MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem php2 7762
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2519 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  om  <->  A  e.  om ) )
2 psseq2 3523 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  C.  x  <->  B  C.  A
) )
31, 2anbi12d 718 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  om  /\  B  C.  x )  <->  ( A  e.  om  /\  B  C.  A ) ) )
4 breq2 4409 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ~<  x  <->  B  ~<  A ) )
53, 4imbi12d 322 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
om  /\  B  C.  x
)  ->  B  ~<  x )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A ) ) )
6 vex 3050 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
7 pssss 3530 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  x  ->  B  C_  x )
8 ssdomg 7620 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( B  C_  x  ->  B  ~<_  x ) )
96, 7, 8mpsyl 65 . . . . 5  |-  ( B 
C.  x  ->  B  ~<_  x )
109adantl 468 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  B  ~<_  x )
11 php 7761 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  -.  x  ~~  B )
12 ensym 7623 . . . . 5  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
1311, 12nsyl 125 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  -.  B  ~~  x )
14 brsdom 7597 . . . 4  |-  ( B 
~<  x  <->  ( B  ~<_  x  /\  -.  B  ~~  x ) )
1510, 13, 14sylanbrc 671 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  B  ~<  x )
165, 15vtoclg 3109 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
)
1716anabsi5 827 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    C_ wss 3406    C. wpss 3407   class class class wbr 4405   omcom 6697    ~~ cen 7571    ~<_ cdom 7572    ~< csdm 7573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577
This theorem is referenced by:  php4  7764  nndomo  7771
  Copyright terms: Public domain W3C validator