023, 29syl6bi 228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  x  e.  ( II 
Cn  J ) ) )
3130ssrdv 3359 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( II  Cn  J ) )
3228, 31jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " K
)  C_  K  /\  K  C_  ( II  Cn  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   Basecbs 14170  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787   IIcii 20410   PHtpycphtpy 20499    ~=ph cphtpc 20500    Om1 comi 20532    pi1 cpi1 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-tset 14253  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790  df-ii 20412  df-htpy 20501  df-phtpy 20502  df-phtpc 20523  df-om1 20537
This theorem is referenced by:  pi1buni  20571  pi1bas3  20574  pi1addf  20578  pi1addval  20579  pi1grplem  20580
  Copyright terms: Public domain W3C validator