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Theorem phlpropd 18497
Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
phlpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
phlpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
phlpropd.4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
phlpropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
phlpropd.6  |-  P  =  ( Base `  F
)
phlpropd.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
phlpropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
phlpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y    ph, x, y

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 phlpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 phlpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 phlpropd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
5 phlpropd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
6 phlpropd.6 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  F
)
7 phlpropd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 17625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
94, 5eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
109eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  *Ring  <->  (Scalar `  L
)  e.  *Ring ) )
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
1211proplem 14948 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( b ( .i
`  K ) a )  =  ( b ( .i `  L
) a ) )
1312anass1rs 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b ( .i `  K ) a )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )
1413mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
151adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
1615mpteq1d 4528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
1817mpteq1d 4528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
1914, 16, 183eqtr3d 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
20 rlmbas 17653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
216, 20eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F )
) )
23 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  K )  e.  _V
244, 23syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
25 rlmsca 17658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F ) ) )
27 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y ) )
28 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y ) )
291, 22, 2, 22, 4, 26, 5, 26, 6, 6, 3, 27, 7, 28lmhmpropd 17531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  F )
) )
304fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )
3130oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) ) )
325fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) )
3332oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) ) )
3429, 31, 333eqtr3d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) ) )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) )
3619, 35eleq12d 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  (
Base `  K )  |->  ( b ( .i
`  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) ) )
3711proplem 14948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( a ( .i `  L
) a ) )
3837anabsan2 820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a ( .i `  K ) a )  =  ( a ( .i `  L ) a ) )
399fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  K
) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4138, 40eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  <->  ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) ) )
421, 2, 3grpidpropd 15768 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
4342adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
4443eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  =  ( 0g
`  K )  <->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
4541, 44imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( a ( .i `  K ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
469fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L
) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L
) ) )
4811proplem 14948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) b )  =  ( a ( .i `  L
) b ) )
4947, 48fveq12d 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) ) )
5049anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( *r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) ) )
5150, 13eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  ( (
*r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5251ralbidva 2900 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  B  ( (
*r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5315raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
5417raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5552, 53, 543bitr3d 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  ( Base `  K ) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i
`  K ) a )  <->  A. b  e.  (
Base `  L )
( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
5636, 45, 553anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
5756ralbidva 2900 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
581raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  K )
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
592raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
6057, 58, 593bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
618, 10, 603anbi123d 1299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LVec  /\  (Scalar `  K
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K ) ( ( b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K )
) )  /\  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  ->  a  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )  <->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L ) ( ( b  e.  ( Base `  L )  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) )  /\  (
( a ( .i
`  L ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  ->  a  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) ) )
62 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
63 eqid 2467 . . 3  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
64 eqid 2467 . . 3  |-  ( .i
`  K )  =  ( .i `  K
)
65 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
66 eqid 2467 . . 3  |-  ( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  K ) )
67 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)
6862, 63, 64, 65, 66, 67isphl 18470 . 2  |-  ( K  e.  PreHil 
<->  ( K  e.  LVec  /\  (Scalar `  K )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
69 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
70 eqid 2467 . . 3  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
71 eqid 2467 . . 3  |-  ( .i
`  L )  =  ( .i `  L
)
72 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
73 eqid 2467 . . 3  |-  ( *r `  (Scalar `  L ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L ) )
74 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)
7569, 70, 71, 72, 73, 74isphl 18470 . 2  |-  ( L  e.  PreHil 
<->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
7661, 68, 753bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   *rcstv 14560  Scalarcsca 14561   .scvsca 14562   .icip 14563   0gc0g 14698   *Ringcsr 17305   LMHom clmhm 17477   LVecclvec 17560  ringLModcrglmod 17627   PreHilcphl 18466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-grp 15871  df-ghm 16079  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-lmod 17326  df-lmhm 17480  df-lvec 17561  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-phl 18468
This theorem is referenced by:  tchphl  21497
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