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Theorem pgrpgt2nabel 31899
Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abel.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabel  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )

Proof of Theorem pgrpgt2nabel
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ran  (pmTrsp `  A )  =  ran  (pmTrsp `  A )
2 pgrple2abel.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
3 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 16283 . . . . . . 7  |-  ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G )
5 hashcl 12383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
6 2nn0 10801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
7 nn0ltp1le 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  ( # `
 A )  <->  ( 2  +  1 )  <_ 
( # `  A ) ) )
86, 7mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  ( 2  +  1 )  <_  ( # `
 A ) ) )
9 2p1e3 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  +  1 )  =  3 )
1110breq1d 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( (
2  +  1 )  <_  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
128, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  <->  3  <_  ( # `
 A ) ) )
1312biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 2  <  ( # `  A
)  ->  3  <_  (
# `  A )
) )
1413adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
155, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
16 3re 10598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
1716rexri 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR*
18 pnfge 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR*  ->  3  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_ +oo
20 hashinf 12365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2119, 20syl5breqr 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  3  <_  ( # `
 A ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  3  <_  ( # `  A
) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  -> 
3  <_  ( # `  A
) ) )
2515, 24pm2.61i 164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  3  <_  ( # `  A
) )
26 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  (pmTrsp `  A )  =  (pmTrsp `  A )
2726pmtr3ncom 16289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. x  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
28 rexcom 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  <->  E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  3  <_  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
3025, 29syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e. 
ran  (pmTrsp `  A )
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) )
31 ssrexv 3558 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
)  ->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) ) )
3231reximdv 2930 . . . . . . . 8  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ran  (pmTrsp `  A
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
334, 30, 32mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
34 ssrexv 3558 . . . . . . 7  |-  ( ran  (pmTrsp `  A )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( E. x  e.  ran  (pmTrsp `  A ) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x )  ->  E. x  e.  (
Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x ) ) )
354, 33, 34mpsyl 63 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x  o.  y )  =/=  (
y  o.  x ) )
36 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
372, 3, 36symgov 16203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
3837adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
39 pm3.22 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
) )
412, 3, 36symgov 16203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y  o.  x
) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( y  o.  x ) )
4338, 42neeq12d 2739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <-> 
( x  o.  y
)  =/=  ( y  o.  x ) ) )
44432rexbidva 2972 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x  o.  y )  =/=  ( y  o.  x
) ) )
4535, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  G
) E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
46 rexnal 2905 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
47 rexnal 2905 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
48 df-ne 2657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
4948bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5049rexbii 2958 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( Base `  G )  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5147, 50bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  e.  (
Base `  G )
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =/=  (
y ( +g  `  G
) x ) )
5251rexbii 2958 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( Base `  G )  -.  A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5346, 52bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  E. x  e.  ( Base `  G ) E. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =/=  ( y ( +g  `  G ) x ) )
5445, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
5554intnand 909 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
5655intnand 909 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
57 df-nel 2658 . . 3  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  G  e.  Abel )
58 isabl 16591 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
593, 36iscmn 16594 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
6059anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6158, 60bitri 249 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6257, 61xchbinx 310 . 2  |-  ( G  e/  Abel  <->  -.  ( G  e.  Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
6356, 62sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  2  <  ( # `  A
) )  ->  G  e/  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    e/ wnel 2656   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ran crn 4993    o. ccom 4996   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   1c1 9482    + caddc 9484   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   2c2 10574   3c3 10575   NN0cn0 10784   #chash 12360   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   Mndcmnd 15715   Grpcgrp 15716   SymGrpcsymg 16190  pmTrspcpmtr 16255  CMndccmn 16587   Abelcabel 16588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-symg 16191  df-pmtr 16256  df-cmn 16589  df-abl 16590
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