MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Unicode version

Theorem phllmod 18062
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 18061 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17190 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   LModclmod 16951   LVecclvec 17186   PreHilcphl 18056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4424
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-iota 5384  df-fv 5429  df-ov 6097  df-lvec 17187  df-phl 18058
This theorem is referenced by:  iporthcom  18067  ip0l  18068  ip0r  18069  ipdir  18071  ipdi  18072  ip2di  18073  ipsubdir  18074  ipsubdi  18075  ip2subdi  18076  ipass  18077  ipassr  18078  ip2eq  18085  ocvlss  18100  ocvin  18102  ocvlsp  18104  ocvz  18106  ocv1  18107  lsmcss  18120  pjdm2  18139  pjff  18140  pjf2  18142  pjfo  18143  ocvpj  18145  obselocv  18156  obslbs  18158  tchclm  20750  ipcau2  20752  tchcphlem1  20753  tchcphlem2  20754  tchcph  20755  pjth  20929
  Copyright terms: Public domain W3C validator