Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  phisum Structured version   Unicode version

Theorem phisum 31079
Description: The divisor sum identity of the totient function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N, d

Proof of Theorem phisum
Dummy variables  z 
y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4456 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ||  N  <->  y  ||  N ) )
21elrab 3266 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )
3 hashgcdeq 31078 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
43adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
5 iftrue 3951 . . . . . . 7  |-  ( y 
||  N  ->  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
65ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  if (
y  ||  N , 
( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
74, 6eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
82, 7sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
98sumeq2dv 13505 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( # `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( phi `  ( N  / 
y ) ) )
10 fzfi 12062 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
11 sgmss 23246 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
12 ssfi 7752 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
14 fzofi 12064 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
15 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N )
16 ssfi 7752 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . 5  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin )
19 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
2019eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2120elrab 3266 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( w  e.  ( 0..^ N )  /\  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2221simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  ->  ( w  gcd  N )  =  y )
2322rgen 2827 . . . . . 6  |-  A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y
2423rgenw 2828 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  ( w  gcd  N )  =  y
25 invdisj 4442 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e. 
{ z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y  -> Disj  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
2624, 25mp1i 12 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  -> Disj  y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )
2713, 18, 26hashiun 13616 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } ) )
28 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( d  =  ( N  / 
y )  ->  ( phi `  d )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
29 eqid 2467 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
30 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
3129, 30dvdsflip 23324 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
32 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  y
) )
33 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( N  /  y )  e. 
_V
3432, 30, 33fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 y )  =  ( N  /  y
) )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `  y )  =  ( N  / 
y ) )
36 elrabi 3263 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  d  e.  NN )
3736adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  d  e.  NN )
3837phicld 14178 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  NN )
3938nncnd 10564 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  CC )
4028, 13, 31, 35, 39fsumf1o 13525 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  ( N  /  y ) ) )
419, 27, 403eqtr4rd 2519 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  ( # `  U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } ) )
42 elfzoelz 11809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0..^ N )  ->  z  e.  ZZ )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
z  e.  ZZ )
44 nnz 10898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
46 nnne0 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
4746neneqd 2669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
4847intnand 914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
50 gcdn0cl 14028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( z  gcd 
N )  e.  NN )
5143, 45, 49, 50syl21anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  NN )
52 gcddvds 14029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5343, 45, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5453simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  ||  N )
55 breq1 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  gcd 
N )  ->  (
x  ||  N  <->  ( z  gcd  N )  ||  N
) )
5655elrab 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( z  gcd  N )  e.  NN  /\  ( z  gcd  N )  ||  N ) )
5751, 54, 56sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
58 risset 2992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd 
N ) )
59 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  gcd 
N )  <->  ( z  gcd  N )  =  y )
6059rexbii 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd  N )  <->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6158, 60bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6257, 61sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6362ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
64 rabid2 3044 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y }  <->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6563, 64sylibr 212 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y } )
66 iunrab 4378 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( z  gcd  N
)  =  y }
6765, 66syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  ( 0..^ N ) )
6867fveq2d 5876 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( # `  (
0..^ N ) ) )
69 nnnn0 10814 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
70 hashfzo0 12468 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
7169, 70syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 0..^ N ) )  =  N )
7268, 71eqtrd 2508 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  N )
7341, 72eqtrd 2508 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   ifcif 3945   U_ciun 4331  Disj wdisj 4423   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505    / cdiv 10218   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   #chash 12385   sum_csu 13488    || cdivides 13864    gcd cgcd 14020   phicphi 14170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-phi 14172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator