Theorem php2 7721

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2529	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. om <-> A e. om ) )
2		psseq2 3588	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C. x <-> B C. A ) )
3	1, 2	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. om /\ B C. x ) <-> ( A e. om /\ B C. A ) ) )
4		breq2 4460	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~< x <-> B ~< A ) )
5	3, 4	imbi12d 320	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x ) <-> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) ) )
6		vex 3112	. . . . . 6 |- x e. _V
7		pssss 3595	. . . . . 6 |- ( B C. x -> B C_ x )
8		ssdomg 7580	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( B C_ x -> B ~<_ x ) )
9	6, 7, 8	mpsyl 63	. . . . 5 |- ( B C. x -> B ~<_ x )
10	9	adantl 466	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~<_ x )
11		php 7720	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. x ~~ B )
12		ensym 7583	. . . . 5 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
13	11, 12	nsyl 121	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. B ~~ x )
14		brsdom 7557	. . . 4 |- ( B ~< x <-> ( B ~<_ x /\ -. B ~~ x ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x )
16	5, 15	vtoclg 3167	. 2 |- ( A e. om -> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) )
17	16	anabsi5 817	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   C. wpss 3472   class class class wbr 4456   omcom 6699   ~~ cen 7532   ~<_ cdom 7533   ~< csdm 7534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538

This theorem is referenced by:  php4  7723  nndomo  7730