MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phibndlem Structured version   Unicode version

Theorem phibndlem 13841
Description: Lemma for phibnd 13842. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 10923 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
21simplbi 457 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
3 fzm1 11536 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
4 nnuz 10892 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4eleq2s 2533 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
65biimpa 481 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) )
76ord 377 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( -.  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  =  N ) )
82, 7sylan 468 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  ->  x  =  N )
)
9 eluzelz 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
10 gcdid 13711 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N ) )
12 nnre 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
13 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0ge0d 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1512, 14absidd 12905 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  N )
162, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
1711, 16eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  N )
18 eluzelre 10867 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
191simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
20 1re 9381 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
21 ltneOLD 9468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2220, 21mp3an1 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
2318, 19, 22syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
2417, 23eqnetrd 2624 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =/=  1
)
25 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  gcd  N )  =  ( N  gcd  N ) )
2625neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  gcd  N
)  =/=  1  <->  ( N  gcd  N )  =/=  1 ) )
2724, 26syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  =  N  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
2827adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  =  N  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
298, 28syld 44 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -.  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  -> 
( x  gcd  N
)  =/=  1 ) )
3029necon4bd 2671 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3130ralrimiva 2797 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
32 rabss 3426 . 2  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3331, 32sylibr 212 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717    C_ wss 3325   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   1c1 9279    < clt 9414    - cmin 9591   NNcn 10318   2c2 10367   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   abscabs 12719    gcd cgcd 13686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687
This theorem is referenced by:  phibnd  13842  dfphi2  13845
  Copyright terms: Public domain W3C validator