Theorem phtpcer 21227

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	|- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables f g u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 21225	. . . 4 |- Rel ( ~=ph ` J )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> Rel ( ~=ph ` J ) )
3		isphtpc 21226	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ y e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) ) )
4	3	simp2bi 1012	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y e. ( II Cn J ) )
5	3	simp1bi 1011	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> x e. ( II Cn J ) )
6	3	simp3bi 1013	. . . . . . 7 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
7		n0 3794	. . . . . . 7 |- ( ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) <-> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
8	6, 7	sylib 196	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
9	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
10	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
11		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) )
12		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
13	9, 10, 11, 12	phtpycom 21220	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) )
14		ne0i 3791	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
16	8, 15	exlimddv 1702	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
17		isphtpc 21226	. . . . 5 |- ( y ( ~=ph ` J ) x <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
18	4, 5, 16, 17	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y ( ~=ph ` J ) x )
19	18	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ x ( ~=ph ` J ) y ) -> y ( ~=ph ` J ) x )
20	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x e. ( II Cn J ) )
21		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y ( ~=ph ` J ) z )
22		isphtpc 21226	. . . . . . 7 |- ( y ( ~=ph ` J ) z <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
24	23	simp2d 1009	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> z e. ( II Cn J ) )
25	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
26	25, 7	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
27	23	simp3d 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
28		n0 3794	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) <-> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
30		eeanv 1957	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) <-> ( E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
32		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) )
33	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
34	23	simp1d 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y e. ( II Cn J ) )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
36	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> z e. ( II Cn J ) )
37		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
38		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
39	32, 33, 35, 36, 37, 38	phtpycc 21223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) )
40		ne0i 3791	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
42	41	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
43	42	exlimdvv 1701	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
44	31, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
45		isphtpc 21226	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) z <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
46	20, 24, 44, 45	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
47	46	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
48		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) )
49		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( II Cn J ) -> x e. ( II Cn J ) )
50	48, 49	phtpyid 21221	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) )
51		ne0i 3791	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
53	52	ancli 551	. . . . . . 7 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
54	53	pm4.71ri 633	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
55		df-3an 975	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
56		3ancomb 982	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
57	54, 55, 56	3bitr2i 273	. . . . 5 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
58		isphtpc 21226	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) x <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
59	57, 58	bitr4i 252	. . . 4 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x )
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x ) )
61	2, 19, 47, 60	iserd 7334	. 2 |- ( T. -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
62	61	trud 1388	1 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   T. wtru 1380   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447   Rel wrel 5004   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   Er wer 7305   0cc0 9488   1c1 9489   x. cmul 9493   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   [,]cicc 11528   Cn ccn 19488   IIcii 21111   PHtpycphtpy 21200   ~=ph cphtpc 21201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-ii 21113  df-htpy 21202  df-phtpy 21203  df-phtpc 21224

This theorem is referenced by:  pcophtb  21261  pi1buni  21272  pi1addf  21279  pi1addval  21280  pi1grplem  21281  pi1inv  21284  pi1xfrf  21285  pi1xfr  21287  pi1xfrcnvlem  21288  pi1cof  21291  sconpi1  28321