Theorem php2 7699

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Proof of Theorem php2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. om <-> A e. om ) )
2		psseq2 3592	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C. x <-> B C. A ) )
3	1, 2	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. om /\ B C. x ) <-> ( A e. om /\ B C. A ) ) )
4		breq2 4451	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~< x <-> B ~< A ) )
5	3, 4	imbi12d 320	. . 3 |- ( x = A -> ( ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x ) <-> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) ) )
6		vex 3116	. . . . . 6 |- x e. _V
7		pssss 3599	. . . . . 6 |- ( B C. x -> B C_ x )
8		ssdomg 7558	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( B C_ x -> B ~<_ x ) )
9	6, 7, 8	mpsyl 63	. . . . 5 |- ( B C. x -> B ~<_ x )
10	9	adantl 466	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~<_ x )
11		php 7698	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. x ~~ B )
12		ensym 7561	. . . . 5 |- ( B ~~ x -> x ~~ B )
13	11, 12	nsyl 121	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> -. B ~~ x )
14		brsdom 7535	. . . 4 |- ( B ~< x <-> ( B ~<_ x /\ -. B ~~ x ) )
15	10, 13, 14	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( x e. om /\ B C. x ) -> B ~< x )
16	5, 15	vtoclg 3171	. 2 |- ( A e. om -> ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A ) )
17	16	anabsi5 815	1 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> B ~< A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   C. wpss 3477   class class class wbr 4447   omcom 6678   ~~ cen 7510   ~<_ cdom 7511   ~< csdm 7512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516

This theorem is referenced by:  php4  7701  nndomo  7708