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Theorem phimullem 13123
Description: Lemma for phimul 13124. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crt.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crt.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crt.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
phimul.4  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
phimul.5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
phimul.6  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
Assertion
Ref Expression
phimullem  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, F    x, y, M    ph, x, y   
x, S, y    x, T    x, N, y
Allowed substitution hints:    T( y)    U( x, y)    F( x)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phimul.4 . . . . 5  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
2 fzofi 11268 . . . . . 6  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
3 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  (
0..^ M )
4 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  ( 0..^ M ) )  ->  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 }  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 654 . . . . 5  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  e.  Fin
61, 5eqeltri 2474 . . . 4  |-  U  e. 
Fin
7 phimul.5 . . . . 5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
8 fzofi 11268 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
9 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
10 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 }  e.  Fin )
118, 9, 10mp2an 654 . . . . 5  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
127, 11eqeltri 2474 . . . 4  |-  V  e. 
Fin
13 hashxp 11652 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( # `  U )  x.  ( # `
 V ) ) )
146, 12, 13mp2an 654 . . 3  |-  ( # `  ( U  X.  V
) )  =  ( ( # `  U
)  x.  ( # `  V ) )
15 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
1615eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
17 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
1816, 17elrab2 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  W  <->  ( w  e.  S  /\  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
1918simplbi 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  S )
20 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  M )  =  ( w  mod  M ) )
21 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  N )  =  ( w  mod  N ) )
2220, 21opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >. )
23 crt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
24 opex 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V
2522, 23, 24fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  S  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  W  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
2726adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
28 crt.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
2919, 28syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3029adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
31 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
33 crt.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
3433simp1d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  NN )
36 zmodfzo 11224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( w  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
3732, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
38 modgcd 12991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  M )  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
3932, 35, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4035nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
41 gcddvds 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4232, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4342simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  w )
4442simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
4533simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  NN )
4746nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  ZZ )
48 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
4940, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  ||  ( M  x.  N
) )
50 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
5251necon3ai 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
5335, 50, 523syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
54 gcdn0cl 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
5532, 40, 53, 54syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
5655nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  ZZ )
5735, 46nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
5857nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
59 dvdstr 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
6056, 40, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
6144, 49, 60mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  ( M  x.  N
) )
62 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( M  x.  N )  =/=  0 )
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 )  ->  ( M  x.  N )  =  0 )
6463necon3ai 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
6557, 62, 643syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
66 dvdslegcd 12971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  M )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6756, 32, 58, 65, 66syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6843, 61, 67mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
6918simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  W  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
7069adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
7168, 70breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  1 )
72 nnle1eq1 9984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
7355, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
7471, 73mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  =  1 )
7539, 74eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
76 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( y  gcd  M )  =  ( ( w  mod  M
)  gcd  M )
)
7776eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( (
y  gcd  M )  =  1  <->  ( (
w  mod  M )  gcd  M )  =  1 ) )
7877, 1elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  M )  e.  U  <->  ( (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( w  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
7937, 75, 78sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  U )
80 zmodfzo 11224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( w  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
8132, 46, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
82 modgcd 12991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  N )  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
8332, 46, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
84 gcddvds 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8532, 47, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8685simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  w )
8785simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
88 dvdsmul2 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
8940, 47, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
90 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
91 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
9291necon3ai 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
9346, 90, 923syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
94 gcdn0cl 12969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
9532, 47, 93, 94syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
9695nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  ZZ )
97 dvdstr 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9896, 47, 58, 97syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9987, 89, 98mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  ( M  x.  N
) )
100 dvdslegcd 12971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  N )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
10196, 32, 58, 65, 100syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
10286, 99, 101mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
103102, 70breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  1 )
104 nnle1eq1 9984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10595, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
106103, 105mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  =  1 )
10783, 106eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
108 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( y  gcd  N )  =  ( ( w  mod  N
)  gcd  N )
)
109108eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( (
y  gcd  N )  =  1  <->  ( (
w  mod  N )  gcd  N )  =  1 ) )
110109, 7elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  N )  e.  V  <->  ( (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( w  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
11181, 107, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  V )
112 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  U  /\  ( w  mod  N )  e.  V )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
11379, 111, 112syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V ) )
11427, 113eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V
) )
115114ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) )
116 crt.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
11728, 116, 23, 33crt 13122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
118 f1ofn 5634 . . . . . . . . 9  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F  Fn  S )
