MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpy01 Structured version   Unicode version

Theorem phtpy01 20688
Description: Two path-homotopic paths have the same start and end point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
isphtpy.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
phtpyi.1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
Assertion
Ref Expression
phtpy01  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )

Proof of Theorem phtpy01
StepHypRef Expression
1 1elunit 11520 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
2 isphtpy.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
3 isphtpy.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
4 phtpyi.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
52, 3, 4phtpyi 20687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H 1 )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( F `
 1 ) ) )
61, 5mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0 H 1 )  =  ( F `  0 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( F `  1 ) ) )
76simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 H 1 )  =  ( F `
 0 ) )
8 0elunit 11519 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 iitopon 20586 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
112, 3phtpyhtpy 20685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
1211, 4sseldd 3464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( II Htpy  J ) G ) )
1310, 2, 3, 12htpyi 20677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H 0 )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 0 H 1 )  =  ( G `
 0 ) ) )
148, 13mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0 H 0 )  =  ( F `  0 )  /\  ( 0 H 1 )  =  ( G `  0 ) ) )
1514simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 H 1 )  =  ( G `
 0 ) )
167, 15eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( G `
 0 ) )
176simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 H 1 )  =  ( F `
 1 ) )
1810, 2, 3, 12htpyi 20677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 1 H 0 )  =  ( F `
 1 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( G `
 1 ) ) )
191, 18mpan2 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 H 0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( 1 H 1 )  =  ( G `  1 ) ) )
2019simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 H 1 )  =  ( G `
 1 ) )
2117, 20eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
2216, 21jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   1c1 9393   [,]cicc 11413  TopOnctopon 18630    Cn ccn 18959   IIcii 20582   Htpy chtpy 20670   PHtpycphtpy 20671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-icc 11417  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-topgen 14500  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-cn 18962  df-ii 20584  df-htpy 20673  df-phtpy 20674
This theorem is referenced by:  phtpycom  20691  phtpycc  20694  phtpc01  20699  pcohtpylem  20722  cvmliftphtlem  27349
  Copyright terms: Public domain W3C validator