MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlipf Structured version   Unicode version

Theorem phlipf 18985
Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffn.1  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipffn.2  |-  .,  =  ( .if `  W
)
phlipf.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
phlipf.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
phlipf  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : ( V  X.  V ) --> K )

Proof of Theorem phlipf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlipf.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 ipffn.1 . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 phlipf.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  S
)
51, 2, 3, 4ipcl 18966 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  e.  K )
653expb 1198 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
x  e.  V  /\  y  e.  V )
)  ->  ( x
( .i `  W
) y )  e.  K )
76ralrimivva 2825 . 2  |-  ( W  e.  PreHil  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( x ( .i
`  W ) y )  e.  K )
8 ipffn.2 . . . 4  |-  .,  =  ( .if `  W
)
93, 2, 8ipffval 18981 . . 3  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )
109fmpt2 6851 . 2  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
x ( .i `  W ) y )  e.  K  <->  .,  : ( V  X.  V ) --> K )
117, 10sylib 196 1  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : ( V  X.  V ) --> K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    X. cxp 4821   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841  Scalarcsca 14912   .icip 14914   PreHilcphl 18957   .ifcipf 18958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-ghm 16589  df-lmhm 17988  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-phl 18959  df-ipf 18960
This theorem is referenced by:  ipcn  21978
  Copyright terms: Public domain W3C validator