MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Unicode version

Theorem php2 7699
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  om  <->  A  e.  om ) )
2 psseq2 3592 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  C.  x  <->  B  C.  A
) )
31, 2anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  om  /\  B  C.  x )  <->  ( A  e.  om  /\  B  C.  A ) ) )
4 breq2 4451 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ~<  x  <->  B  ~<  A ) )
53, 4imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
om  /\  B  C.  x
)  ->  B  ~<  x )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A ) ) )
6 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
7 pssss 3599 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  x  ->  B  C_  x )
8 ssdomg 7558 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( B  C_  x  ->  B  ~<_  x ) )
96, 7, 8mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( B 
C.  x  ->  B  ~<_  x )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  B  ~<_  x )
11 php 7698 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  -.  x  ~~  B )
12 ensym 7561 . . . . 5  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
1311, 12nsyl 121 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  -.  B  ~~  x )
14 brsdom 7535 . . . 4  |-  ( B 
~<  x  <->  ( B  ~<_  x  /\  -.  B  ~~  x ) )
1510, 13, 14sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  B  ~<  x )
165, 15vtoclg 3171 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
)
1716anabsi5 815 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476    C. wpss 3477   class class class wbr 4447   omcom 6678    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516
This theorem is referenced by:  php4  7701  nndomo  7708
  Copyright terms: Public domain W3C validator