MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpy01 Structured version   Unicode version

Theorem phtpy01 21248
Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
phtpyi.1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Assertion
Ref Expression
phtpy01  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )

Proof of Theorem phtpy01
StepHypRef Expression
1 1elunit 11639 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
2 isphtpy.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 isphtpy.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
4 phtpyi.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
52, 3, 4phtpyi 21247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H 1 )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( F `
 1 ) ) )
61, 5mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0 H 1 )  =  ( F `  0 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( F `  1 ) ) )
76simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 H 1 )  =  ( F `
 0 ) )
8 0elunit 11638 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 iitopon 21146 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
112, 3phtpyhtpy 21245 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
1211, 4sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
1310, 2, 3, 12htpyi 21237 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H 0 )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 0 H 1 )  =  ( G `
 0 ) ) )
148, 13mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0 H 0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( 0 H 1 )  =  ( G `  0 ) ) )
1514simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 H 1 )  =  ( G `
 0 ) )
167, 15eqtr3d 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
176simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 H 1 )  =  ( F `
 1 ) )
1810, 2, 3, 12htpyi 21237 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 1 H 0 )  =  ( F `
 1 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( G `
 1 ) ) )
191, 18mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 H 0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( G `  1 ) ) )
2019simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 H 1 )  =  ( G `
 1 ) )
2117, 20eqtr3d 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
2216, 21jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493   [,]cicc 11532  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519   IIcii 21142   Htpy chtpy 21230   PHtpycphtpy 21231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-icc 11536  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cn 19522  df-ii 21144  df-htpy 21233  df-phtpy 21234
This theorem is referenced by:  phtpycom  21251  phtpycc  21254  phtpc01  21259  pcohtpylem  21282  cvmliftphtlem  28430
  Copyright terms: Public domain W3C validator