Theorem php2 7762

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2519	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. om <-> A e. om ) )
2		psseq2 3523	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C. x <-> B C. A ) )
3	1, 2	anbi12d 718	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. om /\ B C. x ) <-> ( A e. om /\ B C. A ) ) )
4		breq2 4409	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~< x <-> B ~< A ) )
5	3, 4	imbi12d 322	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x ) <-> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) ) )
6		vex 3050	. . . . . 6 |- x e. _V
7		pssss 3530	. . . . . 6 |- ( B C. x -> B C_ x )
8		ssdomg 7620	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( B C_ x -> B ~<_ x ) )
9	6, 7, 8	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( B C. x -> B ~<_ x )
10	9	adantl 468	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~<_ x )
11		php 7761	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. x ~~ B )
12		ensym 7623	. . . . 5 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
13	11, 12	nsyl 125	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. B ~~ x )
14		brsdom 7597	. . . 4 |- ( B ~< x <-> ( B ~<_ x /\ -. B ~~ x ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 671	. . 3 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x )
16	5, 15	vtoclg 3109	. 2 |- ( A e. om -> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) )
17	16	anabsi5 827	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   C. wpss 3407   class class class wbr 4405   omcom 6697   ~~ cen 7571   ~<_ cdom 7572   ~< csdm 7573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577

This theorem is referenced by:  php4  7764  nndomo  7771