MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibndlem Structured version   Unicode version

Theorem phibndlem 13866
Description: Lemma for phibnd 13867. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 10948 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
21simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
3 fzm1 11561 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
4 nnuz 10917 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4eleq2s 2535 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
65biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) )
76ord 377 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  =  N ) )
82, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  ->  x  =  N )
)
9 eluzelz 10891 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
10 gcdid 13736 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N ) )
12 nnre 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
13 nnnn0 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0ge0d 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1512, 14absidd 12930 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  N )
162, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
1711, 16eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  N )
18 eluzelre 10892 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
191simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
20 1re 9406 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
21 ltneOLD 9493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2220, 21mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2318, 19, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
2417, 23eqnetrd 2654 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =/=  1
)
25 oveq1 6119 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  gcd  N )  =  ( N  gcd  N ) )
2625neeq1d 2641 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  gcd  N
)  =/=  1  <->  ( N  gcd  N )  =/=  1 ) )
2724, 26syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  =  N  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  =  N  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
298, 28syld 44 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
3029necon4bd 2697 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3130ralrimiva 2820 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
32 rabss 3450 . 2  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3331, 32sylibr 212 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   {crab 2740    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   1c1 9304    < clt 9439    - cmin 9616   NNcn 10343   2c2 10392   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458   abscabs 12744    gcd cgcd 13711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-dvds 13557  df-gcd 13712
This theorem is referenced by:  phibnd  13867  dfphi2  13870
  Copyright terms: Public domain W3C validator