Theorem phtpcer 22026

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	|- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables f g u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 22024	. . . 4 |- Rel ( ~=ph ` J )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> Rel ( ~=ph ` J ) )
3		isphtpc 22025	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ y e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) ) )
4	3	simp2bi 1024	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y e. ( II Cn J ) )
5	3	simp1bi 1023	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> x e. ( II Cn J ) )
6	3	simp3bi 1025	. . . . . . 7 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
7		n0 3741	. . . . . . 7 |- ( ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) <-> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
8	6, 7	sylib 200	. . . . . 6 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
9	5	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
10	4	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
11		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) )
12		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
13	9, 10, 11, 12	phtpycom 22019	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) )
14		ne0i 3737	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( u f ( 1 - v ) ) ) e. ( y ( PHtpy ` J ) x ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) ) -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
16	8, 15	exlimddv 1781	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
17		isphtpc 22025	. . . . 5 |- ( y ( ~=ph ` J ) x <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
18	4, 5, 16, 17	syl3anbrc 1192	. . . 4 |- ( x ( ~=ph ` J ) y -> y ( ~=ph ` J ) x )
19	18	adantl 468	. . 3 |- ( ( T. /\ x ( ~=ph ` J ) y ) -> y ( ~=ph ` J ) x )
20	5	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x e. ( II Cn J ) )
21		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y ( ~=ph ` J ) z )
22		isphtpc 22025	. . . . . . 7 |- ( y ( ~=ph ` J ) z <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
23	21, 22	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
24	23	simp2d 1021	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> z e. ( II Cn J ) )
25	6	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) y ) =/= (/) )
26	25, 7	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
27	23	simp3d 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
28		n0 3741	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) <-> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
29	27, 28	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
30		eeanv 2078	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) <-> ( E. f f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ E. g g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 670	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) )
32		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) )
33	20	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
34	23	simp1d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> y e. ( II Cn J ) )
35	34	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
36	24	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> z e. ( II Cn J ) )
37		simprl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) )
38		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) )
39	32, 33, 35, 36, 37, 38	phtpycc 22022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) )
40		ne0i 3737	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ( 0 [,] 1 ) , v e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( v <_ ( 1 / 2 ) , ( u f ( 2 x. v ) ) , ( u g ( ( 2 x. v ) - 1 ) ) ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) /\ ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
42	41	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
43	42	exlimdvv 1780	. . . . . 6 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( E. f E. g ( f e. ( x ( PHtpy ` J ) y ) /\ g e. ( y ( PHtpy ` J ) z ) ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
44	31, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) )
45		isphtpc 22025	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) z <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ z e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) z ) =/= (/) ) )
46	20, 24, 44, 45	syl3anbrc 1192	. . . 4 |- ( ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
47	46	adantl 468	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ( ~=ph ` J ) y /\ y ( ~=ph ` J ) z ) ) -> x ( ~=ph ` J ) z )
48		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) = ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) )
49		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( II Cn J ) -> x e. ( II Cn J ) )
50	48, 49	phtpyid 22020	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) )
51		ne0i 3737	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` y ) ) e. ( x ( PHtpy ` J ) x ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) )
53	52	ancli 554	. . . . . . 7 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
54	53	pm4.71ri 639	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
55		df-3an 987	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) /\ x e. ( II Cn J ) ) )
56		3ancomb 994	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) /\ x e. ( II Cn J ) ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
57	54, 55, 56	3bitr2i 277	. . . . 5 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
58		isphtpc 22025	. . . . 5 |- ( x ( ~=ph ` J ) x <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( x ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
59	57, 58	bitr4i 256	. . . 4 |- ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x )
60	59	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( II Cn J ) <-> x ( ~=ph ` J ) x ) )
61	2, 19, 47, 60	iserd 7389	. 2 |- ( T. -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
62	61	trud 1453	1 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   T. wtru 1445   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402   Rel wrel 4839   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   Er wer 7360   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   2c2 10659   [,]cicc 11638   Cn ccn 20240   IIcii 21907   PHtpycphtpy 21999   ~=ph cphtpc 22000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-ii 21909  df-htpy 22001  df-phtpy 22002  df-phtpc 22023

This theorem is referenced by:  pcophtb  22060  pi1buni  22071  pi1addf  22078  pi1addval  22079  pi1grplem  22080  pi1inv  22083  pi1xfrf  22084  pi1xfr  22086  pi1xfrcnvlem  22087  pi1cof  22090  sconpi1  29962