Theorem phpreu 31929

Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
phpreu	|- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> A. x e. A E! y e. B x = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem phpreu

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
2	1	biimpac 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ x = C ) -> C e. A )
3		rabid 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { y e. B | C e. A } <-> ( y e. B /\ C e. A ) )
4	3	simplbi2com 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C e. A -> ( y e. B -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ x = C ) -> ( y e. B -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
6	5	impancom 442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
7	6	ancrd 557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C -> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
8	7	expimpd 608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( ( y e. B /\ x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
9	8	reximdv2 2858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( E. y e. B x = C -> E. y e. { y e. B | C e. A } x = C ) )
10	9	ralimia 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C )
11	3	simplbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | C e. A } -> y e. B )
12	6	pm4.71rd 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
13		df-mpt 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) = { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) }
14	13	breqi 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> y { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } x )
15		df-br 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } x <-> <. y , x >. e. { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } )
16		opabid 4708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. y , x >. e. { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) )
17	14, 15, 16	3bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) )
18	12, 17	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
19	11, 18	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ y e. { y e. B | C e. A } ) -> ( x = C <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
20	19	rexbidva 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
21	20	ralbiia 2818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
22		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> ( b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
23	22	rexbidv 2901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = x -> ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
24		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ b { y e. B | C e. A }
25		nfrab1 2971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { y e. B | C e. A }
26		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y b
27		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C )
28		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
29	26, 27, 28	nfbr 4447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x
30		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ b y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x
31		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
32	24, 25, 29, 30, 31	cbvrexf 3014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
33	23, 32	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = x -> ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
34	33	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
35	21, 34	bitr4i 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
36	10, 35	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
37		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ b ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C )
38	25	nfcri 2586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y b e. { y e. B | C e. A }
39		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y [_ b / y ]_ C
40	39	nfeq2 2607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y x = [_ b / y ]_ C
41	38, 40	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C )
42		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( y e. { y e. B | C e. A } <-> b e. { y e. B | C e. A } ) )
43		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> C = [_ b / y ]_ C )
44	43	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( x = C <-> x = [_ b / y ]_ C ) )
45	42, 44	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) <-> ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) ) )
46	37, 41, 45	cbvopab1 4473	. . . . . . . . . . . . 13 |- { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } = { <. b , x >. | ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) }
47		df-mpt 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. { y e. B | C e. A } |-> [_ b / y ]_ C ) = { <. b , x >. | ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) }
48	46, 13, 47	3eqtr4i 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) = ( b e. { y e. B | C e. A } |-> [_ b / y ]_ C )
49		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
50	39	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y [_ b / y ]_ C e. A
51	43	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( C e. A <-> [_ b / y ]_ C e. A ) )
52	26, 49, 50, 51	elrabf 3194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. { y e. B | C e. A } <-> ( b e. B /\ [_ b / y ]_ C e. A ) )
53	52	simprbi 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. { y e. B | C e. A } -> [_ b / y ]_ C e. A )
54	48, 53	fmpti 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A
55	36, 54	jctil 540	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
56		dffo4 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A <-> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
57	55, 56	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A )
58	57	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A )
59		relen 7574	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ~~
60	59	brrelex2i 4876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
61		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | C e. A } C_ B
62		ssdomg 7615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( { y e. B | C e. A } C_ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ B ) )
63	60, 61, 62	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ~~ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ B )
64		ensym 7618	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
65		domentr 7628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { y e. B | C e. A } ~<_ B /\ B ~~ A ) -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
66	63, 64, 65	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~~ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
67	66	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
68		enfi 7788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
69	68	biimpac 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> B e. Fin )
70		rabfi 7796	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> { y e. B | C e. A } e. Fin )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> { y e. B | C e. A } e. Fin )
72		fodomfi 7850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | C e. A } e. Fin /\ ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A ) -> A ~<_ { y e. B | C e. A } )
73	71, 57, 72	syl2an 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A ~<_ { y e. B | C e. A } )
74		sbth 7692	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y e. B | C e. A } ~<_ A /\ A ~<_ { y e. B | C e. A } ) -> { y e. B | C e. A } ~~ A )
75	67, 73, 74	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> { y e. B | C e. A } ~~ A )
76		simpll 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A e. Fin )
77		fofinf1o 7852	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A /\ { y e. B | C e. A } ~~ A /\ A e. Fin ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A )
78	58, 75, 76, 77	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A )
79		f1of1 5813	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A )
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A )
81		dff12 5778	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A <-> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
82	81	simprbi 466	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A -> A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
83	22	mobidv 2320	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
84	29, 30, 31	cbvmo 2335	. . . . . . . . 9 |- ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
85	83, 84	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
86	85	cbvalv 2116	. . . . . . 7 |- ( A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
87	82, 86	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A -> A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
88		mormo 3007	. . . . . . 7 |- ( E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
89	88	alimi 1684	. . . . . 6 |- ( A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> A. x E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
90		alral 2753	. . . . . 6 |- ( A. x E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
91	80, 87, 89, 90	4syl 19	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
92	18	rmobidva 2979	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( E* y e. B x = C <-> E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
93	92	ralbiia 2818	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y e. B x = C <-> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
94	91, 93	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A. x e. A E* y e. B x = C )
95	94	ex 436	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. x e. A E* y e. B x = C ) )
96	95	pm4.71d 640	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) ) )
97		reu5 3008	. . . 4 |- ( E! y e. B x = C <-> ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) )
98	97	ralbii 2819	. . 3 |- ( A. x e. A E! y e. B x = C <-> A. x e. A ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) )
99		r19.26 2917	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) )
100	98, 99	bitri 253	. 2 |- ( A. x e. A E! y e. B x = C <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) )
101	96, 100	syl6bbr 267	1 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> A. x e. A E! y e. B x = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   E*wmo 2300   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   E*wrmo 2740   {crab 2741   _Vcvv 3045   [_csb 3363   C_ wss 3404   <.cop 3974   class class class wbr 4402   {copab 4460   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ~~ cen 7566   ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573

This theorem is referenced by:  poimirlem25  31965  poimirlem26  31966