Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  phisum Structured version   Unicode version

Theorem phisum 35775
Description: The divisor sum identity of the totient function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
phisum  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N, d

Proof of Theorem phisum
Dummy variables  z 
y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4429 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ||  N  <->  y  ||  N ) )
21elrab 3235 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )
3 hashgcdeq 35774 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
43adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  if ( y 
||  N ,  ( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 ) )
5 iftrue 3921 . . . . . . 7  |-  ( y 
||  N  ->  if ( y  ||  N ,  ( phi `  ( N  /  y
) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
65ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  if (
y  ||  N , 
( phi `  ( N  /  y ) ) ,  0 )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
74, 6eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  N ) )  ->  ( # `  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y
) ) )
82, 7sylan2b 477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
98sumeq2dv 13747 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( # `  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  = 
sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( phi `  ( N  / 
y ) ) )
10 fzfi 12182 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
11 sgmss 23896 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
12 ssfi 7798 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancr 667 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
14 fzofi 12184 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
15 ssrab2 3552 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  (
0..^ N )
16 ssfi 7798 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 676 . . . . 5  |-  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  e.  Fin )
19 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
2019eqeq1d 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  N
)  =  y  <->  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2120elrab 3235 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  <->  ( w  e.  ( 0..^ N )  /\  ( w  gcd  N )  =  y ) )
2221simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y }  ->  ( w  gcd  N )  =  y )
2322rgen 2792 . . . . . 6  |-  A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y
2423rgenw 2793 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e.  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y }  ( w  gcd  N )  =  y
25 invdisj 4415 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. w  e. 
{ z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  ( w  gcd  N
)  =  y  -> Disj  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } )
2624, 25mp1i 13 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  -> Disj  y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y } )
2713, 18, 26hashiun 13860 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  sum_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( # `
 { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd 
N )  =  y } ) )
28 fveq2 5881 . . . 4  |-  ( d  =  ( N  / 
y )  ->  ( phi `  d )  =  ( phi `  ( N  /  y ) ) )
29 eqid 2429 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
30 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
3129, 30dvdsflip 23974 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
32 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  y
) )
33 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( N  /  y )  e. 
_V
3432, 30, 33fvmpt 5964 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 y )  =  ( N  /  y
) )
3534adantl 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `  y )  =  ( N  / 
y ) )
36 elrabi 3232 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  d  e.  NN )
3736adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  d  e.  NN )
3837phicld 14689 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  NN )
3938nncnd 10625 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( phi `  d )  e.  CC )
4028, 13, 31, 35, 39fsumf1o 13767 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  sum_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  ( N  /  y ) ) )
419, 27, 403eqtr4rd 2481 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  ( # `  U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } ) )
42 elfzoelz 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0..^ N )  ->  z  e.  ZZ )
4342adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
z  e.  ZZ )
44 nnz 10959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
4544adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
46 nnne0 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
4746neneqd 2632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
4847intnand 924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
4948adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )
50 gcdn0cl 14450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( z  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( z  gcd 
N )  e.  NN )
5143, 45, 49, 50syl21anc 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  NN )
52 gcddvds 14451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5343, 45, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( z  gcd 
N )  ||  z  /\  ( z  gcd  N
)  ||  N )
)
5453simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  ||  N )
55 breq1 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  gcd 
N )  ->  (
x  ||  N  <->  ( z  gcd  N )  ||  N
) )
5655elrab 3235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( z  gcd  N )  e.  NN  /\  ( z  gcd  N )  ||  N ) )
5751, 54, 56sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( z  gcd  N
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
58 risset 2960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd 
N ) )
59 eqcom 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  gcd 
N )  <->  ( z  gcd  N )  =  y )
6059rexbii 2934 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } y  =  ( z  gcd  N )  <->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6158, 60bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  gcd  N )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6257, 61sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E. y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( z  gcd  N )  =  y )
6362ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
64 rabid2 3013 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y }  <->  A. z  e.  ( 0..^ N ) E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y )
6563, 64sylibr 215 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
z  gcd  N )  =  y } )
66 iunrab 4349 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  { z  e.  ( 0..^ N )  |  E. y  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( z  gcd  N
)  =  y }
6765, 66syl6reqr 2489 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U_ y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  { z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N
)  =  y }  =  ( 0..^ N ) )
6867fveq2d 5885 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  ( # `  (
0..^ N ) ) )
69 nnnn0 10876 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
70 hashfzo0 12597 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
7169, 70syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 0..^ N ) )  =  N )
7268, 71eqtrd 2470 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U_ y  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  {
z  e.  ( 0..^ N )  |  ( z  gcd  N )  =  y } )  =  N )
7341, 72eqtrd 2470 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( phi `  d
)  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    C_ wss 3442   ifcif 3915   U_ciun 4302  Disj wdisj 4397   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   0cc0 9538   1c1 9539    / cdiv 10268   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11782  ..^cfzo 11913   #chash 12512   sum_csu 13730    || cdvds 14283    gcd cgcd 14442   phicphi 14681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-phi 14683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator