Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlpropd Structured version   Unicode version

Theorem phlpropd 19153
 Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1
phlpropd.2
phlpropd.3
phlpropd.4 Scalar
phlpropd.5 Scalar
phlpropd.6
phlpropd.7
phlpropd.8
Assertion
Ref Expression
phlpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4
2 phlpropd.2 . . . 4
3 phlpropd.3 . . . 4
4 phlpropd.4 . . . 4 Scalar
5 phlpropd.5 . . . 4 Scalar
6 phlpropd.6 . . . 4
7 phlpropd.7 . . . 4
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 18325 . . 3
94, 5eqtr3d 2472 . . . 4 Scalar Scalar
109eleq1d 2498 . . 3 Scalar Scalar
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11
1211oveqrspc2v 6328 . . . . . . . . . 10
1312anass1rs 814 . . . . . . . . 9
1413mpteq2dva 4512 . . . . . . . 8
151adantr 466 . . . . . . . . 9
1615mpteq1d 4507 . . . . . . . 8
172adantr 466 . . . . . . . . 9
1817mpteq1d 4507 . . . . . . . 8
1914, 16, 183eqtr3d 2478 . . . . . . 7
20 rlmbas 18353 . . . . . . . . . . . 12 ringLMod
216, 20eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11 ringLMod
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ringLMod
23 fvex 5891 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
244, 23syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . 11
25 rlmsca 18358 . . . . . . . . . . 11 ScalarringLMod
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ScalarringLMod
27 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
28 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLMod
291, 22, 2, 22, 4, 26, 5, 26, 6, 6, 3, 27, 7, 28lmhmpropd 18231 . . . . . . . . 9 LMHom ringLMod LMHom ringLMod
304fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLModScalar
3130oveq2d 6321 . . . . . . . . 9 LMHom ringLMod LMHom ringLModScalar
325fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 ringLMod ringLModScalar
3332oveq2d 6321 . . . . . . . . 9 LMHom ringLMod LMHom ringLModScalar
3429, 31, 333eqtr3d 2478 . . . . . . . 8 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
3534adantr 466 . . . . . . 7 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
3619, 35eleq12d 2511 . . . . . 6 LMHom ringLModScalar LMHom ringLModScalar
3711oveqrspc2v 6328 . . . . . . . . 9
3837anabsan2 829 . . . . . . . 8
399fveq2d 5885 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4039adantr 466 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
4138, 40eqeq12d 2451 . . . . . . 7 Scalar Scalar
421, 2, 3grpidpropd 16455 . . . . . . . . 9
4342adantr 466 . . . . . . . 8
4443eqeq2d 2443 . . . . . . 7
4541, 44imbi12d 321 . . . . . 6 Scalar Scalar
469fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
4746adantr 466 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
4811oveqrspc2v 6328 . . . . . . . . . . 11
4947, 48fveq12d 5887 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
5049anassrs 652 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
5150, 13eqeq12d 2451 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
5251ralbidva 2868 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5315raleqdv 3038 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5417raleqdv 3038 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5552, 53, 543bitr3d 286 . . . . . 6 Scalar Scalar
5636, 45, 553anbi123d 1335 . . . . 5 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
5756ralbidva 2868 . . . 4 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
581raleqdv 3038 . . . 4 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
592raleqdv 3038 . . . 4 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
6057, 58, 593bitr3d 286 . . 3 LMHom ringLModScalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
618, 10, 603anbi123d 1335 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
62 eqid 2429 . . 3
63 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
64 eqid 2429 . . 3
65 eqid 2429 . . 3
66 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
67 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
6862, 63, 64, 65, 66, 67isphl 19126 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
69 eqid 2429 . . 3
70 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
71 eqid 2429 . . 3
72 eqid 2429 . . 3
73 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
74 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
7569, 70, 71, 72, 73, 74isphl 19126 . 2 Scalar LMHom ringLModScalar Scalar Scalar
7661, 68, 753bitr4g 291 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087   cmpt 4484  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084   cplusg 15152  cstv 15154  Scalarcsca 15155  cvsca 15156  cip 15157  c0g 15297  csr 18007   LMHom clmhm 18177  clvec 18260  ringLModcrglmod 18327  cphl 19122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-ghm 16832  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-lmhm 18180  df-lvec 18261  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-phl 19124 This theorem is referenced by:  tchphl  22094
 Copyright terms: Public domain W3C validator