MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php4 Structured version   Unicode version

Theorem php4 7701
Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 7698: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php4  |-  ( A  e.  om  ->  A  ~<  suc  A )

Proof of Theorem php4
StepHypRef Expression
1 sucidg 4956 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  suc  A )
2 nnord 6686 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ordsuc 6627 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
43biimpi 194 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  Ord  suc  A
)
54ancli 551 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( Ord  A  /\  Ord  suc  A
) )
6 ordelpss 4906 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  suc 
A )  ->  ( A  e.  suc  A  <->  A  C.  suc  A
) )
72, 5, 63syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  suc  A  <->  A  C.  suc  A
) )
81, 7mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A  C. 
suc  A )
9 peano2b 6694 . . 3  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
10 php2 7699 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  C.  suc  A )  ->  A  ~<  suc  A
)
119, 10sylanb 472 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  C.  suc  A )  ->  A  ~<  suc  A
)
128, 11mpdan 668 1  |-  ( A  e.  om  ->  A  ~<  suc  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767    C. wpss 3477   class class class wbr 4447   Ord word 4877   suc csuc 4880   omcom 6678    ~< csdm 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516
This theorem is referenced by:  php5  7702  sucdom  7712  sucdomiOLD  7713  1sdom2  7715
  Copyright terms: Public domain W3C validator