MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Unicode version

Theorem php2 7721
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  om  <->  A  e.  om ) )
2 psseq2 3588 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  C.  x  <->  B  C.  A
) )
31, 2anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  om  /\  B  C.  x )  <->  ( A  e.  om  /\  B  C.  A ) ) )
4 breq2 4460 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ~<  x  <->  B  ~<  A ) )
53, 4imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
om  /\  B  C.  x
)  ->  B  ~<  x )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A ) ) )
6 vex 3112 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
7 pssss 3595 . . . . . 6  |-  ( B 
C.  x  ->  B  C_  x )
8 ssdomg 7580 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( B  C_  x  ->  B  ~<_  x ) )
96, 7, 8mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( B 
C.  x  ->  B  ~<_  x )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  B  ~<_  x )
11 php 7720 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  -.  x  ~~  B )
12 ensym 7583 . . . . 5  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
1311, 12nsyl 121 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  -.  B  ~~  x )
14 brsdom 7557 . . . 4  |-  ( B 
~<  x  <->  ( B  ~<_  x  /\  -.  B  ~~  x ) )
1510, 13, 14sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  B  C.  x )  ->  B  ~<  x )
165, 15vtoclg 3167 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
)
1716anabsi5 817 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471    C. wpss 3472   class class class wbr 4456   omcom 6699    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538
This theorem is referenced by:  php4  7723  nndomo  7730
  Copyright terms: Public domain W3C validator