Theorem php3 7700

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If A is finite and B is a proper subset of A, the B is strictly less numerous than A. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
php3	|- ( ( A e. Fin /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php3

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7536	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		relen 7518	. . . . . . . . 9 |- Rel ~~
3	2	brrelexi 5039	. . . . . . . 8 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
4		pssss 3599	. . . . . . . 8 |- ( B C. A -> B C_ A )
5		ssdomg 7558	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( B C_ A -> B ~<_ A ) )
6	5	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ B C_ A ) -> B ~<_ A )
7	3, 4, 6	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ x /\ B C. A ) -> B ~<_ A )
8	7	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> B ~<_ A )
9		bren 7522	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ x <-> E. f f : A -1-1-onto-> x )
10		imass2 5370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B C_ A -> ( f " B ) C_ ( f " A ) )
11	4, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B C. A -> ( f " B ) C_ ( f " A ) )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f " B ) C_ ( f " A ) )
13		pssnel 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B C. A -> E. y ( y e. A /\ -. y e. B ) )
14		eldif 3486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( A \ B ) <-> ( y e. A /\ -. y e. B ) )
15		f1ofn 5815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> f Fn A )
16		difss 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A \ B ) C_ A
17		fnfvima 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( f Fn A /\ ( A \ B ) C_ A /\ y e. ( A \ B ) ) -> ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) )
18	17	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f Fn A /\ ( A \ B ) C_ A ) -> ( y e. ( A \ B ) -> ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) ) )
19	15, 16, 18	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( y e. ( A \ B ) -> ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) ) )
20		dff1o3 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f : A -1-1-onto-> x <-> ( f : A -onto-> x /\ Fun `' f ) )
21	20	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> Fun `' f )
22		imadif 5661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Fun `' f -> ( f " ( A \ B ) ) = ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( f " ( A \ B ) ) = ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) )
24	23	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) <-> ( f ` y ) e. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) ) )
25	19, 24	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( y e. ( A \ B ) -> ( f ` y ) e. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) ) )
26		n0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f ` y ) e. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
27	25, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( y e. ( A \ B ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) ) )
28	14, 27	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( ( y e. A /\ -. y e. B ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) ) )
29	28	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( E. y ( y e. A /\ -. y e. B ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) ) )
30	29	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ E. y ( y e. A /\ -. y e. B ) ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
31	13, 30	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
32		ssdif0 3885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f " A ) C_ ( f " B ) <-> ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
33	31, 32	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> -. ( f " A ) C_ ( f " B ) )
34		dfpss3 3590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f " B ) C. ( f " A ) <-> ( ( f " B ) C_ ( f " A ) /\ -. ( f " A ) C_ ( f " B ) ) )
35	12, 33, 34	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f " B ) C. ( f " A ) )
36		imadmrn 5345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f " dom f ) = ran f
37		f1odm 5818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> dom f = A )
38	37	imaeq2d 5335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( f " dom f ) = ( f " A ) )
39		f1ofo 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> f : A -onto-> x )
40		forn 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -onto-> x -> ran f = x )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ran f = x )
42	36, 38, 41	3eqtr3a 2532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( f " A ) = x )
43	42	psseq2d 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( ( f " B ) C. ( f " A ) <-> ( f " B ) C. x ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( ( f " B ) C. ( f " A ) <-> ( f " B ) C. x ) )
45	35, 44	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f " B ) C. x )
46		php 7698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ ( f " B ) C. x ) -> -. x ~~ ( f " B ) )
47	45, 46	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) ) -> -. x ~~ ( f " B ) )
48		f1of1 5813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> f : A -1-1-> x )
49		f1ores 5828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-> x /\ B C_ A ) -> ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
50	48, 4, 49	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
51		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
52	51	resex 5315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f |` B ) e. _V
53		f1oeq1 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( f |` B ) -> ( y : B -1-1-onto-> ( f " B ) <-> ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) ) )
54	52, 53	spcev 3205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) -> E. y y : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
55		bren 7522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B ~~ ( f " B ) <-> E. y y : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
56	54, 55	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) -> B ~~ ( f " B ) )
57	50, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> B ~~ ( f " B ) )
58		entr 7564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x ~~ B /\ B ~~ ( f " B ) ) -> x ~~ ( f " B ) )
59	58	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B ~~ ( f " B ) -> ( x ~~ B -> x ~~ ( f " B ) ) )
60	57, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( x ~~ B -> x ~~ ( f " B ) ) )
61	60	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) ) -> ( x ~~ B -> x ~~ ( f " B ) ) )
62	47, 61	mtod 177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) ) -> -. x ~~ B )
63	62	exp32 605	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. om -> ( f : A -1-1-onto-> x -> ( B C. A -> -. x ~~ B ) ) )
64	63	exlimdv 1700	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( E. f f : A -1-1-onto-> x -> ( B C. A -> -. x ~~ B ) ) )
65	9, 64	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( A ~~ x -> ( B C. A -> -. x ~~ B ) ) )
66	65	imp31 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> -. x ~~ B )
67		entr 7564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ~~ A /\ A ~~ x ) -> B ~~ x )
68	67	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( B ~~ A -> ( A ~~ x -> B ~~ x ) )
69		ensym 7561	. . . . . . . . 9 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
70	68, 69	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A ~~ x -> ( B ~~ A -> x ~~ B ) )
71	70	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> ( B ~~ A -> x ~~ B ) )
72	66, 71	mtod 177	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> -. B ~~ A )
73		brsdom 7535	. . . . . 6 |- ( B ~< A <-> ( B ~<_ A /\ -. B ~~ A ) )
74	8, 72, 73	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> B ~< A )
75	74	exp31 604	. . . 4 |- ( x e. om -> ( A ~~ x -> ( B C. A -> B ~< A ) ) )
76	75	rexlimiv 2949	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> ( B C. A -> B ~< A ) )
77	1, 76	sylbi 195	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B C. A -> B ~< A ) )
78	77	imp 429	1 |- ( ( A e. Fin /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   C. wpss 3477   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5580   Fn wfn 5581   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   omcom 6678   ~~ cen 7510   ~<_ cdom 7511   ~< csdm 7512   Fincfn 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517

This theorem is referenced by:  pssinf  7727  f1finf1o  7743  findcard3  7759  fofinf1o  7797  ackbij1b  8615  fincssdom  8699  fin23lem25  8700  canthp1lem2  9027  pwfseqlem4  9036  uzindi  12055  symggen  16291  pgpssslw  16430  pgpfaclem2  16923  ppiltx  23179  finminlem  29713