Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrpgt2nabl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pgrpgt2nabl 40204
 Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabl

Proof of Theorem pgrpgt2nabl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . . . 8 pmTrsp pmTrsp
2 pgrple2abl.g . . . . . . . 8
3 eqid 2451 . . . . . . . 8
41, 2, 3symgtrf 17110 . . . . . . 7 pmTrsp
5 hashcl 12538 . . . . . . . . . . 11
6 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 nn0ltp1le 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15
86, 7mpan 676 . . . . . . . . . . . . . 14
9 2p1e3 10733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . 14
128, 11bitrd 257 . . . . . . . . . . . . 13
1312biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12
1413adantld 469 . . . . . . . . . . 11
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
16 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716rexri 9693 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
20 hashinf 12520 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20syl5breqr 4439 . . . . . . . . . . . . 13
2221ex 436 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 467 . . . . . . . . . . 11
2423com12 32 . . . . . . . . . 10
2515, 24pm2.61i 168 . . . . . . . . 9
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 pmTrsp pmTrsp
2726pmtr3ncom 17116 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp
28 rexcom 2952 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
2927, 28sylibr 216 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
3025, 29syldan 473 . . . . . . . 8 pmTrsp pmTrsp
31 ssrexv 3494 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
3231reximdv 2861 . . . . . . . 8 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
334, 30, 32mpsyl 65 . . . . . . 7 pmTrsp
34 ssrexv 3494 . . . . . . 7 pmTrsp pmTrsp
354, 33, 34mpsyl 65 . . . . . 6
36 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
372, 3, 36symgov 17031 . . . . . . . . 9
3837adantl 468 . . . . . . . 8
39 pm3.22 451 . . . . . . . . . 10
4039adantl 468 . . . . . . . . 9
412, 3, 36symgov 17031 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8
4338, 42neeq12d 2685 . . . . . . 7
44432rexbidva 2907 . . . . . 6
4535, 44mpbird 236 . . . . 5
46 rexnal 2836 . . . . . 6
47 rexnal 2836 . . . . . . . 8
48 df-ne 2624 . . . . . . . . . 10
4948bicomi 206 . . . . . . . . 9
5049rexbii 2889 . . . . . . . 8
5147, 50bitr3i 255 . . . . . . 7
5251rexbii 2889 . . . . . 6
5346, 52bitr3i 255 . . . . 5
5445, 53sylibr 216 . . . 4
5554intnand 927 . . 3
5655intnand 927 . 2
57 df-nel 2625 . . 3
58 isabl 17434 . . . 4 CMnd
593, 36iscmn 17437 . . . . 5 CMnd
6059anbi2i 700 . . . 4 CMnd
6158, 60bitri 253 . . 3
6257, 61xchbinx 312 . 2
6356, 62sylibr 216 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   wnel 2623  wral 2737  wrex 2738   wss 3404   class class class wbr 4402   crn 4835   ccom 4838  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  c1 9540   caddc 9542   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676  c2 10659  c3 10660  cn0 10869  chash 12515  cbs 15121   cplusg 15190  cmnd 16535  cgrp 16669  csymg 17018  pmTrspcpmtr 17082  CMndccmn 17430  cabl 17431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-symg 17019  df-pmtr 17083  df-cmn 17432  df-abl 17433 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator