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Theorem phlpropd 18053
Description: If two structures have the same components (properties), one is a pre-Hilbert space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
phlpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
phlpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
phlpropd.4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
phlpropd.5  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
phlpropd.6  |-  P  =  ( Base `  F
)
phlpropd.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
phlpropd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
phlpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y    ph, x, y

Proof of Theorem phlpropd
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 phlpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 phlpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 phlpropd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  K ) )
5 phlpropd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  L ) )
6 phlpropd.6 . . . 4  |-  P  =  ( Base `  F
)
7 phlpropd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lvecpropd 17222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
94, 5eqtr3d 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  L )
)
109eleq1d 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  K
)  e.  *Ring  <->  (Scalar `  L
)  e.  *Ring ) )
11 phlpropd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .i
`  K ) y )  =  ( x ( .i `  L
) y ) )
1211proplem 14620 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( b ( .i
`  K ) a )  =  ( b ( .i `  L
) a ) )
1312anass1rs 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
b ( .i `  K ) a )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )
1413mpteq2dva 4371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
151adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
1615mpteq1d 4366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
1817mpteq1d 4366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  B  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
1914, 16, 183eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  =  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
20 rlmbas 17250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
216, 20eqtri 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (ringLMod `  F )
) )
23 fvex 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  K )  e.  _V
244, 23syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
25 rlmsca 17255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  (Scalar `  (ringLMod `  F ) ) )
27 eqidd 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( +g  `  (ringLMod `  F )
) y ) )
28 eqidd 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y )  =  ( x ( .s
`  (ringLMod `  F )
) y ) )
291, 22, 2, 22, 4, 26, 5, 26, 6, 6, 3, 27, 7, 28lmhmpropd 17128 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  F )
) )
304fveq2d 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )
3130oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) ) )
325fveq2d 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (ringLMod `  F )  =  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) )
3332oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L LMHom  (ringLMod `  F
) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L
) ) ) )
3429, 31, 333eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) ) )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  =  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) )
3619, 35eleq12d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  (
Base `  K )  |->  ( b ( .i
`  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K
) ) )  <->  ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) ) ) )
3711proplem 14620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( a ( .i `  L
) a ) )
3837anabsan2 818 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a ( .i `  K ) a )  =  ( a ( .i `  L ) a ) )
399fveq2d 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  K
) )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) )
4138, 40eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  <->  ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) ) ) )
421, 2, 3grpidpropd 15439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
4342adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
4443eqeq2d 2448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
a  =  ( 0g
`  K )  <->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
4541, 44imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( a ( .i `  K ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( a ( .i `  L ) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
469fveq2d 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L
) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L
) ) )
4811proplem 14620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a ( .i
`  K ) b )  =  ( a ( .i `  L
) b ) )
4947, 48fveq12d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) ) )
5049anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( *r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) ) )
5150, 13eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  (
( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  ( (
*r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5251ralbidva 2725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  B  ( (
*r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5315raleqdv 2917 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  K
) ) `  (
a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )
5417raleqdv 2917 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  ( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a )  <->  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) )
5552, 53, 543bitr3d 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  ( Base `  K ) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `
 ( a ( .i `  K ) b ) )  =  ( b ( .i
`  K ) a )  <->  A. b  e.  (
Base `  L )
( ( *r `  (Scalar `  L
) ) `  (
a ( .i `  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L
) a ) ) )
5636, 45, 553anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
5756ralbidva 2725 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
581raleqdv 2917 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  K )
( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
592raleqdv 2917 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
6057, 58, 593bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) )  <->  A. a  e.  (
Base `  L )
( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
618, 10, 603anbi123d 1289 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LVec  /\  (Scalar `  K
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K ) ( ( b  e.  ( Base `  K )  |->  ( b ( .i `  K
) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K )
) )  /\  (
( a ( .i
`  K ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  ->  a  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) )  <->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L
)  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L ) ( ( b  e.  ( Base `  L )  |->  ( b ( .i `  L
) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L )
) )  /\  (
( a ( .i
`  L ) a )  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  ->  a  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) ) )
62 eqid 2437 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
63 eqid 2437 . . 3  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
64 eqid 2437 . . 3  |-  ( .i
`  K )  =  ( .i `  K
)
65 eqid 2437 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
66 eqid 2437 . . 3  |-  ( *r `  (Scalar `  K ) )  =  ( *r `  (Scalar `  K ) )
67 eqid 2437 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  K )
)
6862, 63, 64, 65, 66, 67isphl 18026 . 2  |-  ( K  e.  PreHil 
<->  ( K  e.  LVec  /\  (Scalar `  K )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) ( ( b  e.  ( Base `  K
)  |->  ( b ( .i `  K ) a ) )  e.  ( K LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  K ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  K
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  K ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  K ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  K
) ( ( *r `  (Scalar `  K ) ) `  ( a ( .i
`  K ) b ) )  =  ( b ( .i `  K ) a ) ) ) )
69 eqid 2437 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
70 eqid 2437 . . 3  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
71 eqid 2437 . . 3  |-  ( .i
`  L )  =  ( .i `  L
)
72 eqid 2437 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
73 eqid 2437 . . 3  |-  ( *r `  (Scalar `  L ) )  =  ( *r `  (Scalar `  L ) )
74 eqid 2437 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  L )
)
7569, 70, 71, 72, 73, 74isphl 18026 . 2  |-  ( L  e.  PreHil 
<->  ( L  e.  LVec  /\  (Scalar `  L )  e.  *Ring  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) ( ( b  e.  ( Base `  L
)  |->  ( b ( .i `  L ) a ) )  e.  ( L LMHom  (ringLMod `  (Scalar `  L ) ) )  /\  ( ( a ( .i `  L
) a )  =  ( 0g `  (Scalar `  L ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )  /\  A. b  e.  ( Base `  L
) ( ( *r `  (Scalar `  L ) ) `  ( a ( .i
`  L ) b ) )  =  ( b ( .i `  L ) a ) ) ) )
7661, 68, 753bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  PreHil  <->  L  e.  PreHil ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709   _Vcvv 2966    e. cmpt 4343   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   *rcstv 14232  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   .icip 14235   0gc0g 14370   *Ringcsr 16905   LMHom clmhm 17074   LVecclvec 17157  ringLModcrglmod 17224   PreHilcphl 18022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-grp 15534  df-ghm 15734  df-mgp 16578  df-ur 16590  df-rng 16633  df-lmod 16926  df-lmhm 17077  df-lvec 17158  df-sra 17227  df-rgmod 17228  df-phl 18024
This theorem is referenced by:  tchphl  20711
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