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Theorem pgrpgt2nabl 40204
Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabl  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )

Proof of Theorem pgrpgt2nabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ran  (pmTrsp `  A )  =  ran  (pmTrsp `  A )
2 pgrple2abl.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
3 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 17110 . . . . . . 7  |-  ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G )
5 hashcl 12538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
6 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
7 nn0ltp1le 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  ( # `
 A )  <->  ( 2  +  1 )  <_ 
( # `  A ) ) )
86, 7mpan 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  ( 2  +  1 )  <_  ( # `
 A ) ) )
9 2p1e3 10733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  +  1 )  =  3 )
1110breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( (
2  +  1 )  <_  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
128, 11bitrd 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
1312biimpd 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  ->  3  <_  (
# `  A )
) )
1413adantld 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
16 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
1716rexri 9693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR*
18 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR*  ->  3  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_ +oo
20 hashinf 12520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2119, 20syl5breqr 4439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  3  <_  ( # `
 A ) )
2221ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2423com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
2515, 24pm2.61i 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) )
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (pmTrsp `  A )  =  (pmTrsp `  A )
2726pmtr3ncom 17116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. x  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
28 rexcom 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  <->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) )
2927, 28sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
3025, 29syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
31 ssrexv 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
)  ->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) ) )
3231reximdv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
334, 30, 32mpsyl 65 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
34 ssrexv 3494 . . . . . . 7  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  (
Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x ) ) )
354, 33, 34mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
36 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
372, 3, 36symgov 17031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
3837adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
39 pm3.22 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
4039adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
) )
412, 3, 36symgov 17031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y  o.  x
) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( y  o.  x ) )
4338, 42neeq12d 2685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) ) )
44432rexbidva 2907 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
4535, 44mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
46 rexnal 2836 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
47 rexnal 2836 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
48 df-ne 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
4948bicomi 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5049rexbii 2889 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5147, 50bitr3i 255 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5251rexbii 2889 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5346, 52bitr3i 255 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5445, 53sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
5554intnand 927 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
5655intnand 927 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
57 df-nel 2625 . . 3  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  G  e.  Abel )
58 isabl 17434 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
593, 36iscmn 17437 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
6059anbi2i 700 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6158, 60bitri 253 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6257, 61xchbinx 312 . 2  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6356, 62sylibr 216 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   class class class wbr 4402   ran crn 4835    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   1c1 9540    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   2c2 10659   3c3 10660   NN0cn0 10869   #chash 12515   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669   SymGrpcsymg 17018  pmTrspcpmtr 17082  CMndccmn 17430   Abelcabl 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-symg 17019  df-pmtr 17083  df-cmn 17432  df-abl 17433
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