MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Unicode version

Theorem phllmod 18838
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 18837 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17947 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   LModclmod 17707   LVecclvec 17943   PreHilcphl 18832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-lvec 17944  df-phl 18834
This theorem is referenced by:  iporthcom  18843  ip0l  18844  ip0r  18845  ipdir  18847  ipdi  18848  ip2di  18849  ipsubdir  18850  ipsubdi  18851  ip2subdi  18852  ipass  18853  ipassr  18854  ip2eq  18861  ocvlss  18876  ocvin  18878  ocvlsp  18880  ocvz  18882  ocv1  18883  lsmcss  18896  pjdm2  18915  pjff  18916  pjf2  18918  pjfo  18919  ocvpj  18921  obselocv  18932  obslbs  18934  tchclm  21841  ipcau2  21843  tchcphlem1  21844  tchcphlem2  21845  tchcph  21846  pjth  22020
  Copyright terms: Public domain W3C validator