Theorem phpar2 9823

Description: The parallelogram law for an inner product space.

Hypotheses

Ref	Expression
isph.1	|- X = (BaseSet` U)
isph.2	|- G = (+v` U)
isph.3	|- M = (-v` U)
isph.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
phpar2	|- ((U e. CPreHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (((N` (AGB))^2) + ((N` (AMB))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` B)^2))))

Proof of Theorem phpar2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isph.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
2		isph.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
3		isph.3	. . . . 5 |- M = (-v` U)
4		isph.6	. . . . 5 |- N = (norm` U)
5	1, 2, 3, 4	isph 9822	. . . 4 |- (U e. CPreHil <-> (U e. NrmCVec /\ A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2)))))
6		simpr 350	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2)))) -> A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))))
7	5, 6	sylbi 216	. . 3 |- (U e. CPreHil -> A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))))
8	7	3ad2ant1 897	. 2 |- ((U e. CPreHil /\ A e. X /\ B e. X) -> A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))))
9		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (xGy) = (AGy))
10	9	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (x = A -> (N` (xGy)) = (N` (AGy)))
11	10	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (x = A -> ((N` (xGy))^2) = ((N` (AGy))^2))
12		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (xMy) = (AMy))
13	12	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (x = A -> (N` (xMy)) = (N` (AMy)))
14	13	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (x = A -> ((N` (xMy))^2) = ((N` (AMy))^2))
15	11, 14	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (x = A -> (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (((N` (AGy))^2) + ((N` (AMy))^2)))
16		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (N` x) = (N` A))
17	16	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((N` x)^2) = ((N` A)^2))
18	17	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (x = A -> (((N` x)^2) + ((N` y)^2)) = (((N` A)^2) + ((N` y)^2)))
19	18	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (x = A -> (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` y)^2))))
20	15, 19	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = A -> ((((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))) <-> (((N` (AGy))^2) + ((N` (AMy))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` y)^2)))))
21		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (AGy) = (AGB))
22	21	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (y = B -> (N` (AGy)) = (N` (AGB)))
23	22	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (y = B -> ((N` (AGy))^2) = ((N` (AGB))^2))
24		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (AMy) = (AMB))
25	24	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (y = B -> (N` (AMy)) = (N` (AMB)))
26	25	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (y = B -> ((N` (AMy))^2) = ((N` (AMB))^2))
27	23, 26	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (y = B -> (((N` (AGy))^2) + ((N` (AMy))^2)) = (((N` (AGB))^2) + ((N` (AMB))^2)))
28		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (N` y) = (N` B))
29	28	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((N` y)^2) = ((N` B)^2))
30	29	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- (y = B -> (((N` A)^2) + ((N` y)^2)) = (((N` A)^2) + ((N` B)^2)))
31	30	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (y = B -> (2 x. (((N` A)^2) + ((N` y)^2))) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` B)^2))))
32	27, 31	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (y = B -> ((((N` (AGy))^2) + ((N` (AMy))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` y)^2))) <-> (((N` (AGB))^2) + ((N` (AMB))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` B)^2)))))
33	20, 32	rcla42v 2384	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))) -> (((N` (AGB))^2) + ((N` (AMB))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` B)^2)))))
34	33	3adant1 894	. 2 |- ((U e. CPreHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X A.y e. X (((N` (xGy))^2) + ((N` (xMy))^2)) = (2 x. (((N` x)^2) + ((N` y)^2))) -> (((N` (AGB))^2) + ((N` (AMB))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` B)^2)))))
35	8, 34	mpd 29	1 |- ((U e. CPreHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (((N` (AGB))^2) + ((N` (AMB))^2)) = (2 x. (((N` A)^2) + ((N` B)^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   + caddc 6389   x. cmul 6391  2c2 7145  ^cexp 7811  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  -vcnsb 9540  normcnm 9541  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  sspph 9856  minveclem18 9907  minveclem36 9925  hlpar2 9945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain