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Theorem php3 7700
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If  A is finite and  B is a proper subset of  A, the  B is strictly less numerous than  A. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
php3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7536 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 relen 7518 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~
32brrelexi 5039 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  A  e.  _V )
4 pssss 3599 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
5 ssdomg 7558 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
65imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
73, 4, 6syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<_  A )
87adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<_  A )
9 bren 7522 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  x  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> x )
10 imass2 5370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
C.  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C_  ( f " A ) )
13 pssnel 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C.  A  ->  E. y
( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )
14 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
15 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f  Fn  A )
16 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  B )  C_  A
17 fnfvima 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A  /\  y  e.  ( A  \  B
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) )
18173expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( y  e.  ( A  \  B )  ->  ( f `  y )  e.  ( f " ( A 
\  B ) ) ) )
1915, 16, 18sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) ) )
20 dff1o3 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  <->  ( f : A -onto-> x  /\  Fun  `' f ) )
2120simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  Fun  `' f )
22 imadif 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2423eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f `  y )  e.  ( f "
( A  \  B
) )  <->  ( f `  y )  e.  ( ( f " A
)  \  ( f " B ) ) ) )
2519, 24sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) ) )
26 n0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ( f
" A )  \ 
( f " B
) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
2725, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
2814, 27syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
)  ->  -.  (
( f " A
)  \  ( f " B ) )  =  (/) ) )
2928exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
3113, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
32 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " A ) 
C_  ( f " B )  <->  ( (
f " A ) 
\  ( f " B ) )  =  (/) )
3331, 32sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) )
34 dfpss3 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( (
f " B ) 
C_  ( f " A )  /\  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) ) )
3512, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  ( f " A ) )
36 imadmrn 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
37 f1odm 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  A )
3837imaeq2d 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" dom  f )  =  ( f " A ) )
39 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -onto-> x )
40 forn 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ran  f  =  x )
4236, 38, 413eqtr3a 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" A )  =  x )
4342psseq2d 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( f " B )  C.  x
) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( ( f " B )  C.  (
f " A )  <-> 
( f " B
)  C.  x )
)
4535, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  x )
46 php 7698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f " B
)  C.  x )  ->  -.  x  ~~  (
f " B ) )
4745, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  ( f " B
) )
48 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -1-1-> x )
49 f1ores 5828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-> x  /\  B  C_  A )  ->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) )
5048, 4, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
) )
51 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
5251resex 5315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  |`  B )  e.  _V
53 f1oeq1 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f  |`  B )  ->  (
y : B -1-1-onto-> ( f
" B )  <->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) ) )
5452, 53spcev 3205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
55 bren 7522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
~~  ( f " B )  <->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  B  ~~  ( f " B
) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~~  ( f " B ) )
58 entr 7564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  ~~  B  /\  B  ~~  ( f " B ) )  ->  x  ~~  ( f " B ) )
5958expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
~~  ( f " B )  ->  (
x  ~~  B  ->  x 
~~  ( f " B ) ) )
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f
" B ) ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  ( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f " B
) ) )
6247, 61mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  B )
6362exp32 605 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
f : A -1-1-onto-> x  -> 
( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B
) ) )
6463exlimdv 1700 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
659, 64syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
6665imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  x  ~~  B )
67 entr 7564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ~~  A  /\  A  ~~  x )  ->  B  ~~  x )
6867ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  A  ->  ( A  ~~  x  ->  B  ~~  x ) )
69 ensym 7561 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
7068, 69syl6com 35 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7170ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7266, 71mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  B  ~~  A )
73 brsdom 7535 . . . . . 6  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
748, 72, 73sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<  A )
7574exp31 604 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) ) )
7675rexlimiv 2949 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  ( B 
C.  A  ->  B  ~<  A ) )
771, 76sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
7877imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   omcom 6678    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  pssinf  7727  f1finf1o  7743  findcard3  7759  fofinf1o  7797  ackbij1b  8615  fincssdom  8699  fin23lem25  8700  canthp1lem2  9027  pwfseqlem4  9036  uzindi  12055  symggen  16291  pgpssslw  16430  pgpfaclem2  16923  ppiltx  23179  finminlem  29713
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