MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibndlem Structured version   Unicode version

Theorem phibndlem 14176
Description: Lemma for phibnd 14177. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 11166 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
21simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
3 fzm1 11770 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
4 nnuz 11129 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4eleq2s 2575 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
65biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) )
76ord 377 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  =  N ) )
82, 7sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  ->  x  =  N )
)
9 eluzelz 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
10 gcdid 14045 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N ) )
12 nnre 10555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
13 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0ge0d 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1512, 14absidd 13234 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  N )
162, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
1711, 16eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  N )
18 eluzelre 11104 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
191simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
20 1re 9607 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
21 ltneOLD 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2220, 21mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2318, 19, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
2417, 23eqnetrd 2760 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =/=  1
)
25 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  gcd  N )  =  ( N  gcd  N ) )
2625neeq1d 2744 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  gcd  N
)  =/=  1  <->  ( N  gcd  N )  =/=  1 ) )
2724, 26syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  =  N  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  =  N  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
298, 28syld 44 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
3029necon4bd 2689 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3130ralrimiva 2881 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
32 rabss 3582 . 2  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3331, 32sylibr 212 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505    < clt 9640    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   abscabs 13047    gcd cgcd 14020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021
This theorem is referenced by:  phibnd  14177  dfphi2  14180
  Copyright terms: Public domain W3C validator