MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpc01 Structured version   Unicode version

Theorem phtpc01 21786
Description: Path homotopic paths have the same endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
phtpc01  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  ->  ( ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )

Proof of Theorem phtpc01
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpc 21784 . 2  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) G )  =/=  (/) ) )
2 n0 3747 . . . 4  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) G )  =/=  (/) 
<->  E. h  h  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )
3 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  h  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
4 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  h  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
5 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  h  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )  ->  h  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G ) )
63, 4, 5phtpy01 21775 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  /\  h  e.  ( F ( PHtpy `  J ) G ) )  ->  ( ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )
76ex 432 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  -> 
( h  e.  ( F ( PHtpy `  J
) G )  -> 
( ( F ` 
0 )  =  ( G `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( G `  1 ) ) ) )
87exlimdv 1745 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  -> 
( E. h  h  e.  ( F (
PHtpy `  J ) G )  ->  ( ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) ) )
92, 8syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J ) )  -> 
( ( F (
PHtpy `  J ) G )  =/=  (/)  ->  (
( F `  0
)  =  ( G `
 0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) ) )
1093impia 1194 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  G  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ( PHtpy `  J
) G )  =/=  (/) )  ->  ( ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )
111, 10sylbi 195 1  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) G  ->  ( ( F `  0 )  =  ( G ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( G ` 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   (/)c0 3737   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   1c1 9522    Cn ccn 20016   IIcii 21669   PHtpycphtpy 21758    ~=ph cphtpc 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cn 20019  df-ii 21671  df-htpy 21760  df-phtpy 21761  df-phtpc 21782
This theorem is referenced by:  pcohtpy  21810  pi1blem  21829  cvmliftpht  29602  cvmlift3lem1  29603
  Copyright terms: Public domain W3C validator