MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Unicode version

Theorem phtpycom 21782
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
phtpycom.6  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
phtpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Assertion
Ref Expression
phtpycom  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( PHtpy `  J ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 isphtpy.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 iitopon 21677 . . . 4  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 phtpycom.6 . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
62, 1phtpyhtpy 21776 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
7 phtpycom.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
86, 7sseldd 3445 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
94, 2, 1, 5, 8htpycom 21770 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( II Htpy  J ) F ) )
10 0elunit 11694 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1
) )
12 oveq1 6287 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( 0 H ( 1  -  y
) ) )
13 oveq2 6288 . . . . . 6  |-  ( y  =  t  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  t ) )
1413oveq2d 6296 . . . . 5  |-  ( y  =  t  ->  (
0 H ( 1  -  y ) )  =  ( 0 H ( 1  -  t
) ) )
15 ovex 6308 . . . . 5  |-  ( 0 H ( 1  -  t ) )  e. 
_V
1612, 14, 5, 15ovmpt2 6421 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 K t )  =  ( 0 H ( 1  -  t ) ) )
1710, 11, 16sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 K t )  =  ( 0 H ( 1  -  t
) ) )
18 iirev 21723 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
192, 1, 7phtpyi 21778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 1  -  t )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 1 ) ) )
2018, 19sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F `
 1 ) ) )
2120simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H ( 1  -  t ) )  =  ( F ` 
0 ) )
222, 1, 7phtpy01 21779 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F `  0
)  =  ( G `
 0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )
2423simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
2517, 21, 243eqtrd 2449 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 K t )  =  ( G ` 
0 ) )
26 1elunit 11695 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
27 oveq1 6287 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( 1 H ( 1  -  y
) ) )
2813oveq2d 6296 . . . . 5  |-  ( y  =  t  ->  (
1 H ( 1  -  y ) )  =  ( 1 H ( 1  -  t
) ) )
29 ovex 6308 . . . . 5  |-  ( 1 H ( 1  -  t ) )  e. 
_V
3027, 28, 5, 29ovmpt2 6421 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 K t )  =  ( 1 H ( 1  -  t ) ) )
3126, 11, 30sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 K t )  =  ( 1 H ( 1  -  t
) ) )
3220simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H ( 1  -  t ) )  =  ( F ` 
1 ) )
3323simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) )
3431, 32, 333eqtrd 2449 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 K t )  =  ( G ` 
1 ) )
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 21780 1  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G ( PHtpy `  J ) F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   0cc0 9524   1c1 9525    - cmin 9843   [,]cicc 11587  TopOnctopon 19689    Cn ccn 20020   IIcii 21673   Htpy chtpy 21761   PHtpycphtpy 21762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-ii 21675  df-htpy 21764  df-phtpy 21765
This theorem is referenced by:  phtpcer  21789
  Copyright terms: Public domain W3C validator