Theorem phtpcer 20694

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	|- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables f g u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 20692	. . . 4 |- Rel ( ~=ph ` J )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> Rel ( ~=ph ` J ) )
3		isphtpc 20693	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ y e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) ) )
4	3	simp2bi 1004	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y e. ( II Cn J ) )
5	3	simp1bi 1003	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> x e. ( II Cn J ) )
6	3	simp3bi 1005	. . . . . . 7 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
7		n0 3749	. . . . . . 7 |- ( ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) <-> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
8	6, 7	sylib 196	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
9	5	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
10	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
11		eqid 2452	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) )
12		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
13	9, 10, 11, 12	phtpycom 20687	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) )
14		ne0i 3746	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
16	8, 15	exlimddv 1693	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
17		isphtpc 20693	. . . . 5 |- ( y ( ~=ph ` J ) x <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
18	4, 5, 16, 17	syl3anbrc 1172	. . . 4 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y ( ~=ph ` J ) x )
19	18	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ x ( ~=ph ` J ) y ) -> y ( ~=ph ` J ) x )
20	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x e. ( II Cn J ) )
21		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y ( ~=ph ` J ) z )
22		isphtpc 20693	. . . . . . 7 |- ( y ( ~=ph ` J ) z <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
24	23	simp2d 1001	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> z e. ( II Cn J ) )
25	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
26	25, 7	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
27	23	simp3d 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
28		n0 3749	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) <-> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
29	27, 28	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
30		eeanv 1943	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) <-> ( E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
32		eqid 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) )
33	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
34	23	simp1d 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y e. ( II Cn J ) )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
36	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> z e. ( II Cn J ) )
37		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
38		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
39	32, 33, 35, 36, 37, 38	phtpycc 20690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) )
40		ne0i 3746	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
42	41	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
43	42	exlimdvv 1692	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
44	31, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
45		isphtpc 20693	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) z <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
46	20, 24, 44, 45	syl3anbrc 1172	. . . 4 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
47	46	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
48		eqid 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) )
49		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( II Cn J ) -> x e. ( II Cn J ) )
50	48, 49	phtpyid 20688	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) )
51		ne0i 3746	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
53	52	ancli 551	. . . . . . 7 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
54	53	pm4.71ri 633	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
55		df-3an 967	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
56		3ancomb 974	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
57	54, 55, 56	3bitr2i 273	. . . . 5 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
58		isphtpc 20693	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) x <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
59	57, 58	bitr4i 252	. . . 4 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x )
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x ) )
61	2, 19, 47, 60	iserd 7232	. 2 |- ( T. -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
62	61	trud 1379	1 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   T. wtru 1371   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2645   (/)c0 3740   ifcif 3894   class class class wbr 4395   Rel wrel 4948   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   |-> cmpt2 6197   Er wer 7203   0cc0 9388   1c1 9389   x. cmul 9393   <_ cle 9525   - cmin 9701   / cdiv 10099   2c2 10477   [,]cicc 11409   Cn ccn 18955   IIcii 20578   PHtpycphtpy 20667   ~=ph cphtpc 20668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-mulf 9468

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-ii 20580  df-htpy 20669  df-phtpy 20670  df-phtpc 20691

This theorem is referenced by:  pcophtb  20728  pi1buni  20739  pi1addf  20746  pi1addval  20747  pi1grplem  20748  pi1inv  20751  pi1xfrf  20752  pi1xfr  20754  pi1xfrcnvlem  20755  pi1cof  20758  sconpi1  27267