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Theorem phpreu 31843
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
21biimpac 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  ->  C  e.  A )
3 rabid 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  ( y  e.  B  /\  C  e.  A ) )
43simplbi2com 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } ) )
65impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  ->  y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
) )
76ancrd 556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  ->  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) ) )
87expimpd 606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  B  /\  x  =  C
)  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) ) )
98reximdv2 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C ) )
109ralimia 2816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C
)
113simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ->  y  e.  B )
126pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  <-> 
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
) ) )
13 df-mpt 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )  =  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }
1413breqi 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  y { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
) } x )
15 df-br 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y { <. y ,  x >.  |  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) } )
16 opabid 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. y ,  x >.  |  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }  <->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) )
1714, 15, 163bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) )
1812, 17syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  C  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
1911, 18sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } )  -> 
( x  =  C  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2019rexbidva 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2120ralbiia 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
22 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  x  ->  (
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <-> 
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
2322rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E. b  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
24 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ b { y  e.  B  |  C  e.  A }
25 nfrab1 3009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { y  e.  B  |  C  e.  A }
26 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
b
27 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )
28 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
x
2926, 27, 28nfbr 4465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x
30 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ b  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x
31 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  y  ->  (
b ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <-> 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexf 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
3323, 32syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  x  ->  ( E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E. y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
3433cbvralv 3055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
3521, 34bitr4i 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } x  =  C  <->  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
3610, 35sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
37 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
)
3825nfcri 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }
39 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y [_ b  /  y ]_ C
4039nfeq2 2601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  =  [_ b  /  y ]_ C
4138, 40nfan 1984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( b  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
)
42 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }
) )
43 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  C  =  [_ b  /  y ]_ C )
4443eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
x  =  C  <->  x  =  [_ b  /  y ]_ C ) )
4542, 44anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C
)  <->  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
) ) )
4637, 41, 45cbvopab1 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  C ) }  =  { <. b ,  x >.  |  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C
) }
47 df-mpt 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  [_ b  /  y ]_ C
)  =  { <. b ,  x >.  |  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  /\  x  =  [_ b  /  y ]_ C ) }
4846, 13, 473eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C )  =  ( b  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  [_ b  /  y ]_ C )
49 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
5039nfel1 2600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y
[_ b  /  y ]_ C  e.  A
5143eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( C  e.  A  <->  [_ b  / 
y ]_ C  e.  A
) )
5226, 49, 50, 51elrabf 3227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  <->  ( b  e.  B  /\  [_ b  /  y ]_ C  e.  A ) )
5352simprbi 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ->  [_ b  /  y ]_ C  e.  A )
5448, 53fmpti 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A
5536, 54jctil 539 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
56 dffo4 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A  <->  ( (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A } b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
5755, 56sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )
5857adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )
59 relen 7579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ~~
6059brrelex2i 4892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
61 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  B  |  C  e.  A }  C_  B
62 ssdomg 7619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  C_  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B ) )
6360, 61, 62mpisyl 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B )
64 ensym 7622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
65 domentr 7632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  B  /\  B  ~~  A )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
6663, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~~  B  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
6766ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A )
68 enfi 7791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
6968biimpac 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  B  e.  Fin )
70 rabfi 7799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin )
72 fodomfi 7853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  e.  Fin  /\  (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A )  ->  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )
7371, 57, 72syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )
74 sbth 7695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~<_  A  /\  A  ~<_  { y  e.  B  |  C  e.  A } )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A
)
7567, 73, 74syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A
)
76 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A  e.  Fin )
77 fofinf1o 7855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : {
y  e.  B  |  C  e.  A } -onto-> A  /\  { y  e.  B  |  C  e.  A }  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A }
-1-1-onto-> A )
7858, 75, 76, 77syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A }
-1-1-onto-> A )
79 f1of1 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-onto-> A  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A )
8078, 79syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A )
81 dff12 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  <->  ( (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } --> A  /\  A. a E* b  b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a ) )
8281simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  ->  A. a E* b  b ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a )
8322mobidv 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E* b  b (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
8429, 30, 31cbvmo 2302 . . . . . . . . 9  |-  ( E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  <->  E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8583, 84syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  ( E* b  b (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
8685cbvalv 2077 . . . . . . 7  |-  ( A. a E* b  b ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) a  <->  A. x E* y 
y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8782, 86sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) : { y  e.  B  |  C  e.  A } -1-1-> A  ->  A. x E* y  y ( y  e.  {
y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
88 mormo 3043 . . . . . . 7  |-  ( E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
8988alimi 1680 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  y ( y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  A. x E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
90 alral 2790 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9218rmobidva 3017 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( E* y  e.  B  x  =  C  <->  E* y  e.  B  y (
y  e.  { y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x ) )
9392ralbiia 2855 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  y ( y  e. 
{ y  e.  B  |  C  e.  A }  |->  C ) x )
9491, 93sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C )
9594ex 435 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C )
)
9695pm4.71d 638 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) ) )
97 reu5 3044 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  x  =  C  <->  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C ) )
9897ralbii 2856 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C )
)
99 r19.26 2955 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  /\  E* y  e.  B  x  =  C )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) )
10098, 99bitri 252 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B  x  =  C ) )
10196, 100syl6bbr 266 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   E*wmo 2266   A.wral 2775   E.wrex 2776   E!wreu 2777   E*wrmo 2778   {crab 2779   _Vcvv 3081   [_csb 3395    C_ wss 3436   <.cop 4002   class class class wbr 4420   {copab 4478    |-> cmpt 4479   -->wf 5594   -1-1->wf1 5595   -onto->wfo 5596   -1-1-onto->wf1o 5597    ~~ cen 7571    ~<_ cdom 7572   Fincfn 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-om 6704  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578
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