MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1bas Structured version   Unicode version

Theorem pi1bas 20452
Description: The base set of the fundamental group of a topological space at a given base point. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
pi1val.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
pi1val.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1val.o  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
pi1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
pi1bas.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
pi1bas  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )

Proof of Theorem pi1bas
StepHypRef Expression
1 pi1val.g . . . 4  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
2 pi1val.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 pi1val.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 pi1val.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om1  Y )
51, 2, 3, 4pi1val 20451 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( O 
/.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
6 eqidd 2434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  O ) )
7 fvex 5689 . . . 4  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
9 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
104, 9eqeltri 2503 . . . 4  |-  O  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
125, 6, 8, 11divsbas 14466 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( Base `  G
) )
13 pi1bas.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  O ) )
14 qseq1 7138 . . 3  |-  ( K  =  ( Base `  O
)  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J
) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( K /. (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( Base `  O
) /. (  ~=ph  `  J ) ) )
16 pi1bas.b . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
1712, 15, 163eqtr4rd 2476 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( K /. (  ~=ph  `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   /.cqs 7088   Basecbs 14157  TopOnctopon 18341    ~=ph cphtpc 20383    Om1 comi 20415    pi1 cpi1 20417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-ec 7091  df-qs 7095  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-imas 14429  df-divs 14430  df-topon 18348  df-pi1 20422
This theorem is referenced by:  pi1buni  20454  pi1bas2  20455
  Copyright terms: Public domain W3C validator