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Theorem phpreu 31929
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
21biimpac 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  ->  C  e.  A )
3 rabid 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) )
43simplbi2com 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } ) )
65impancom 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  ->  y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
) )
76ancrd 557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  ->  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) ) )
87expimpd 608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  B  /\  x  =  C
)  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) ) )
98reximdv2 2858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C ) )
109ralimia 2779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C
)
113simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ->  y  e.  B )
126pm4.71rd 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
) ) )
13 df-mpt 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )  =  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }
1413breqi 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  y { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
) } x )
15 df-br 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y { <. y ,  x >.  |  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) } )
16 opabid 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }  <->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) )
1714, 15, 163bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) )
1812, 17syl6bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
1911, 18sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } )  -> 
( x  =  C  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2019rexbidva 2898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2120ralbiia 2818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
22 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  x  ->  (
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <-> 
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2322rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E. b  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
24 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ b { y  e.  B  |  C  e.  A }
25 nfrab1 2971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { y  e.  B  |  C  e.  A }
26 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
b
27 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )
28 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
2926, 27, 28nfbr 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x
30 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x
31 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  y  ->  (
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexf 3014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
3323, 32syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
3433cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
3521, 34bitr4i 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
3610, 35sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
37 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
)
3825nfcri 2586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }
39 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ C
4039nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  =  [_ b  /  y ]_ C
4138, 40nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( b  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
)
42 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }
) )
43 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ C )
4443eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ b  /  y ]_ C ) )
4542, 44anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
)  <->  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
) ) )
4637, 41, 45cbvopab1 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }  =  { <. b ,  x >.  |  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
) }
47 df-mpt 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  [_ b  /  y ]_ C
)  =  { <. b ,  x >.  |  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C ) }
4846, 13, 473eqtr4i 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )  =  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  [_ b  /  y ]_ C )
49 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
5039nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ C  e.  A
5143eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( C  e.  A  <->  [_ b  / 
y ]_ C  e.  A
) )
5226, 49, 50, 51elrabf 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  ( b  e.  B  /\  [_ b  /  y ]_ C  e.  A ) )
5352simprbi 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ->  [_ b  /  y ]_ C  e.  A )
5448, 53fmpti 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A
5536, 54jctil 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
56 dffo4 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A  <->  ( (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
5755, 56sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )
5857adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )
59 relen 7574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ~~
6059brrelex2i 4876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
61 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  B  |  C  e.  A }  C_  B
62 ssdomg 7615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  C_  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B ) )
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B )
64 ensym 7618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
65 domentr 7628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B  /\  B  ~~  A )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
6663, 64, 65syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~~  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
6766ad2antlr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
68 enfi 7788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
6968biimpac 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  B  e.  Fin )
70 rabfi 7796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin )
72 fodomfi 7850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin  /\  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )  ->  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )
7371, 57, 72syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )
74 sbth 7692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A  /\  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A
)
7567, 73, 74syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A
)
76 simpll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A  e.  Fin )
77 fofinf1o 7852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : {
y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A  /\  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A }
-1-1-onto-> A )
7858, 75, 76, 77syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A }
-1-1-onto-> A )
79 f1of1 5813 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-onto-> A  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A )
8078, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A )
81 dff12 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  <->  ( (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a E* b  b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
8281simprbi 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  ->  A. a E* b  b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
8322mobidv 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E* b  b (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
8429, 30, 31cbvmo 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8583, 84syl6bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  ( E* b  b (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
8685cbvalv 2116 . . . . . . 7  |-  ( A. a E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  A. x E* y 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8782, 86sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  ->  A. x E* y  y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
88 mormo 3007 . . . . . . 7  |-  ( E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8988alimi 1684 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  A. x E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
90 alral 2753 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9218rmobidva 2979 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( E* y  e.  B  x  =  C  <->  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
9392ralbiia 2818 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9491, 93sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C )
9594ex 436 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C )
)
9695pm4.71d 640 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) ) )
97 reu5 3008 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  x  =  C  <->  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C ) )
9897ralbii 2819 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C )
)
99 r19.26 2917 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) )
10098, 99bitri 253 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) )
10196, 100syl6bbr 267 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   E*wmo 2300   A.wral 2737   E.wrex 2738   E!wreu 2739   E*wrmo 2740   {crab 2741   _Vcvv 3045   [_csb 3363    C_ wss 3404   <.cop 3974   class class class wbr 4402   {copab 4460    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581    ~~ cen 7566    ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573
This theorem is referenced by:  poimirlem25  31965  poimirlem26  31966
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