Theorem php2 7496

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2503	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. om <-> A e. om ) )
2		psseq2 3444	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C. x <-> B C. A ) )
3	1, 2	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. om /\ B C. x ) <-> ( A e. om /\ B C. A ) ) )
4		breq2 4296	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~< x <-> B ~< A ) )
5	3, 4	imbi12d 320	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x ) <-> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) ) )
6		vex 2975	. . . . . 6 |- x e. _V
7		pssss 3451	. . . . . 6 |- ( B C. x -> B C_ x )
8		ssdomg 7355	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( B C_ x -> B ~<_ x ) )
9	6, 7, 8	mpsyl 63	. . . . 5 |- ( B C. x -> B ~<_ x )
10	9	adantl 466	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~<_ x )
11		php 7495	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. x ~~ B )
12		ensym 7358	. . . . 5 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
13	11, 12	nsyl 121	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. B ~~ x )
14		brsdom 7332	. . . 4 |- ( B ~< x <-> ( B ~<_ x /\ -. B ~~ x ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x )
16	5, 15	vtoclg 3030	. 2 |- ( A e. om -> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) )
17	16	anabsi5 813	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   C. wpss 3329   class class class wbr 4292   omcom 6476   ~~ cen 7307   ~<_ cdom 7308   ~< csdm 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313

This theorem is referenced by:  php4  7498  nndomo  7504