Theorem phtpcer 21621

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	|- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables f g u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 21619	. . . 4 |- Rel ( ~=ph ` J )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> Rel ( ~=ph ` J ) )
3		isphtpc 21620	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ y e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) ) )
4	3	simp2bi 1012	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y e. ( II Cn J ) )
5	3	simp1bi 1011	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> x e. ( II Cn J ) )
6	3	simp3bi 1013	. . . . . . 7 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
7		n0 3803	. . . . . . 7 |- ( ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) <-> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
8	6, 7	sylib 196	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
9	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
10	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
11		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) )
12		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
13	9, 10, 11, 12	phtpycom 21614	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) )
14		ne0i 3799	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
16	8, 15	exlimddv 1727	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
17		isphtpc 21620	. . . . 5 |- ( y ( ~=ph ` J ) x <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
18	4, 5, 16, 17	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y ( ~=ph ` J ) x )
19	18	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ x ( ~=ph ` J ) y ) -> y ( ~=ph ` J ) x )
20	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x e. ( II Cn J ) )
21		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y ( ~=ph ` J ) z )
22		isphtpc 21620	. . . . . . 7 |- ( y ( ~=ph ` J ) z <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
24	23	simp2d 1009	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> z e. ( II Cn J ) )
25	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
26	25, 7	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
27	23	simp3d 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
28		n0 3803	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) <-> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
30		eeanv 1989	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) <-> ( E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
32		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) )
33	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
34	23	simp1d 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y e. ( II Cn J ) )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
36	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> z e. ( II Cn J ) )
37		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
38		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
39	32, 33, 35, 36, 37, 38	phtpycc 21617	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) )
40		ne0i 3799	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
42	41	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
43	42	exlimdvv 1726	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
44	31, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
45		isphtpc 21620	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) z <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
46	20, 24, 44, 45	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
47	46	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
48		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) )
49		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( II Cn J ) -> x e. ( II Cn J ) )
50	48, 49	phtpyid 21615	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) )
51		ne0i 3799	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
53	52	ancli 551	. . . . . . 7 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
54	53	pm4.71ri 633	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
55		df-3an 975	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
56		3ancomb 982	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
57	54, 55, 56	3bitr2i 273	. . . . 5 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
58		isphtpc 21620	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) x <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
59	57, 58	bitr4i 252	. . . 4 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x )
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x ) )
61	2, 19, 47, 60	iserd 7355	. 2 |- ( T. -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
62	61	trud 1404	1 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   T. wtru 1396   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456   Rel wrel 5013   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   Er wer 7326   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   2c2 10606   [,]cicc 11557   Cn ccn 19852   IIcii 21505   PHtpycphtpy 21594   ~=ph cphtpc 21595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-ii 21507  df-htpy 21596  df-phtpy 21597  df-phtpc 21618

This theorem is referenced by:  pcophtb  21655  pi1buni  21666  pi1addf  21673  pi1addval  21674  pi1grplem  21675  pi1inv  21678  pi1xfrf  21679  pi1xfr  21681  pi1xfrcnvlem  21682  pi1cof  21685  sconpi1  28881