MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpy01 Structured version   Unicode version

Theorem phtpy01 21909
Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
phtpyi.1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Assertion
Ref Expression
phtpy01  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )

Proof of Theorem phtpy01
StepHypRef Expression
1 1elunit 11749 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
2 isphtpy.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 isphtpy.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
4 phtpyi.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
52, 3, 4phtpyi 21908 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H 1 )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( F `
 1 ) ) )
61, 5mpan2 675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0 H 1 )  =  ( F `  0 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( F `  1 ) ) )
76simpld 460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 H 1 )  =  ( F `
 0 ) )
8 0elunit 11748 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 iitopon 21807 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
112, 3phtpyhtpy 21906 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
1211, 4sseldd 3471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
1310, 2, 3, 12htpyi 21898 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H 0 )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 0 H 1 )  =  ( G `
 0 ) ) )
148, 13mpan2 675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0 H 0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( 0 H 1 )  =  ( G `  0 ) ) )
1514simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 H 1 )  =  ( G `
 0 ) )
167, 15eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
176simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 H 1 )  =  ( F `
 1 ) )
1810, 2, 3, 12htpyi 21898 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 1 H 0 )  =  ( F `
 1 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( G `
 1 ) ) )
191, 18mpan2 675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 H 0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( G `  1 ) ) )
2019simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 H 1 )  =  ( G `
 1 ) )
2117, 20eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
2216, 21jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539   [,]cicc 11638  TopOnctopon 19849    Cn ccn 20171   IIcii 21803   Htpy chtpy 21891   PHtpycphtpy 21892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-ii 21805  df-htpy 21894  df-phtpy 21895
This theorem is referenced by:  phtpycom  21912  phtpycc  21915  phtpc01  21920  pcohtpylem  21943  cvmliftphtlem  29828
  Copyright terms: Public domain W3C validator