Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfi1 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfi1 16408
 Description: A finite group with order a power of a prime is a -group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi1.1
Assertion
Ref Expression
pgpfi1 pGrp

Proof of Theorem pgpfi1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1000 . . 3
2 simpl1 999 . . 3
3 simpll3 1037 . . . . . 6
42adantr 465 . . . . . . . 8
5 simplr 754 . . . . . . . . . 10
61adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
7 prmnn 14072 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12
98, 3nnexpcld 12293 . . . . . . . . . . 11
109nnnn0d 10848 . . . . . . . . . 10
115, 10eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9
12 pgpfi1.1 . . . . . . . . . . 11
13 fvex 5874 . . . . . . . . . . 11
1412, 13eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10
15 hashclb 12392 . . . . . . . . . 10
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1711, 16sylibr 212 . . . . . . . 8
18 simpr 461 . . . . . . . 8
19 eqid 2467 . . . . . . . . 9
2012, 19oddvds2 16381 . . . . . . . 8
214, 17, 18, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7
2221, 5breqtrd 4471 . . . . . 6
23 oveq2 6290 . . . . . . . 8
2423breq2d 4459 . . . . . . 7
2524rspcev 3214 . . . . . 6
263, 22, 25syl2anc 661 . . . . 5
2712, 19odcl2 16380 . . . . . . 7
284, 17, 18, 27syl3anc 1228 . . . . . 6
29 pcprmpw2 14257 . . . . . . 7
30 pcprmpw 14258 . . . . . . 7
3129, 30bitr4d 256 . . . . . 6
326, 28, 31syl2anc 661 . . . . 5
3326, 32mpbid 210 . . . 4
3433ralrimiva 2878 . . 3
3512, 19ispgp 16405 . . 3 pGrp
361, 2, 34, 35syl3anbrc 1180 . 2 pGrp
3736ex 434 1 pGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cfn 7513  cn 10532  cn0 10791  cexp 12129  chash 12367   cdivides 13840  cprime 14069   cpc 14212  cbs 14483  cgrp 15720  cod 16342   pGrp cpgp 16344 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-dvds 13841  df-gcd 13997  df-prm 14070  df-pc 14213  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-eqg 15992  df-od 16346  df-pgp 16348 This theorem is referenced by:  pgp0  16409  pgpfi  16418
 Copyright terms: Public domain W3C validator