Theorem phtpcer 18973

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	|- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables f g u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 18971	. . . 4 |- Rel ( ~=ph ` J )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> Rel ( ~=ph ` J ) )
3		isphtpc 18972	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ y e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) ) )
4	3	simp2bi 973	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y e. ( II Cn J ) )
5	3	simp1bi 972	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> x e. ( II Cn J ) )
6	3	simp3bi 974	. . . . . . 7 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
7		n0 3597	. . . . . . 7 |- ( ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) <-> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
8	6, 7	sylib 189	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
9	5	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
10	4	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
11		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) )
12		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
13	9, 10, 11, 12	phtpycom 18966	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) )
14		ne0i 3594	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
16	8, 15	exlimddv 1645	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
17		isphtpc 18972	. . . . 5 |- ( y ( ~=ph ` J ) x <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
18	4, 5, 16, 17	syl3anbrc 1138	. . . 4 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y ( ~=ph ` J ) x )
19	18	adantl 453	. . 3 |- ( ( T. /\ x ( ~=ph ` J ) y ) -> y ( ~=ph ` J ) x )
20	5	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x e. ( II Cn J ) )
21		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y ( ~=ph ` J ) z )
22		isphtpc 18972	. . . . . . 7 |- ( y ( ~=ph ` J ) z <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
23	21, 22	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
24	23	simp2d 970	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> z e. ( II Cn J ) )
25	6	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
26	25, 7	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
27	23	simp3d 971	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
28		n0 3597	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) <-> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
29	27, 28	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
30		eeanv 1933	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) <-> ( E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
32		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) )
33	20	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
34	23	simp1d 969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y e. ( II Cn J ) )
35	34	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
36	24	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> z e. ( II Cn J ) )
37		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
38		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
39	32, 33, 35, 36, 37, 38	phtpycc 18969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) )
40		ne0i 3594	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
42	41	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
43	42	exlimdvv 1644	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
44	31, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
45		isphtpc 18972	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) z <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
46	20, 24, 44, 45	syl3anbrc 1138	. . . 4 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
47	46	adantl 453	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
48		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) )
49		id 20	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( II Cn J ) -> x e. ( II Cn J ) )
50	48, 49	phtpyid 18967	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) )
51		ne0i 3594	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
53	52	ancli 535	. . . . . . 7 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
54	53	pm4.71ri 615	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
55		df-3an 938	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
56		3ancomb 945	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
57	54, 55, 56	3bitr2i 265	. . . . 5 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
58		isphtpc 18972	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) x <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
59	57, 58	bitr4i 244	. . . 4 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x )
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x ) )
61	2, 19, 47, 60	iserd 6890	. 2 |- ( T. -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
62	61	trud 1329	1 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   T. wtru 1322   E.wex 1547   e. wcel 1721   =/= wne 2567   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172   Rel wrel 4842   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   Er wer 6861   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   [,]cicc 10875   Cn ccn 17242   IIcii 18858   PHtpycphtpy 18946   ~=ph cphtpc 18947

This theorem is referenced by:  pcophtb  19007  pi1buni  19018  pi1addf  19025  pi1addval  19026  pi1grplem  19027  pi1inv  19030  pi1xfrf  19031  pi1xfr  19033  pi1xfrcnvlem  19034  pi1cof  19037  sconpi1  24879

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-ii 18860  df-htpy 18948  df-phtpy 18949  df-phtpc 18970