Theorem php3 7252

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If A is finite and B is a proper subset of A, the B is strictly less numerous than A. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
php3	|- ( ( A e. Fin /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php3

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7090	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		relen 7073	. . . . . . . . 9 |- Rel ~~
3	2	brrelexi 4877	. . . . . . . 8 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
4		pssss 3402	. . . . . . . 8 |- ( B C. A -> B C_ A )
5		ssdomg 7112	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( B C_ A -> B ~<_ A ) )
6	5	imp 419	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ B C_ A ) -> B ~<_ A )
7	3, 4, 6	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ x /\ B C. A ) -> B ~<_ A )
8	7	adantll 695	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> B ~<_ A )
9		bren 7076	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ x <-> E. f f : A -1-1-onto-> x )
10		imass2 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B C_ A -> ( f " B ) C_ ( f " A ) )
11	4, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B C. A -> ( f " B ) C_ ( f " A ) )
12	11	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f " B ) C_ ( f " A ) )
13		pssnel 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B C. A -> E. y ( y e. A /\ -. y e. B ) )
14		eldif 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( A \ B ) <-> ( y e. A /\ -. y e. B ) )
15		f1ofn 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> f Fn A )
16		difss 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A \ B ) C_ A
17		fnfvima 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( f Fn A /\ ( A \ B ) C_ A /\ y e. ( A \ B ) ) -> ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) )
18	17	3expia 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f Fn A /\ ( A \ B ) C_ A ) -> ( y e. ( A \ B ) -> ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) ) )
19	15, 16, 18	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( y e. ( A \ B ) -> ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) ) )
20		dff1o3 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f : A -1-1-onto-> x <-> ( f : A -onto-> x /\ Fun `' f ) )
21	20	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> Fun `' f )
22		imadif 5487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Fun `' f -> ( f " ( A \ B ) ) = ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( f " ( A \ B ) ) = ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) )
24	23	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( ( f ` y ) e. ( f " ( A \ B ) ) <-> ( f ` y ) e. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) ) )
25	19, 24	sylibd 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( y e. ( A \ B ) -> ( f ` y ) e. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) ) )
26		n0i 3593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f ` y ) e. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
27	25, 26	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( y e. ( A \ B ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) ) )
28	14, 27	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( ( y e. A /\ -. y e. B ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) ) )
29	28	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( E. y ( y e. A /\ -. y e. B ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) ) )
30	29	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ E. y ( y e. A /\ -. y e. B ) ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
31	13, 30	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> -. ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
32		ssdif0 3646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f " A ) C_ ( f " B ) <-> ( ( f " A ) \ ( f " B ) ) = (/) )
33	31, 32	sylnibr 297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> -. ( f " A ) C_ ( f " B ) )
34		dfpss3 3393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f " B ) C. ( f " A ) <-> ( ( f " B ) C_ ( f " A ) /\ -. ( f " A ) C_ ( f " B ) ) )
35	12, 33, 34	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f " B ) C. ( f " A ) )
36		imadmrn 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f " dom f ) = ran f
37		f1odm 5637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> dom f = A )
38	37	imaeq2d 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( f " dom f ) = ( f " A ) )
39		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> f : A -onto-> x )
40		forn 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -onto-> x -> ran f = x )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ran f = x )
42	36, 38, 41	3eqtr3a 2460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( f " A ) = x )
43	42	psseq2d 3400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> ( ( f " B ) C. ( f " A ) <-> ( f " B ) C. x ) )
44	43	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( ( f " B ) C. ( f " A ) <-> ( f " B ) C. x ) )
45	35, 44	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f " B ) C. x )
46		php 7250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ ( f " B ) C. x ) -> -. x ~~ ( f " B ) )
47	45, 46	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) ) -> -. x ~~ ( f " B ) )
48		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A -1-1-onto-> x -> f : A -1-1-> x )
49		f1ores 5648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-> x /\ B C_ A ) -> ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
50	48, 4, 49	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
51		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
52	51	resex 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f |` B ) e. _V
53		f1oeq1 5624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( f |` B ) -> ( y : B -1-1-onto-> ( f " B ) <-> ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) ) )
54	52, 53	spcev 3003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) -> E. y y : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
55		bren 7076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B ~~ ( f " B ) <-> E. y y : B -1-1-onto-> ( f " B ) )
56	54, 55	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f |` B ) : B -1-1-onto-> ( f " B ) -> B ~~ ( f " B ) )
57	50, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> B ~~ ( f " B ) )
58		entr 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x ~~ B /\ B ~~ ( f " B ) ) -> x ~~ ( f " B ) )
59	58	expcom 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B ~~ ( f " B ) -> ( x ~~ B -> x ~~ ( f " B ) ) )
60	57, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) -> ( x ~~ B -> x ~~ ( f " B ) ) )
61	60	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) ) -> ( x ~~ B -> x ~~ ( f " B ) ) )
62	47, 61	mtod 170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ ( f : A -1-1-onto-> x /\ B C. A ) ) -> -. x ~~ B )
63	62	exp32 589	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. om -> ( f : A -1-1-onto-> x -> ( B C. A -> -. x ~~ B ) ) )
64	63	exlimdv 1643	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( E. f f : A -1-1-onto-> x -> ( B C. A -> -. x ~~ B ) ) )
65	9, 64	syl5bi 209	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( A ~~ x -> ( B C. A -> -. x ~~ B ) ) )
66	65	imp31 422	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> -. x ~~ B )
67		entr 7118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ~~ A /\ A ~~ x ) -> B ~~ x )
68	67	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( B ~~ A -> ( A ~~ x -> B ~~ x ) )
69		ensym 7115	. . . . . . . . 9 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
70	68, 69	syl6com 33	. . . . . . . 8 |- ( A ~~ x -> ( B ~~ A -> x ~~ B ) )
71	70	ad2antlr 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> ( B ~~ A -> x ~~ B ) )
72	66, 71	mtod 170	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> -. B ~~ A )
73		brsdom 7089	. . . . . 6 |- ( B ~< A <-> ( B ~<_ A /\ -. B ~~ A ) )
74	8, 72, 73	sylanbrc 646	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A ~~ x ) /\ B C. A ) -> B ~< A )
75	74	exp31 588	. . . 4 |- ( x e. om -> ( A ~~ x -> ( B C. A -> B ~< A ) ) )
76	75	rexlimiv 2784	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> ( B C. A -> B ~< A ) )
77	1, 76	sylbi 188	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B C. A -> B ~< A ) )
78	77	imp 419	1 |- ( ( A e. Fin /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   C. wpss 3281   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   omcom 4804   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   ~~ cen 7065   ~<_ cdom 7066   ~< csdm 7067   Fincfn 7068

This theorem is referenced by:  pssinf  7278  f1finf1o  7294  findcard3  7309  fofinf1o  7346  ackbij1b  8075  fincssdom  8159  fin23lem25  8160  canthp1lem2  8484  pwfseqlem4  8493  uzindi  11275  pgpssslw  15203  pgpfaclem2  15595  ppiltx  20913  finminlem  26211  symggen  27279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072