119 fnfun 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  S  ->  Fun  F )
120117, 118, 1193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
121 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  C_  S
12217, 121eqsstri 3338 . . . . . . . . 9  |-  W  C_  S
123 fndm 5503 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  S  ->  dom  F  =  S )
124117, 118, 1233syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  S )
125122, 124syl5sseqr 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  dom  F )
126 funimass4 5736 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
127120, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
128115, 127mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  C_  ( U  X.  V ) )
1291, 3eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  ( 0..^ M )
1307, 9eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  C_  ( 0..^ N )
131 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  C_  ( 0..^ M )  /\  V  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
132129, 130, 131mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
133132, 116sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  X.  V )  C_  T
134133sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  T )
135 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> T  /\  z  e.  T )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
136117, 134, 135syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
137 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  `' F : T -1-1-onto-> S )
138 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : T -1-1-onto-> S  ->  `' F : T --> S )
139117, 137, 1383syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : T --> S )
140 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : T --> S  /\  z  e.  T )  ->  ( `' F `  z )  e.  S
)
141139, 134, 140syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  S )
142141, 28syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
143 elfzoelz 11095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
14534adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  NN )
146 modgcd 12991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M
) )
147144, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M ) )
148 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  M )  =  ( ( `' F `  z )  mod  M ) )
149 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  N )  =  ( ( `' F `  z )  mod  N ) )
150148, 149opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
15122cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  S  |->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >. )  =  ( w  e.  S  |->  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
15223, 151eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  =  ( w  e.  S  |-> 
<. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
153 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  _V
154150, 152, 153fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' F `  z )  e.  S  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
155141, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
156136, 155eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >. )
157 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( U  X.  V
) )
158156, 157eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
159 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
)  <->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N )  e.  V ) )
160158, 159sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V ) )
161160simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U )
162 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( y  gcd  M
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )
)
163162eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( ( y  gcd 
M )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
164163, 1elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
165161, 164sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
166165simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
167147, 166eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  M
)  =  1 )
16845adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  NN )
169 modgcd 12991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N
) )
170144, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N ) )
171160simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V )
172 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( y  gcd  N
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )
)
173172eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( ( y  gcd 
N )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
174173, 7elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
175171, 174sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
176175simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
177170, 176eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  N
)  =  1 )
17834nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
179178adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  ZZ )
18045nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
181180adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  ZZ )
182 rpmul 13078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
183144, 179, 181, 182syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
184167, 177, 183mp2and 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
185 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
) )
186185eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
187186, 17elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  W  <->  ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
188141, 184, 187sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  W )
189 funfvima2 5933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
190120, 125, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
191190imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( `' F `  z )  e.  W )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
192188, 191syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
193136, 192eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( F " W
) )
194193ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  ( F " W ) ) )
195194ssrdv 3314 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( F " W ) )
196128, 195eqssd 3325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  =  ( U  X.  V ) )
197 f1of1 5632 . . . . . . 7  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F : S -1-1-> T )
198117, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
199 fzofi 11268 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  e.  Fin
20028, 199eqeltri 2474 . . . . . . . . 9  |-  S  e. 
Fin
201 ssfi 7288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
202200, 122, 201mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  W  e. 
Fin
203202elexi 2925 . . . . . . 7  |-  W  e. 
_V
204203f1imaen 7128 . . . . . 6  |-  ( ( F : S -1-1-> T  /\  W  C_  S )  ->  ( F " W )  ~~  W
)
205198, 122, 204sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  ~~  W )
206196, 205eqbrtrrd 4194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  ~~  W )
207 xpfi 7337 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
2086, 12, 207mp2an 654 . . . . 5  |-  ( U  X.  V )  e. 
Fin
209 hashen 11586 . . . . 5  |-  ( ( ( U  X.  V
)  e.  Fin  /\  W  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
210208, 202, 209mp2an 654 . . . 4  |-  ( (
# `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
)
211206, 210sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( U  X.  V ) )  =  ( # `  W
) )
21214, 211syl5reqr 2451 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  =  ( (
# `  U )  x.  ( # `  V
) ) )
21334, 45nnmulcld 10003 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
214 dfphi2 13118 . . . 4  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } ) )
215 rabeq 2910 . . . . . . 7  |-  ( S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  { y  e.  S  |  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } )
21628, 215ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
21717, 216eqtri 2424 . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
218217fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( # `  W )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 } )
219214, 218syl6eqr 2454 . . 3  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( # `  W
) )
220213, 219syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( # `  W ) )
221 dfphi2 13118 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 } ) )
2221fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( # `  U )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 } )
223221, 222syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( # `  U
) )
22434, 223syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  M
)  =  ( # `  U ) )
225 dfphi2 13118 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 } ) )
2267fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( # `  V )  =  (
# `  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 } )
227225, 226syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  V
) )
22845, 227syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  =  ( # `  V ) )
229224, 228oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) )  =  ( ( # `  U )  x.  ( # `
 V ) ) )
230212, 220, 2293eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090    mod cmo 11205   #chash 11573    || cdivides 12807    gcd cgcd 12961   phicphi 13108
This theorem is referenced by:  phimul  13124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-phi 13110
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