MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Unicode version

Theorem phtpycom 21223
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
phtpycom.6  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
phtpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Assertion
Ref Expression
phtpycom  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( PHtpy `  J ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 isphtpy.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 iitopon 21118 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 phtpycom.6 . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
62, 1phtpyhtpy 21217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
7 phtpycom.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
86, 7sseldd 3505 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
94, 2, 1, 5, 8htpycom 21211 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( II Htpy  J ) F ) )
10 0elunit 11634 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
12 oveq1 6289 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( 0 H ( 1  -  y
) ) )
13 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( y  =  t  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  t ) )
1413oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( y  =  t  ->  (
0 H ( 1  -  y ) )  =  ( 0 H ( 1  -  t
) ) )
15 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( 0 H ( 1  -  t ) )  e. 
_V
1612, 14, 5, 15ovmpt2 6420 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 K t )  =  ( 0 H ( 1  -  t ) ) )
1710, 11, 16sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 K t )  =  ( 0 H ( 1  -  t
) ) )
18 iirev 21164 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
192, 1, 7phtpyi 21219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 1 ) ) )
2018, 19sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 1 ) ) )
2120simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F ` 
0 ) )
222, 1, 7phtpy01 21220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F `  0
)  =  ( G `
 0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )
2423simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
2517, 21, 243eqtrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 K t )  =  ( G ` 
0 ) )
26 1elunit 11635 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
27 oveq1 6289 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( 1 H ( 1  -  y
) ) )
2813oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( y  =  t  ->  (
1 H ( 1  -  y ) )  =  ( 1 H ( 1  -  t
) ) )
29 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( 1 H ( 1  -  t ) )  e. 
_V
3027, 28, 5, 29ovmpt2 6420 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 K t )  =  ( 1 H ( 1  -  t ) ) )
3126, 11, 30sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 K t )  =  ( 1 H ( 1  -  t
) ) )
3220simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F ` 
1 ) )
3323simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) )
3431, 32, 333eqtrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 K t )  =  ( G ` 
1 ) )
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 21221 1  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( PHtpy `  J ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   0cc0 9488   1c1 9489    - cmin 9801   [,]cicc 11528  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491   IIcii 21114   Htpy chtpy 21202   PHtpycphtpy 21203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-ii 21116  df-htpy 21205  df-phtpy 21206
This theorem is referenced by:  phtpcer  21230
  Copyright terms: Public domain W3C validator