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Theorem pgrpgt2nabl 32439
Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabl  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )

Proof of Theorem pgrpgt2nabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ran  (pmTrsp `  A )  =  ran  (pmTrsp `  A )
2 pgrple2abl.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
3 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 16367 . . . . . . 7  |-  ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G )
5 hashcl 12408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
6 2nn0 10824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
7 nn0ltp1le 10932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  ( # `
 A )  <->  ( 2  +  1 )  <_ 
( # `  A ) ) )
86, 7mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  ( 2  +  1 )  <_  ( # `
 A ) ) )
9 2p1e3 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  +  1 )  =  3 )
1110breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( (
2  +  1 )  <_  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
128, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
1312biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  ->  3  <_  (
# `  A )
) )
1413adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
155, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
16 3re 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
1716rexri 9658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR*
18 pnfge 11351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR*  ->  3  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_ +oo
20 hashinf 12390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2119, 20syl5breqr 4489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  3  <_  ( # `
 A ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
2515, 24pm2.61i 164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (pmTrsp `  A )  =  (pmTrsp `  A )
2726pmtr3ncom 16373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. x  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
28 rexcom 3028 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  <->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
3025, 29syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
31 ssrexv 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
)  ->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) ) )
3231reximdv 2941 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
334, 30, 32mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
34 ssrexv 3570 . . . . . . 7  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  (
Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x ) ) )
354, 33, 34mpsyl 63 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
372, 3, 36symgov 16287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
3837adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
39 pm3.22 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
) )
412, 3, 36symgov 16287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y  o.  x
) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( y  o.  x ) )
4338, 42neeq12d 2746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) ) )
44432rexbidva 2984 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
4535, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
46 rexnal 2915 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
47 rexnal 2915 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
48 df-ne 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
4948bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5049rexbii 2969 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5147, 50bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5251rexbii 2969 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5346, 52bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5445, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
5554intnand 914 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
5655intnand 914 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
57 df-nel 2665 . . 3  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  G  e.  Abel )
58 isabl 16675 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
593, 36iscmn 16678 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
6059anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6158, 60bitri 249 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6257, 61xchbinx 310 . 2  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6356, 62sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    e/ wnel 2663   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ran crn 5006    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   2c2 10597   3c3 10598   NN0cn0 10807   #chash 12385   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925   SymGrpcsymg 16274  pmTrspcpmtr 16339  CMndccmn 16671   Abelcabl 16672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-cmn 16673  df-abl 16674
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