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Theorem pgrpgt2nabl 38924
Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabl  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )

Proof of Theorem pgrpgt2nabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ran  (pmTrsp `  A )  =  ran  (pmTrsp `  A )
2 pgrple2abl.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
3 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 17054 . . . . . . 7  |-  ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G )
5 hashcl 12524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
6 2nn0 10875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
7 nn0ltp1le 10983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  ( # `
 A )  <->  ( 2  +  1 )  <_ 
( # `  A ) ) )
86, 7mpan 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  ( 2  +  1 )  <_  ( # `
 A ) ) )
9 2p1e3 10722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  +  1 )  =  3 )
1110breq1d 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( (
2  +  1 )  <_  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
128, 11bitrd 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
1312biimpd 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  ->  3  <_  (
# `  A )
) )
1413adantld 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
16 3re 10672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
1716rexri 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR*
18 pnfge 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR*  ->  3  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_ +oo
20 hashinf 12506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2119, 20syl5breqr 4453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  3  <_  ( # `
 A ) )
2221ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2423com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
2515, 24pm2.61i 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) )
26 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  (pmTrsp `  A )  =  (pmTrsp `  A )
2726pmtr3ncom 17060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. x  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
28 rexcom 2988 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  <->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) )
2927, 28sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
3025, 29syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
31 ssrexv 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
)  ->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) ) )
3231reximdv 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
334, 30, 32mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
34 ssrexv 3523 . . . . . . 7  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  (
Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x ) ) )
354, 33, 34mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
36 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
372, 3, 36symgov 16975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
3837adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
39 pm3.22 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
4039adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
) )
412, 3, 36symgov 16975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y  o.  x
) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( y  o.  x ) )
4338, 42neeq12d 2701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) ) )
44432rexbidva 2943 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
4535, 44mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
46 rexnal 2871 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
47 rexnal 2871 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
48 df-ne 2618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
4948bicomi 205 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5049rexbii 2925 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5147, 50bitr3i 254 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5251rexbii 2925 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5346, 52bitr3i 254 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5445, 53sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
5554intnand 924 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
5655intnand 924 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
57 df-nel 2619 . . 3  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  G  e.  Abel )
58 isabl 17362 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
593, 36iscmn 17365 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
6059anbi2i 698 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6158, 60bitri 252 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6257, 61xchbinx 311 . 2  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6356, 62sylibr 215 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616    e/ wnel 2617   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   class class class wbr 4417   ran crn 4846    o. ccom 4849   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   1c1 9529    + caddc 9531   +oocpnf 9661   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   2c2 10648   3c3 10649   NN0cn0 10858   #chash 12501   Basecbs 15073   +g cplusg 15142   Mndcmnd 16479   Grpcgrp 16613   SymGrpcsymg 16962  pmTrspcpmtr 17026  CMndccmn 17358   Abelcabl 17359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-tset 15161  df-symg 16963  df-pmtr 17027  df-cmn 17360  df-abl 17361
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