MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Unicode version

Theorem phllmod 18425
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 18424 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17528 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   LModclmod 17288   LVecclvec 17524   PreHilcphl 18419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-nul 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-iota 5542  df-fv 5587  df-ov 6278  df-lvec 17525  df-phl 18421
This theorem is referenced by:  iporthcom  18430  ip0l  18431  ip0r  18432  ipdir  18434  ipdi  18435  ip2di  18436  ipsubdir  18437  ipsubdi  18438  ip2subdi  18439  ipass  18440  ipassr  18441  ip2eq  18448  ocvlss  18463  ocvin  18465  ocvlsp  18467  ocvz  18469  ocv1  18470  lsmcss  18483  pjdm2  18502  pjff  18503  pjf2  18505  pjfo  18506  ocvpj  18508  obselocv  18519  obslbs  18521  tchclm  21403  ipcau2  21405  tchcphlem1  21406  tchcphlem2  21407  tchcph  21408  pjth  21582
  Copyright terms: Public domain W3C validator