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Theorem phpreu 31993
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
21biimpac 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  ->  C  e.  A )
3 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) )
43simplbi2com 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } ) )
65impancom 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  ->  y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
) )
76ancrd 563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  ->  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) ) )
87expimpd 614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  B  /\  x  =  C
)  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) ) )
98reximdv2 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C ) )
109ralimia 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C
)
113simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ->  y  e.  B )
126pm4.71rd 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
) ) )
13 df-mpt 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )  =  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }
1413breqi 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  y { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
) } x )
15 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y { <. y ,  x >.  |  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) } )
16 opabid 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }  <->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) )
1714, 15, 163bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) )
1812, 17syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
1911, 18sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } )  -> 
( x  =  C  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2019rexbidva 2889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2120ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
22 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  x  ->  (
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <-> 
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2322rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E. b  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
24 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ b { y  e.  B  |  C  e.  A }
25 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { y  e.  B  |  C  e.  A }
26 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
b
27 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )
28 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
2926, 27, 28nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x
30 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x
31 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  y  ->  (
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexf 3000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
3323, 32syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
3433cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
3521, 34bitr4i 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
3610, 35sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
37 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
)
3825nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }
39 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ C
4039nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  =  [_ b  /  y ]_ C
4138, 40nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( b  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
)
42 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }
) )
43 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ C )
4443eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ b  /  y ]_ C ) )
4542, 44anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
)  <->  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
) ) )
4637, 41, 45cbvopab1 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }  =  { <. b ,  x >.  |  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
) }
47 df-mpt 4456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  [_ b  /  y ]_ C
)  =  { <. b ,  x >.  |  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C ) }
4846, 13, 473eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )  =  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  [_ b  /  y ]_ C )
49 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
5039nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ C  e.  A
5143eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( C  e.  A  <->  [_ b  / 
y ]_ C  e.  A
) )
5226, 49, 50, 51elrabf 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  ( b  e.  B  /\  [_ b  /  y ]_ C  e.  A ) )
5352simprbi 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ->  [_ b  /  y ]_ C  e.  A )
5448, 53fmpti 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A
5536, 54jctil 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
56 dffo4 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A  <->  ( (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
5755, 56sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )
5857adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )
59 relen 7592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ~~
6059brrelex2i 4881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
61 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  B  |  C  e.  A }  C_  B
62 ssdomg 7633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  C_  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B ) )
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B )
64 ensym 7636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
65 domentr 7646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B  /\  B  ~~  A )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
6663, 64, 65syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~~  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
6766ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
68 enfi 7806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
6968biimpac 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  B  e.  Fin )
70 rabfi 7814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin )
72 fodomfi 7868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin  /\  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )  ->  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )
7371, 57, 72syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )
74 sbth 7710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A  /\  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A
)
7567, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A
)
76 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A  e.  Fin )
77 fofinf1o 7870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : {
y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A  /\  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A }
-1-1-onto-> A )
7858, 75, 76, 77syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A }
-1-1-onto-> A )
79 f1of1 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-onto-> A  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A )
8078, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A )
81 dff12 5791 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  <->  ( (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a E* b  b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
8281simprbi 471 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  ->  A. a E* b  b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
8322mobidv 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E* b  b (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
8429, 30, 31cbvmo 2355 . . . . . . . . 9  |-  ( E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8583, 84syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  ( E* b  b (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
8685cbvalv 2129 . . . . . . 7  |-  ( A. a E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  A. x E* y 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8782, 86sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  ->  A. x E* y  y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
88 mormo 2993 . . . . . . 7  |-  ( E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8988alimi 1692 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  A. x E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
90 alral 2772 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9218rmobidva 2965 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( E* y  e.  B  x  =  C  <->  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
9392ralbiia 2822 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9491, 93sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C )
9594ex 441 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C )
)
9695pm4.71d 646 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) ) )
97 reu5 2994 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  x  =  C  <->  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C ) )
9897ralbii 2823 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C )
)
99 r19.26 2904 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) )
10098, 99bitri 257 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) )
10196, 100syl6bbr 271 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   E*wmo 2320   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   E*wrmo 2759   {crab 2760   _Vcvv 3031   [_csb 3349    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  poimirlem25  32029  poimirlem26  32030
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