Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrpgt2nabel Structured version   Unicode version

Theorem pgrpgt2nabel 30909
Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abel.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabel  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )

Proof of Theorem pgrpgt2nabel
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ran  (pmTrsp `  A )  =  ran  (pmTrsp `  A )
2 pgrple2abel.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
3 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 16077 . . . . . . 7  |-  ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G )
5 hashcl 12227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
6 2nn0 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
7 nn0ltp1le 10803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  ( # `
 A )  <->  ( 2  +  1 )  <_ 
( # `  A ) ) )
86, 7mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  ( 2  +  1 )  <_  ( # `
 A ) ) )
9 2p1e3 10546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  +  1 )  =  3 )
1110breq1d 4400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( (
2  +  1 )  <_  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
128, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
1312biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  ->  3  <_  (
# `  A )
) )
1413adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
155, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
16 3re 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
1716rexri 9537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR*
18 pnfge 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR*  ->  3  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_ +oo
20 hashinf 12209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2119, 20syl5breqr 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  3  <_  ( # `
 A ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
2515, 24pm2.61i 164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) )
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (pmTrsp `  A )  =  (pmTrsp `  A )
2726pmtr3ncom 16083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. x  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
28 rexcom 2978 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  <->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
3025, 29syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
31 ssrexv 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
)  ->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) ) )
3231reximdv 2923 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
334, 30, 32mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
34 ssrexv 3515 . . . . . . 7  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  (
Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x ) ) )
354, 33, 34mpsyl 63 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
36 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
372, 3, 36symgov 15997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
3837adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
39 pm3.22 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
) )
412, 3, 36symgov 15997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y  o.  x
) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( y  o.  x ) )
4338, 42neeq12d 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) ) )
44432rexbidva 2860 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
4535, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
46 rexnal 2865 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
47 rexnal 2865 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
48 df-ne 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
4948bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5049rexbii 2847 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5147, 50bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5251rexbii 2847 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5346, 52bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5445, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
5554intnand 907 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
5655intnand 907 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
57 df-nel 2647 . . 3  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  G  e.  Abel )
58 isabl 16385 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
593, 36iscmn 16388 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
6059anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6158, 60bitri 249 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6257, 61xchbinx 310 . 2  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6356, 62sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    e/ wnel 2645   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3426   class class class wbr 4390   ran crn 4939    o. ccom 4942   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Fincfn 7410   1c1 9384    + caddc 9386   +oocpnf 9516   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520   2c2 10472   3c3 10473   NN0cn0 10680   #chash 12204   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   Mndcmnd 15511   Grpcgrp 15512   SymGrpcsymg 15984  pmTrspcpmtr 16049  CMndccmn 16381   Abelcabel 16382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-hash 12205  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-tset 14359  df-symg 15985  df-pmtr 16050  df-cmn 16383  df-abl 16384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator