MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1bas Structured version   Unicode version

Theorem pi1bas 20585
Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1bas  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )

Proof of Theorem pi1bas
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . 4  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1val.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 20584 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( O 
/.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  O ) )
7 fvex 5696 . . . 4  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
9 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
104, 9eqeltri 2508 . . . 4  |-  O  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
125, 6, 8, 11divsbas 14475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( Base `  G
) )
13 pi1bas.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
14 qseq1 7142 . . 3  |-  ( K  =  ( Base `  O
)  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
16 pi1bas.b . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
1712, 15, 163eqtr4rd 2481 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   /.cqs 7092   Basecbs 14166  TopOnctopon 18474    ~=ph cphtpc 20516    Om1 comi 20548    pi1 cpi1 20550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-imas 14438  df-divs 14439  df-topon 18481  df-pi1 20555
This theorem is referenced by:  pi1buni  20587  pi1bas2  20588
  Copyright terms: Public domain W3C validator