MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyid Structured version   Unicode version

Theorem phtpyid 20674
Description: A homotopy from a path to itself. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyid.1  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
phtpyid.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
phtpyid  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( PHtpy `  J ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem phtpyid
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyid.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 phtpyid.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
3 iitopon 20568 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
52, 4, 1htpyid 20662 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( II Htpy  J ) F ) )
6 0elunit 11501 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
7 fveq2 5786 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
8 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( y  =  s  ->  ( F `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
9 fvex 5796 . . . . 5  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
107, 8, 2, 9ovmpt2 6323 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 G s )  =  ( F `  0 ) )
116, 10mpan 670 . . 3  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
0 G s )  =  ( F ` 
0 ) )
1211adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( F ` 
0 ) )
13 1elunit 11502 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
14 fveq2 5786 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
15 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( y  =  s  ->  ( F `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
16 fvex 5796 . . . . 5  |-  ( F `
 1 )  e. 
_V
1714, 15, 2, 16ovmpt2 6323 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 G s )  =  ( F `  1 ) )
1813, 17mpan 670 . . 3  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1 G s )  =  ( F ` 
1 ) )
1918adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( F ` 
1 ) )
201, 1, 5, 12, 19isphtpyd 20671 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( PHtpy `  J ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    |-> cmpt2 6189   0cc0 9380   1c1 9381   [,]cicc 11401  TopOnctopon 18612    Cn ccn 18941   IIcii 20564   PHtpycphtpy 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xneg 11187  df-xadd 11188  df-xmul 11189  df-icc 11405  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-topgen 14481  df-psmet 17915  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bl 17918  df-mopn 17919  df-top 18616  df-bases 18618  df-topon 18619  df-cn 18944  df-tx 19248  df-ii 20566  df-htpy 20655  df-phtpy 20656
This theorem is referenced by:  phtpcer  20680
  Copyright terms: Public domain W3C validator