MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlstr Structured version   Unicode version

Theorem phlstr 14796
Description: A constructed pre-Hilbert space is a structure. Starting from lmodstr 14779 (which has 4 members), we chain strleun 14741 once more, adding an ordered pair to the function, to get all 5 members. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
phlfn.h  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
Assertion
Ref Expression
phlstr  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.

Proof of Theorem phlstr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4035 . . . 4  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. }  =  ( { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
21uneq2i 3651 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  ( {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
3 phlfn.h . . 3  |-  H  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
4 unass 3657 . . 3  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  ( {
<. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. }  u.  {
<. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
52, 3, 43eqtr4i 2496 . 2  |-  H  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
6 eqid 2457 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
76lmodstr 14779 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) Struct  <. 1 ,  6 >.
8 8nn 10720 . . . 4  |-  8  e.  NN
9 ipndx 14784 . . . 4  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
108, 9strle1 14742 . . 3  |-  { <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } Struct  <. 8 ,  8 >.
11 6lt8 10745 . . 3  |-  6  <  8
127, 10, 11strleun 14741 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  T >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )  u. 
{ <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) Struct  <. 1 ,  8
>.
135, 12eqbrtri 4475 1  |-  H Struct  <. 1 ,  8 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    u. cun 3469   {csn 4032   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   1c1 9510   6c6 10610   8c8 10612   Struct cstr 14639   ndxcnx 14640   Basecbs 14643   +g cplusg 14711  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   .icip 14716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729
This theorem is referenced by:  phlbase  14797  phlplusg  14798  phlsca  14799  phlvsca  14800  phlip  14801
  Copyright terms: Public domain W3C validator