MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgrpsubgsymg Structured version   Unicode version

Theorem pgrpsubgsymg 16024
Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pgrpsubgsymgbi.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
pgrpsubgsymgbi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgrpsubgsymg.c  |-  F  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
pgrpsubgsymg  |-  ( A  e.  V  ->  (
( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) )  ->  F  e.  (SubGrp `  G ) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
g    B, f, g    f, F, g
Allowed substitution hints:    P( f, g)    G( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg
StepHypRef Expression
1 pgrpsubgsymgbi.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 16016 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) ) )  ->  P  e.  Grp )
42, 3anim12i 566 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) ) )  ->  ( G  e.  Grp  /\  P  e. 
Grp ) )
5 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) ) )  ->  F  C_  B )
6 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) ) )  -> 
( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) )
7 pgrpsubgsymgbi.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
91, 7, 8symgplusg 16005 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )
109eqcomi 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  G
)
1110reseq1i 5207 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  |`  ( F  X.  F ) )  =  ( ( +g  `  G
)  |`  ( F  X.  F ) )
12 resmpt2 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  B  /\  F  C_  B )  -> 
( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  |`  ( F  X.  F
) )  =  ( f  e.  F , 
g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) )
1312anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  B  ->  (
( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )  |`  ( F  X.  F ) )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) )
1411, 13syl5reqr 2507 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  B  ->  (
f  e.  F , 
g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( ( +g  `  G )  |`  ( F  X.  F
) ) )
15143ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) ) )  -> 
( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) )  =  ( ( +g  `  G
)  |`  ( F  X.  F ) ) )
166, 15eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) ) )  -> 
( +g  `  P )  =  ( ( +g  `  G )  |`  ( F  X.  F ) ) )
175, 16jca 532 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g
) ) )  -> 
( F  C_  B  /\  ( +g  `  P
)  =  ( ( +g  `  G )  |`  ( F  X.  F
) ) ) )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) ) )  ->  ( F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( ( +g  `  G
)  |`  ( F  X.  F ) ) ) )
19 pgrpsubgsymg.c . . . 4  |-  F  =  ( Base `  P
)
207, 19grpissubg 15812 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Grp )  ->  ( ( F  C_  B  /\  ( +g  `  P
)  =  ( ( +g  `  G )  |`  ( F  X.  F
) ) )  ->  F  e.  (SubGrp `  G
) ) )
214, 18, 20sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) ) )  ->  F  e.  (SubGrp `  G ) )
2221ex 434 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( P  e.  Grp  /\  F  C_  B  /\  ( +g  `  P )  =  ( f  e.  F ,  g  e.  F  |->  ( f  o.  g ) ) )  ->  F  e.  (SubGrp `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429    X. cxp 4939    |` cres 4943    o. ccom 4945   ` cfv 5519    |-> cmpt2 6195   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   Grpcgrp 15521  SubGrpcsubg 15786   SymGrpcsymg 15993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-tset 14368  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-subg 15789  df-symg 15994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator