Theorem phpreu 31993

Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
phpreu	|- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> A. x e. A E! y e. B x = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem phpreu

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
2	1	biimpac 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ x = C ) -> C e. A )
3		rabid 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { y e. B | C e. A } <-> ( y e. B /\ C e. A ) )
4	3	simplbi2com 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( C e. A -> ( y e. B -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ x = C ) -> ( y e. B -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
6	5	impancom 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C -> y e. { y e. B | C e. A } ) )
7	6	ancrd 563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C -> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
8	7	expimpd 614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( ( y e. B /\ x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
9	8	reximdv2 2855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( E. y e. B x = C -> E. y e. { y e. B | C e. A } x = C ) )
10	9	ralimia 2794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C )
11	3	simplbi 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | C e. A } -> y e. B )
12	6	pm4.71rd 647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) ) )
13		df-mpt 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) = { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) }
14	13	breqi 4401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> y { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } x )
15		df-br 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } x <-> <. y , x >. e. { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } )
16		opabid 4708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. y , x >. e. { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) )
17	14, 15, 16	3bitri 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) )
18	12, 17	syl6bbr 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x = C <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
19	11, 18	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ y e. { y e. B | C e. A } ) -> ( x = C <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
20	19	rexbidva 2889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
21	20	ralbiia 2822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
22		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> ( b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
23	22	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = x -> ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
24		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ b { y e. B | C e. A }
25		nfrab1 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { y e. B | C e. A }
26		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y b
27		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C )
28		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
29	26, 27, 28	nfbr 4440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ y b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x
30		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ b y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x
31		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = y -> ( b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
32	24, 25, 29, 30, 31	cbvrexf 3000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
33	23, 32	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = x -> ( E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
34	33	cbvralv 3005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
35	21, 34	bitr4i 260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A E. y e. { y e. B | C e. A } x = C <-> A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
36	10, 35	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
37		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ b ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C )
38	25	nfcri 2606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y b e. { y e. B | C e. A }
39		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y [_ b / y ]_ C
40	39	nfeq2 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y x = [_ b / y ]_ C
41	38, 40	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C )
42		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( y e. { y e. B | C e. A } <-> b e. { y e. B | C e. A } ) )
43		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> C = [_ b / y ]_ C )
44	43	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> ( x = C <-> x = [_ b / y ]_ C ) )
45	42, 44	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) <-> ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) ) )
46	37, 41, 45	cbvopab1 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- { <. y , x >. | ( y e. { y e. B | C e. A } /\ x = C ) } = { <. b , x >. | ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) }
47		df-mpt 4456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. { y e. B | C e. A } |-> [_ b / y ]_ C ) = { <. b , x >. | ( b e. { y e. B | C e. A } /\ x = [_ b / y ]_ C ) }
48	46, 13, 47	3eqtr4i 2503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) = ( b e. { y e. B | C e. A } |-> [_ b / y ]_ C )
49		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
50	39	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y [_ b / y ]_ C e. A
51	43	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( C e. A <-> [_ b / y ]_ C e. A ) )
52	26, 49, 50, 51	elrabf 3182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. { y e. B | C e. A } <-> ( b e. B /\ [_ b / y ]_ C e. A ) )
53	52	simprbi 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. { y e. B | C e. A } -> [_ b / y ]_ C e. A )
54	48, 53	fmpti 6060	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A
55	36, 54	jctil 546	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
56		dffo4 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A <-> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a e. A E. b e. { y e. B | C e. A } b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
57	55, 56	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A E. y e. B x = C -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A )
58	57	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A )
59		relen 7592	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ~~
60	59	brrelex2i 4881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
61		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | C e. A } C_ B
62		ssdomg 7633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> ( { y e. B | C e. A } C_ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ B ) )
63	60, 61, 62	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ~~ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ B )
64		ensym 7636	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ~~ B -> B ~~ A )
65		domentr 7646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { y e. B | C e. A } ~<_ B /\ B ~~ A ) -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
66	63, 64, 65	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~~ B -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
67	66	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> { y e. B | C e. A } ~<_ A )
68		enfi 7806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )
69	68	biimpac 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> B e. Fin )
70		rabfi 7814	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> { y e. B | C e. A } e. Fin )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> { y e. B | C e. A } e. Fin )
72		fodomfi 7868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y e. B | C e. A } e. Fin /\ ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A ) -> A ~<_ { y e. B | C e. A } )
73	71, 57, 72	syl2an 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A ~<_ { y e. B | C e. A } )
74		sbth 7710	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y e. B | C e. A } ~<_ A /\ A ~<_ { y e. B | C e. A } ) -> { y e. B | C e. A } ~~ A )
75	67, 73, 74	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> { y e. B | C e. A } ~~ A )
76		simpll 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A e. Fin )
77		fofinf1o 7870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -onto-> A /\ { y e. B | C e. A } ~~ A /\ A e. Fin ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A )
78	58, 75, 76, 77	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A )
79		f1of1 5827	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-onto-> A -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A )
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A )
81		dff12 5791	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A <-> ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } --> A /\ A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a ) )
82	81	simprbi 471	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A -> A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a )
83	22	mobidv 2340	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
84	29, 30, 31	cbvmo 2355	. . . . . . . . 9 |- ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x <-> E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
85	83, 84	syl6bb 269	. . . . . . . 8 |- ( a = x -> ( E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
86	85	cbvalv 2129	. . . . . . 7 |- ( A. a E* b b ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) a <-> A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
87	82, 86	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) : { y e. B | C e. A } -1-1-> A -> A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
88		mormo 2993	. . . . . . 7 |- ( E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
89	88	alimi 1692	. . . . . 6 |- ( A. x E* y y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> A. x E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
90		alral 2772	. . . . . 6 |- ( A. x E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x -> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
91	80, 87, 89, 90	4syl 19	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
92	18	rmobidva 2965	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( E* y e. B x = C <-> E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x ) )
93	92	ralbiia 2822	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y e. B x = C <-> A. x e. A E* y e. B y ( y e. { y e. B | C e. A } |-> C ) x )
94	91, 93	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) /\ A. x e. A E. y e. B x = C ) -> A. x e. A E* y e. B x = C )
95	94	ex 441	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C -> A. x e. A E* y e. B x = C ) )
96	95	pm4.71d 646	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) ) )
97		reu5 2994	. . . 4 |- ( E! y e. B x = C <-> ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) )
98	97	ralbii 2823	. . 3 |- ( A. x e. A E! y e. B x = C <-> A. x e. A ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) )
99		r19.26 2904	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y e. B x = C /\ E* y e. B x = C ) <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) )
100	98, 99	bitri 257	. 2 |- ( A. x e. A E! y e. B x = C <-> ( A. x e. A E. y e. B x = C /\ A. x e. A E* y e. B x = C ) )
101	96, 100	syl6bbr 271	1 |- ( ( A e. Fin /\ A ~~ B ) -> ( A. x e. A E. y e. B x = C <-> A. x e. A E! y e. B x = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   E*wmo 2320   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758   E*wrmo 2759   {crab 2760   _Vcvv 3031   [_csb 3349   C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ~~ cen 7584   ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591

This theorem is referenced by:  poimirlem25  32029  poimirlem26  32030