MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Unicode version

Theorem pi1addf 20744
Description: The group operation of  pi1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
elpi1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
elpi1.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
elpi1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
pi1addf.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
pi1addf  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
2 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
3 fvex 5802 . . . . . . 7  |-  (  ~=ph  `  J )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  e.  _V )
5 ovex 6218 . . . . . . 7  |-  ( J 
Om1  Y )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Om1  Y )  e.  _V )
7 elpi1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( J  pi1  Y )
8 elpi1.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 elpi1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( J 
Om1  Y )  =  ( J  Om1  Y )
11 elpi1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
137, 8, 9, 10, 12, 2pi1blem 20736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  ~=ph  `  J ) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  /\  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J
) ) )
1413simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
) " ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) 
C_  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) )
151, 2, 4, 6, 14divsin 14593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
167, 8, 9, 10pi1val 20734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  (  ~=ph  `  J ) ) )
177, 8, 9, 10, 12, 2pi1buni 20737 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
1817, 17xpeq12d 4966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. B  X.  U. B )  =  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) )
1918ineq2d 3653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) )
2019oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) )  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J )  i^i  (
( Base `  ( J  Om1  Y )
)  X.  ( Base `  ( J  Om1  Y ) ) ) ) ) )
2115, 16, 203eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( J  Om1  Y )  /.s  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
22 phtpcer 20692 . . . . . 6  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ~=ph  `  J )  Er  ( II  Cn  J ) )
2413simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( J  Om1  Y ) )  C_  ( II  Cn  J ) )
2517, 24eqsstrd 3491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
II  Cn  J )
)
2623, 25erinxp 7277 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  Er  U. B
)
27 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )  =  ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) )
28 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )  =  ( +g  `  ( J  Om1  Y ) )
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 20741 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) c  /\  b ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) d )  ->  (
a ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) b ) ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) ) )
308adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
319adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  Y  e.  X
)
3210, 30, 31om1plusg 20731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( *p `  J )  =  ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) )
3332oveqd 6210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  =  ( c ( +g  `  ( J  Om1  Y ) ) d ) )
3417adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  U. B  =  (
Base `  ( J  Om1  Y )
) )
35 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  c  e.  U. B )
36 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  d  e.  U. B )
3710, 30, 31, 34, 35, 36om1addcl 20730 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( *p `  J ) d )  e.  U. B )
3833, 37eqeltrrd 2540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  U. B  /\  d  e.  U. B ) )  ->  ( c ( +g  `  ( J 
Om1  Y ) ) d )  e. 
U. B )
39 pi1addf.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39divsaddf 14603 . . 3  |-  ( ph  ->  .+  : ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
417, 8, 9, 12, 27pi1bas3 20740 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B
) ) ) )
4241, 41xpeq12d 4966 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  =  ( ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4342feq2d 5648 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  <->  .+  : ( ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  X.  ( U. B /. ( ( 
~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4440, 43mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) )
45 feq3 5645 . . 3  |-  ( B  =  ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) )  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. ( (  ~=ph  `  J
)  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4641, 45syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+  : ( B  X.  B ) --> B  <->  .+  : ( B  X.  B ) --> ( U. B /. (
(  ~=ph  `  J )  i^i  ( U. B  X.  U. B ) ) ) ) )
4744, 46mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  .+  : ( B  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   U.cuni 4192    X. cxp 4939   "cima 4944   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    Er wer 7201   /.cqs 7203   Basecbs 14285   +g cplusg 14349    /.s cqus 14554  TopOnctopon 18624    Cn ccn 18953   IIcii 20576    ~=ph cphtpc 20666   *pcpco 20697    Om1 comi 20698    pi1 cpi1 20700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-divs 14558  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-ii 20578  df-htpy 20667  df-phtpy 20668  df-phtpc 20689  df-pco 20702  df-om1 20703  df-pi1 20705
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator