Theorem phplem4 5605

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. Equinumerosity of successors implies equinumerosity of the original natural numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem4	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A ~~ suc B -> A ~~ B))

Proof of Theorem phplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 5473	. . . . . 6 |- ((A ~~ (suc B \ {(f` A)}) /\ (suc B \ {(f` A)}) ~~ B) -> A ~~ B)
2		f1of1 4634	. . . . . . . . . 10 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> f:suc A-1-1->suc B)
3		sssucid 3742	. . . . . . . . . 10 |- A C_ suc A
4	2, 3	jctir 317	. . . . . . . . 9 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (f:suc A-1-1->suc B /\ A C_ suc A))
5		f1ores 4654	. . . . . . . . 9 |- ((f:suc A-1-1->suc B /\ A C_ suc A) -> (f |` A):A-1-1-onto->(f"A))
6		phplem2.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
7	6	f1oen 5457	. . . . . . . . 9 |- ((f |` A):A-1-1-onto->(f"A) -> A ~~ (f"A))
8	4, 5, 7	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> A ~~ (f"A))
9	8	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) -> A ~~ (f"A))
10		nnord 3959	. . . . . . . . 9 |- (A e. om -> Ord A)
11		orddif 3764	. . . . . . . . 9 |- (Ord A -> A = (suc A \ {A}))
12		imaeq2 4260	. . . . . . . . 9 |- (A = (suc A \ {A}) -> (f"A) = (f"(suc A \ {A})))
13	10, 11, 12	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> (f"A) = (f"(suc A \ {A})))
14		f1ofn 4636	. . . . . . . . . 10 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> f Fn suc A)
15	6	sucid 3744	. . . . . . . . . . 11 |- A e. suc A
16		fnsnfv 4728	. . . . . . . . . . 11 |- ((f Fn suc A /\ A e. suc A) -> {(f` A)} = (f"{A}))
17	15, 16	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- (f Fn suc A -> {(f` A)} = (f"{A}))
18		difeq2 2719	. . . . . . . . . 10 |- ({(f` A)} = (f"{A}) -> ((f"suc A) \ {(f` A)}) = ((f"suc A) \ (f"{A})))
19	14, 17, 18	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> ((f"suc A) \ {(f` A)}) = ((f"suc A) \ (f"{A})))
20		imadmrn 4277	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f"dom f) = ran f
21	20	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . 12 |- ran f = (f"dom f)
22	21	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> ran f = (f"dom f))
23		f1ofo 4643	. . . . . . . . . . . 12 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> f:suc A-onto->suc B)
24		forn 4620	. . . . . . . . . . . 12 |- (f:suc A-onto->suc B -> ran f = suc B)
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> ran f = suc B)
26		fndm 4512	. . . . . . . . . . . 12 |- (f Fn suc A -> dom f = suc A)
27		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . 12 |- (dom f = suc A -> (f"dom f) = (f"suc A))
28	14, 26, 27	3syl 24	. . . . . . . . . . 11 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (f"dom f) = (f"suc A))
29	22, 25, 28	3eqtr3d 1934	. . . . . . . . . 10 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> suc B = (f"suc A))
30	29	difeq1d 2725	. . . . . . . . 9 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (suc B \ {(f` A)}) = ((f"suc A) \ {(f` A)}))
31		dff1o3 4641	. . . . . . . . . . 11 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B <-> (f:suc A-onto->suc B /\ Fun `'f))
32	31	simprbi 353	. . . . . . . . . 10 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> Fun `'f)
33		imadif 4493	. . . . . . . . . 10 |- (Fun `'f -> (f"(suc A \ {A})) = ((f"suc A) \ (f"{A})))
34	32, 33	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (f"(suc A \ {A})) = ((f"suc A) \ (f"{A})))
35	19, 30, 34	3eqtr4rd 1939	. . . . . . . 8 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (f"(suc A \ {A})) = (suc B \ {(f` A)}))
36	13, 35	sylan9eq 1948	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) -> (f"A) = (suc B \ {(f` A)}))
37	9, 36	breqtrd 3361	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) -> A ~~ (suc B \ {(f` A)}))
38		phplem2.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
39		fvex 4689	. . . . . . . . 9 |- (f` A) e. _V
40	38, 39	phplem3 5604	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ (f` A) e. suc B) -> B ~~ (suc B \ {(f` A)}))
41		fnfvelrn 4786	. . . . . . . . . 10 |- ((f Fn suc A /\ A e. suc A) -> (f` A) e. ran f)
42	41, 14, 15	sylancl 525	. . . . . . . . 9 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (f` A) e. ran f)
43	24	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (f:suc A-onto->suc B -> ((f` A) e. ran f <-> (f` A) e. suc B))
44	23, 43	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> ((f` A) e. ran f <-> (f` A) e. suc B))
45	42, 44	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- (f:suc A-1-1-onto->suc B -> (f` A) e. suc B)
46	40, 45	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((B e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) -> B ~~ (suc B \ {(f` A)}))
47	38	sucex 3892	. . . . . . . . 9 |- suc B e. _V
48		difss 2735	. . . . . . . . 9 |- (suc B \ {(f` A)}) C_ suc B
49	47, 48	ssexi 3456	. . . . . . . 8 |- (suc B \ {(f` A)}) e. _V
50	49	ensym 5471	. . . . . . 7 |- (B ~~ (suc B \ {(f` A)}) -> (suc B \ {(f` A)}) ~~ B)
51	46, 50	syl 12	. . . . . 6 |- ((B e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) -> (suc B \ {(f` A)}) ~~ B)
52	1, 37, 51	syl2an 503	. . . . 5 |- (((A e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) /\ (B e. om /\ f:suc A-1-1-onto->suc B)) -> A ~~ B)
53	52	anandirs 571	. . . 4 |- (((A e. om /\ B e. om) /\ f:suc A-1-1-onto->suc B) -> A ~~ B)
54	53	ex 402	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (f:suc A-1-1-onto->suc B -> A ~~ B))
55	54	19.23adv 1584	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (E.f f:suc A-1-1-onto->suc B -> A ~~ B))
56	47	bren 5436	. 2 |- (suc A ~~ suc B <-> E.f f:suc A-1-1-onto->suc B)
57	55, 56	syl5ib 223	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A ~~ suc B -> A ~~ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   C_ wss 2593  {csn 3044   class class class wbr 3338  Ord word 3656  suc csuc 3659  omcom 3949  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -1-1->wf1 3995  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  nneneq 5606

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427

Copyright terms: Public domain