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Theorem phlpropd 18863
Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
phlpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
phlpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
phlpropd.4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
phlpropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
phlpropd.6  |-  P  =  ( Base `  F
)
phlpropd.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
phlpropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
phlpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y    ph, x, y

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 phlpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 phlpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 phlpropd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
5 phlpropd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
6 phlpropd.6 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  F
)
7 phlpropd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 18008 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
94, 5eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
109eleq1d 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  *Ring  <->  (Scalar `  L
)  e.  *Ring ) )
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
1211oveqrspc2v 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( b ( .i
`  K ) a )  =  ( b ( .i `  L
) a ) )
1312anass1rs 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b ( .i `  K ) a )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )
1413mpteq2dva 4525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
151adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
1615mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
172adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
1817mpteq1d 4520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
1914, 16, 183eqtr3d 2503 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
20 rlmbas 18036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
216, 20eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F )
) )
23 fvex 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  K )  e.  _V
244, 23syl6eqel 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
25 rlmsca 18041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F ) ) )
27 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y ) )
28 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y ) )
291, 22, 2, 22, 4, 26, 5, 26, 6, 6, 3, 27, 7, 28lmhmpropd 17914 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  F )
) )
304fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )
3130oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) ) )
325fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) )
3332oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) ) )
3429, 31, 333eqtr3d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) ) )
3534adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) )
3619, 35eleq12d 2536 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  (
Base `  K )  |->  ( b ( .i
`  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) ) )
3711oveqrspc2v 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( a ( .i `  L
) a ) )
3837anabsan2 820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a ( .i `  K ) a )  =  ( a ( .i `  L ) a ) )
399fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4039adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  K
) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4138, 40eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  <->  ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) ) )
421, 2, 3grpidpropd 16087 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
4342adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
4443eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  =  ( 0g
`  K )  <->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
4541, 44imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( a ( .i `  K ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
469fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L
) ) )
4746adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L
) ) )
4811oveqrspc2v 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) b )  =  ( a ( .i `  L
) b ) )
4947, 48fveq12d 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) ) )
5049anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( *r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) ) )
5150, 13eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  ( (
*r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5251ralbidva 2890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  B  ( (
*r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5315raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
5417raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5552, 53, 543bitr3d 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  ( Base `  K ) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i
`  K ) a )  <->  A. b  e.  (
Base `  L )
( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
5636, 45, 553anbi123d 1297 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
5756ralbidva 2890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
581raleqdv 3057 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  K )
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
592raleqdv 3057 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
6057, 58, 593bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
618, 10, 603anbi123d 1297 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LVec  /\  (Scalar `  K
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K ) ( ( b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K )
) )  /\  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  ->  a  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )  <->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L ) ( ( b  e.  ( Base `  L )  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) )  /\  (
( a ( .i
`  L ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  ->  a  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) ) )
62 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
63 eqid 2454 . . 3  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
64 eqid 2454 . . 3  |-  ( .i
`  K )  =  ( .i `  K
)
65 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
66 eqid 2454 . . 3  |-  ( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  K ) )
67 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)
6862, 63, 64, 65, 66, 67isphl 18836 . 2  |-  ( K  e.  PreHil 
<->  ( K  e.  LVec  /\  (Scalar `  K )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
69 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
70 eqid 2454 . . 3  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
71 eqid 2454 . . 3  |-  ( .i
`  L )  =  ( .i `  L
)
72 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
73 eqid 2454 . . 3  |-  ( *r `  (Scalar `  L ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L ) )
74 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)
7569, 70, 71, 72, 73, 74isphl 18836 . 2  |-  ( L  e.  PreHil 
<->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
7661, 68, 753bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   *rcstv 14786  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   .icip 14789   0gc0g 14929   *Ringcsr 17688   LMHom clmhm 17860   LVecclvec 17943  ringLModcrglmod 18010   PreHilcphl 18832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-grp 16256  df-ghm 16464  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lmhm 17863  df-lvec 17944  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-phl 18834
This theorem is referenced by:  tchphl  21836
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