MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Unicode version

Theorem pi1addf 21713
Description: The group operation of  pi1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
pi1addf  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
2 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
3 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
5 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
7 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
8 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
11 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
137, 8, 9, 10, 12, 2pi1blem 21705 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1413simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
151, 2, 4, 6, 14qusin 15033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
167, 8, 9, 10pi1val 21703 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
177, 8, 9, 10, 12, 2pi1buni 21706 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
1817sqxpeqd 5014 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) )
1918ineq2d 3686 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) )
2019oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
2115, 16, 203eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
22 phtpcer 21661 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2413simprd 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2517, 24eqsstrd 3523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2623, 25erinxp 7377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
27 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
28 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 21710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
308adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
319adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3210, 30, 31om1plusg 21700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) )
3332oveqd 6287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
3417adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
35 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
36 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
3710, 30, 31, 34, 35, 36om1addcl 21699 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
3833, 37eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
39 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39qusaddf 15043 . . 3  |-  ( ph  ->  .+  : ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
417, 8, 9, 12, 27pi1bas3 21709 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
4241sqxpeqd 5014 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  =  ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4342feq2d 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  <->  .+  : ( ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4440, 43mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
4541feq3d 5701 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4644, 45mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4235    X. cxp 4986   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    Er wer 7300   /.cqs 7302   Basecbs 14716   +g cplusg 14784    /.s cqus 14994  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892   IIcii 21545    ~=ph cphtpc 21635   *pcpco 21666    Om1 comi 21667    pi1 cpi1 21669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-qus 14998  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-ii 21547  df-htpy 21636  df-phtpy 21637  df-phtpc 21658  df-pco 21671  df-om1 21672  df-pi1 21674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator