Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpyco2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem phtpyco2 22099
 Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpyco2.f
phtpyco2.g
phtpyco2.p
phtpyco2.h
Assertion
Ref Expression
phtpyco2

Proof of Theorem phtpyco2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpyco2.f . . 3
2 phtpyco2.p . . 3
3 cnco 20359 . . 3
41, 2, 3syl2anc 673 . 2
5 phtpyco2.g . . 3
6 cnco 20359 . . 3
75, 2, 6syl2anc 673 . 2
81, 5phtpyhtpy 22091 . . . 4 Htpy
9 phtpyco2.h . . . 4
108, 9sseldd 3419 . . 3 Htpy
111, 5, 2, 10htpyco2 22088 . 2 Htpy
121, 5, 9phtpyi 22093 . . . . 5
1312simpld 466 . . . 4
1413fveq2d 5883 . . 3
15 0elunit 11776 . . . . . 6
16 simpr 468 . . . . . 6
17 opelxpi 4871 . . . . . 6
1815, 16, 17sylancr 676 . . . . 5
19 iitopon 21989 . . . . . . . . 9 TopOn
20 txtopon 20683 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
2119, 19, 20mp2an 686 . . . . . . . 8 TopOn
2221a1i 11 . . . . . . 7 TopOn
23 cntop2 20334 . . . . . . . . 9
241, 23syl 17 . . . . . . . 8
25 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2625toptopon 20025 . . . . . . . 8 TopOn
2724, 26sylib 201 . . . . . . 7 TopOn
281, 5phtpycn 22092 . . . . . . . 8
2928, 9sseldd 3419 . . . . . . 7
30 cnf2 20342 . . . . . . 7 TopOn TopOn
3122, 27, 29, 30syl3anc 1292 . . . . . 6
32 fvco3 5957 . . . . . 6
3331, 32sylan 479 . . . . 5
3418, 33syldan 478 . . . 4
35 df-ov 6311 . . . 4
36 df-ov 6311 . . . . 5
3736fveq2i 5882 . . . 4
3834, 35, 373eqtr4g 2530 . . 3
39 iiuni 21991 . . . . . . 7
4039, 25cnf 20339 . . . . . 6
411, 40syl 17 . . . . 5
4241adantr 472 . . . 4
43 fvco3 5957 . . . 4
4442, 15, 43sylancl 675 . . 3
4514, 38, 443eqtr4d 2515 . 2
4612simprd 470 . . . 4
4746fveq2d 5883 . . 3
48 1elunit 11777 . . . . . 6
49 opelxpi 4871 . . . . . 6
5048, 16, 49sylancr 676 . . . . 5
51 fvco3 5957 . . . . . 6
5231, 51sylan 479 . . . . 5
5350, 52syldan 478 . . . 4
54 df-ov 6311 . . . 4
55 df-ov 6311 . . . . 5
5655fveq2i 5882 . . . 4
5753, 54, 563eqtr4g 2530 . . 3
58 fvco3 5957 . . . 4
5942, 48, 58sylancl 675 . . 3
6047, 57, 593eqtr4d 2515 . 2
614, 7, 11, 45, 60isphtpyd 22095 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cop 3965  cuni 4190   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558  cicc 11663  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652  cii 21985   Htpy chtpy 22076  cphtpy 22077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-tx 20654  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080 This theorem is referenced by:  phtpcco2  22108
 Copyright terms: Public domain W3C validator