Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  phisum Structured version   Unicode version

Theorem phisum 29710
Description: The divisor sum identity of the totient function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N, d

Proof of Theorem phisum
Dummy variables  z 
y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ||  N  <->  y  ||  N ) )
21elrab 3218 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )
3 hashgcdeq 29709 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
43adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
5 iftrue 3900 . . . . . . 7  |-  ( y 
||  N  ->  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
65ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  if (
y  ||  N , 
( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
74, 6eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
82, 7sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
98sumeq2dv 13293 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( # `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( phi `  ( N  / 
y ) ) )
10 fzfi 11906 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
11 sgmss 22572 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
12 ssfi 7639 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
14 fzofi 11908 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
15 ssrab2 3540 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N )
16 ssfi 7639 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . 5  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin )
19 oveq1 6202 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
2019eqeq1d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2120elrab 3218 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( w  e.  ( 0..^ N )  /\  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2221simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  ->  ( w  gcd  N )  =  y )
2322rgen 2893 . . . . . 6  |-  A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y
2423rgenw 2895 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  ( w  gcd  N )  =  y
25 invdisj 4384 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e. 
{ z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y  -> Disj  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
2624, 25mp1i 12 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  -> Disj  y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )
2713, 18, 26hashiun 13398 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } ) )
28 fveq2 5794 . . . 4  |-  ( d  =  ( N  / 
y )  ->  ( phi `  d )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
29 eqid 2452 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
30 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
3129, 30dvdsflip 22650 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
32 oveq2 6203 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  y
) )
33 ovex 6220 . . . . . 6  |-  ( N  /  y )  e. 
_V
3432, 30, 33fvmpt 5878 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 y )  =  ( N  /  y
) )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `  y )  =  ( N  / 
y ) )
36 elrabi 3215 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  d  e.  NN )
3736adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  d  e.  NN )
3837phicld 13960 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  NN )
3938nncnd 10444 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  CC )
4028, 13, 31, 35, 39fsumf1o 13313 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  ( N  /  y ) ) )
419, 27, 403eqtr4rd 2504 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  ( # `  U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } ) )
42 elfzoelz 11665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0..^ N )  ->  z  e.  ZZ )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
z  e.  ZZ )
44 nnz 10774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
46 nnne0 10460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
4746neneqd 2652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
4847intnand 907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
50 gcdn0cl 13811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( z  gcd 
N )  e.  NN )
5143, 45, 49, 50syl21anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  NN )
52 gcddvds 13812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5343, 45, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5453simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  ||  N )
55 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  gcd 
N )  ->  (
x  ||  N  <->  ( z  gcd  N )  ||  N
) )
5655elrab 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( z  gcd  N )  e.  NN  /\  ( z  gcd  N )  ||  N ) )
5751, 54, 56sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
58 risset 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd 
N ) )
59 eqcom 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  gcd 
N )  <->  ( z  gcd  N )  =  y )
6059rexbii 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd  N )  <->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6158, 60bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6257, 61sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6362ralrimiva 2827 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
64 rabid2 2998 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y }  <->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6563, 64sylibr 212 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y } )
66 iunrab 4320 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( z  gcd  N
)  =  y }
6765, 66syl6reqr 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  ( 0..^ N ) )
6867fveq2d 5798 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( # `  (
0..^ N ) ) )
69 nnnn0 10692 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
70 hashfzo0 12304 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
7169, 70syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 0..^ N ) )  =  N )
7268, 71eqtrd 2493 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  N )
7341, 72eqtrd 2493 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800    C_ wss 3431   ifcif 3894   U_ciun 4274  Disj wdisj 4365   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Fincfn 7415   0cc0 9388   1c1 9389    / cdiv 10099   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ...cfz 11549  ..^cfzo 11660   #chash 12215   sum_csu 13276    || cdivides 13648    gcd cgcd 13803   phicphi 13952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-disj 4366  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-phi 13954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator