MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1bas3 Structured version   Unicode version

Theorem pi1bas3 20634
Description: The base set of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1bas2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas3.r  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
Assertion
Ref Expression
pi1bas3  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. R ) )

Proof of Theorem pi1bas3
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . 4  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1val.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1bas2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
51, 2, 3, 4pi1bas2 20632 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. (  ~=ph  `  J
) ) )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
7 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
81, 2, 3, 6, 4, 7pi1buni 20631 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
91, 2, 3, 6, 4, 8pi1blem 20630 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " U. B )  C_  U. B  /\  U. B  C_  (
II  Cn  J )
) )
109simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " U. B
)  C_  U. B )
11 qsinxp 7195 . . . 4  |-  ( ( (  ~=ph  `  J )
" U. B ) 
C_  U. B  ->  ( U. B /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. B /. (  ~=ph  `  J )
)  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
135, 12eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
14 pi1bas3.r . . 3  |-  R  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
15 qseq2 7170 . . 3  |-  ( R  =  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) )  ->  ( U. B /. R )  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . 2  |-  ( U. B /. R )  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )
1713, 16syl6eqr 2493 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3346    C_ wss 3347   U.cuni 4110    X. cxp 4857   "cima 4862   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   /.cqs 7119   Basecbs 14193  TopOnctopon 18518    Cn ccn 18847   IIcii 20470    ~=ph cphtpc 20560    Om1 comi 20592    pi1 cpi1 20594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-ec 7122  df-qs 7126  df-map 7235  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-divs 14466  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-ii 20472  df-htpy 20561  df-phtpy 20562  df-phtpc 20583  df-om1 20597  df-pi1 20599
This theorem is referenced by:  pi1addf  20638
  Copyright terms: Public domain W3C validator