Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrpgt2nabel Structured version   Unicode version

Theorem pgrpgt2nabel 31899
 Description: Every symmetric group on a set with more than 2 elements is not abelian, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abel.g
Assertion
Ref Expression
pgrpgt2nabel

Proof of Theorem pgrpgt2nabel
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . . . . 8 pmTrsp pmTrsp
2 pgrple2abel.g . . . . . . . 8
3 eqid 2460 . . . . . . . 8
41, 2, 3symgtrf 16283 . . . . . . 7 pmTrsp
5 hashcl 12383 . . . . . . . . . . 11
6 2nn0 10801 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 nn0ltp1le 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15
86, 7mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14
9 2p1e3 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110breq1d 4450 . . . . . . . . . . . . . 14
128, 11bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13
1312biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12
1413adantld 467 . . . . . . . . . . 11
155, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
16 3re 10598 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716rexri 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 pnfge 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
20 hashinf 12365 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20syl5breqr 4476 . . . . . . . . . . . . 13
2221ex 434 . . . . . . . . . . . 12
2322adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2423com12 31 . . . . . . . . . 10
2515, 24pm2.61i 164 . . . . . . . . 9
26 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11 pmTrsp pmTrsp
2726pmtr3ncom 16289 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp
28 rexcom 3016 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
3025, 29syldan 470 . . . . . . . 8 pmTrsp pmTrsp
31 ssrexv 3558 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
3231reximdv 2930 . . . . . . . 8 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmTrsp
334, 30, 32mpsyl 63 . . . . . . 7 pmTrsp
34 ssrexv 3558 . . . . . . 7 pmTrsp pmTrsp
354, 33, 34mpsyl 63 . . . . . 6
36 eqid 2460 . . . . . . . . . 10
372, 3, 36symgov 16203 . . . . . . . . 9
3837adantl 466 . . . . . . . 8
39 pm3.22 449 . . . . . . . . . 10
4039adantl 466 . . . . . . . . 9
412, 3, 36symgov 16203 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8
4338, 42neeq12d 2739 . . . . . . 7
44432rexbidva 2972 . . . . . 6
4535, 44mpbird 232 . . . . 5
46 rexnal 2905 . . . . . 6
47 rexnal 2905 . . . . . . . 8
48 df-ne 2657 . . . . . . . . . 10
4948bicomi 202 . . . . . . . . 9
5049rexbii 2958 . . . . . . . 8
5147, 50bitr3i 251 . . . . . . 7
5251rexbii 2958 . . . . . 6
5346, 52bitr3i 251 . . . . 5
5445, 53sylibr 212 . . . 4
5554intnand 909 . . 3
5655intnand 909 . 2
57 df-nel 2658 . . 3
58 isabl 16591 . . . 4 CMnd
593, 36iscmn 16594 . . . . 5 CMnd
6059anbi2i 694 . . . 4 CMnd
6158, 60bitri 249 . . 3
6257, 61xchbinx 310 . 2
6356, 62sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762   wne 2655   wnel 2656  wral 2807  wrex 2808   wss 3469   class class class wbr 4440   crn 4993   ccom 4996  cfv 5579  (class class class)co 6275  cfn 7506  c1 9482   caddc 9484   cpnf 9614  cxr 9616   clt 9617   cle 9618  c2 10574  c3 10575  cn0 10784  chash 12360  cbs 14479   cplusg 14544  cmnd 15715  cgrp 15716  csymg 16190  pmTrspcpmtr 16255  CMndccmn 16587  cabel 16588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-symg 16191  df-pmtr 16256  df-cmn 16589  df-abl 16590 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator