MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Unicode version

Theorem phllmod 18538
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 18537 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17626 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   LModclmod 17386   LVecclvec 17622   PreHilcphl 18532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-nul 4566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-iota 5541  df-fv 5586  df-ov 6284  df-lvec 17623  df-phl 18534
This theorem is referenced by:  iporthcom  18543  ip0l  18544  ip0r  18545  ipdir  18547  ipdi  18548  ip2di  18549  ipsubdir  18550  ipsubdi  18551  ip2subdi  18552  ipass  18553  ipassr  18554  ip2eq  18561  ocvlss  18576  ocvin  18578  ocvlsp  18580  ocvz  18582  ocv1  18583  lsmcss  18596  pjdm2  18615  pjff  18616  pjf2  18618  pjfo  18619  ocvpj  18621  obselocv  18632  obslbs  18634  tchclm  21548  ipcau2  21550  tchcphlem1  21551  tchcphlem2  21552  tchcph  21553  pjth  21727
  Copyright terms: Public domain W3C validator