MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcco2 Structured version   Unicode version

Theorem phtpcco2 21229
Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpcco2.f  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
phtpcco2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
phtpcco2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )

Proof of Theorem phtpcco2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcco2.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) G )
2 isphtpc 21224 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
43simp1d 1003 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 phtpcco2.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
6 cnco 19528 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
74, 5, 6syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
83simp2d 1004 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 cnco 19528 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( II 
Cn  J )  /\  P  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
108, 5, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  o.  G
)  e.  ( II 
Cn  K ) )
113simp3d 1005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) )
12 n0 3789 . . . 4  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) G )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
1311, 12sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  f  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
144adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
158adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J ) )
165adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )
1814, 15, 16, 17phtpyco2 21220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F
) ( PHtpy `  K
) ( P  o.  G ) ) )
19 ne0i 3786 . . . 4  |-  ( ( P  o.  f )  e.  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  ->  ( ( P  o.  F )
( PHtpy `  K )
( P  o.  G
) )  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )  ->  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
2113, 20exlimddv 1697 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  F ) ( PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) )
22 isphtpc 21224 . 2  |-  ( ( P  o.  F ) (  ~=ph  `  K ) ( P  o.  G
)  <->  ( ( P  o.  F )  e.  ( II  Cn  K
)  /\  ( P  o.  G )  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( P  o.  F ) (
PHtpy `  K ) ( P  o.  G ) )  =/=  (/) ) )
237, 10, 21, 22syl3anbrc 1175 1  |-  ( ph  ->  ( P  o.  F
) (  ~=ph  `  K
) ( P  o.  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   (/)c0 3780   class class class wbr 4442    o. ccom 4998   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    Cn ccn 19486   IIcii 21109   PHtpycphtpy 21198    ~=ph cphtpc 21199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-icc 11527  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cn 19489  df-tx 19793  df-ii 21111  df-htpy 21200  df-phtpy 21201  df-phtpc 21222
This theorem is referenced by:  pi1cof  21289  cvmlift3lem1  28392
  Copyright terms: Public domain W3C validator