MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyid Structured version   Unicode version

Theorem phtpyid 21781
Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyid.1  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
phtpyid.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
phtpyid  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( PHtpy `  J ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem phtpyid
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyid.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 phtpyid.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
3 iitopon 21675 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
52, 4, 1htpyid 21769 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( II Htpy  J ) F ) )
6 0elunit 11692 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
7 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
8 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( y  =  s  ->  ( F `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
9 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
107, 8, 2, 9ovmpt2 6419 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 G s )  =  ( F `  0 ) )
116, 10mpan 668 . . 3  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
0 G s )  =  ( F ` 
0 ) )
1211adantl 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( F ` 
0 ) )
13 1elunit 11693 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
15 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( y  =  s  ->  ( F `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
16 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( F `
 1 )  e. 
_V
1714, 15, 2, 16ovmpt2 6419 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 G s )  =  ( F `  1 ) )
1813, 17mpan 668 . . 3  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1 G s )  =  ( F ` 
1 ) )
1918adantl 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( F ` 
1 ) )
201, 1, 5, 12, 19isphtpyd 21778 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( PHtpy `  J ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   0cc0 9522   1c1 9523   [,]cicc 11585  TopOnctopon 19687    Cn ccn 20018   IIcii 21671   PHtpycphtpy 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cn 20021  df-tx 20355  df-ii 21673  df-htpy 21762  df-phtpy 21763
This theorem is referenced by:  phtpcer  21787
  Copyright terms: Public domain W3C validator