Theorem php2 4579

Description: Corollary of Pigeonhole Principle.

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1581	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. om <-> A e. om))
2		psseq2 2187	. . . . 5 |- (x = A -> (B (. x <-> B (. A))
3	1, 2	anbi12d 639	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. om /\ B (. x) <-> (A e. om /\ B (. A)))
4		breq2 2678	. . . 4 |- (x = A -> (B ~< x <-> B ~< A))
5	3, 4	imbi12d 637	. . 3 |- (x = A -> (((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x) <-> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)))
6		pssss 2194	. . . . . . 7 |- (B (. x -> B (_ x)
7		visset 1860	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		ssdom2g 4470	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (B (_ x -> B ~<_ x))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B (_ x -> B ~<_ x)
10	6, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (B (. x -> B ~<_ x)
11	10	adantl 397	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~<_ x)
12		php 4578	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. x ~~ B)
13	7	ensym 4473	. . . . . 6 |- (B ~~ x -> x ~~ B)
14	12, 13	nsyl 122	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. B ~~ x)
15	11, 14	jca 295	. . . 4 |- ((x e. om /\ B (. x) -> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
16		brsdom 4442	. . . 4 |- (B ~< x <-> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
17	15, 16	sylibr 207	. . 3 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x)
18	5, 17	vtoclg 1894	. 2 |- (A e. om -> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A))
19	18	anabsi5 506	1 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858   (_ wss 2098   (. wpss 2099   class class class wbr 2674  omcom 3188   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426   ~< csdm 4427

This theorem is referenced by:  php4 4581  nndomo 4585

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431

Copyright terms: Public domain