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Theorem phtpcer 18973
Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
phtpcer  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )

Proof of Theorem phtpcer
Dummy variables  f 
g  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcrel 18971 . . . 4  |-  Rel  (  ~=ph  `  J )
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  Rel  (  ~=ph  `  J
) )
3 isphtpc 18972 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
y )  =/=  (/) ) )
43simp2bi 973 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
53simp1bi 972 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
63simp3bi 974 . . . . . . 7  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( x
( PHtpy `  J )
y )  =/=  (/) )
7 n0 3597 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( PHtpy `  J
) y )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )
86, 7sylib 189 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y ) )
95adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
104adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
11 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( u f ( 1  -  v ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( u f ( 1  -  v
) ) )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )
139, 10, 11, 12phtpycom 18966 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( u f ( 1  -  v
) ) )  e.  ( y ( PHtpy `  J ) x ) )
14 ne0i 3594 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( u f ( 1  -  v ) ) )  e.  ( y ( PHtpy `  J )
x )  ->  (
y ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) )
168, 15exlimddv 1645 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) )
17 isphtpc 18972 . . . . 5  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
184, 5, 16, 17syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
1918adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x ( 
~=ph  `  J ) y )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
205adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
21 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  y
(  ~=ph  `  J )
z )
22 isphtpc 18972 . . . . . . 7  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) z  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  z  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) ) )
2423simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  z  e.  ( II  Cn  J
) )
256adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) y )  =/=  (/) )
2625, 7sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y ) )
2723simp3d 971 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) )
28 n0 3597 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) 
<->  E. g  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )
2927, 28sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. g 
g  e.  ( y ( PHtpy `  J )
z ) )
30 eeanv 1933 . . . . . . 7  |-  ( E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )  <->  ( E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  E. g  g  e.  (
y ( PHtpy `  J
) z ) ) )
3126, 29, 30sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J
) z ) ) )
32 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  - 
1 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  - 
1 ) ) ) )
3320adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3423simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
3534adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
3624adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
37 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y ) )
38 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( PHtpy `  J
) z ) )
3932, 33, 35, 36, 37, 38phtpycc 18969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( v  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  -  1 ) ) ) )  e.  ( x (
PHtpy `  J ) z ) )
40 ne0i 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  (
1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v
) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  -  1 ) ) ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J
) z )  -> 
( x ( PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  ( x (
PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) )
4241ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) )  -> 
( x ( PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) ) )
4342exlimdvv 1644 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  ( E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )  ->  ( x
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
4431, 43mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) )
45 isphtpc 18972 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) z  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
4620, 24, 44, 45syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  x
(  ~=ph  `  J )
z )
4746adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y ( 
~=ph  `  J ) z ) )  ->  x
(  ~=ph  `  J )
z )
48 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
) ,  z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  y ) )
49 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
5048, 49phtpyid 18967 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J )
x ) )
51 ne0i 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J )
x )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
5352ancli 535 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
5453pm4.71ri 615 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) ) )
55 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) )  <->  ( (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) ) )
56 3ancomb 945 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) )  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
5754, 55, 563bitr2i 265 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
58 isphtpc 18972 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
5957, 58bitr4i 244 . . . 4  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  x (  ~=ph  `  J ) x )
6059a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <-> 
x (  ~=ph  `  J
) x ) )
612, 19, 47, 60iserd 6890 . 2  |-  (  T. 
->  (  ~=ph  `  J
)  Er  ( II 
Cn  J ) )
6261trud 1329 1  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2567   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172   Rel wrel 4842   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    Er wer 6861   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   [,]cicc 10875    Cn ccn 17242   IIcii 18858   PHtpycphtpy 18946    ~=ph cphtpc 18947
This theorem is referenced by:  pcophtb  19007  pi1buni  19018  pi1addf  19025  pi1addval  19026  pi1grplem  19027  pi1inv  19030  pi1xfrf  19031  pi1xfr  19033  pi1xfrcnvlem  19034  pi1cof  19037  sconpi1  24879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970
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