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Theorem pgpfi 16109
Description: The converse to pgpfi1 16099. A finite group is a  P-group iff it has size some power of  P. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
pgpfi  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    P, n    n, X

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables  g  m  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2ispgp 16096 . . 3  |-  ( P pGrp 
G  <->  ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )
4 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  Prime )
51grpbn0 15572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  =/=  (/) )
7 hashnncl 12139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
87ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
96, 8mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
104, 9pccld 13922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  NN0 )
1110nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  RR )
1211leidd 9911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )
1310nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )
14 pcid 13944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
154, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
1612, 15breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
1918oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
2018oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
2117, 19, 203brtr4d 4327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
22 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  G  e.  Grp )
23 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  e.  Fin )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  X  e.  Fin )
25 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  e.  Prime )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  ||  ( # `  X
) )
271, 2odcau 16108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
2822, 24, 25, 26, 27syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
2925adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  Prime )
30 prmz 13772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
31 iddvds 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ZZ  ->  p  ||  p )
3229, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  p
)
33 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
3432, 33breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  (
( od `  G
) `  g )
)
35 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )
36 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  g  ->  (
( od `  G
) `  x )  =  ( ( od
`  G ) `  g ) )
3736eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  g  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
3837rexbidv 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  g  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
3938rspccva 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4035, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4140ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) )
424ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  P  e.  Prime )
43 prmnn 13771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4429, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  NN )
4533, 44eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  e.  NN )
46 pcprmpw 13954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  g )  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4742, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 g )  =  ( P ^ m
)  <->  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4841, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) )
4934, 48breqtrd 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od `  G
) `  g )
) ) )
5042, 45pccld 13922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )
51 prmdvdsexpr 13807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5229, 42, 50, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  =  P )
5428, 53rexlimddv 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  =  P )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( # `
 X )  ->  p  =  P )
)
5655necon3ad 2649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  =/=  P  ->  -.  p  ||  ( # `
 X ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  -.  p  ||  ( # `  X ) )
58 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  p  e.  Prime )
599ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( # `  X )  e.  NN )
60 pceq0 13942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( ( p  pCnt  (
# `  X )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6257, 61mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0 )
63 prmnn 13771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  NN )
6564, 10nnexpcld 12034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  NN )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  NN )
6758, 66pccld 13922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  e. 
NN0 )
6867nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
6962, 68eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7021, 69pm2.61dane 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7170ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
72 hashcl 12131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
7372ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
7473nn0zd 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  ZZ )
7565nnzd 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  ZZ )
76 pc2dvds 13950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  X
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( # `  X
) )  <_  (
p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) ) )
7871, 77mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  ||  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
79 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )
8079breq2d 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ n )  <-> 
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
8180rspcev 3078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n ) )
8210, 78, 81syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  ||  ( P ^ n ) )
83 pcprmpw2 13953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
84 pcprmpw 13954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
8583, 84bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
864, 9, 85syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  ||  ( P ^ n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
8782, 86mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
884, 87jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
89883adantr2 1148 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
9089ex 434 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
913, 90syl5bi 217 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) ) )
921pgpfi1 16099 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( # `  X )  =  ( P ^
n )  ->  P pGrp  G ) )
93923expia 1189 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) ) )
9493rexlimdv 2845 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) )
9594expimpd 603 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )  ->  P pGrp  G ) )
9695adantr 465 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )  ->  P pGrp  G )
)
9791, 96impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   (/)c0 3642   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   0cc0 9287    <_ cle 9424   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ^cexp 11870   #chash 12108    || cdivides 13540   Primecprime 13768    pCnt cpc 13908   Basecbs 14179   Grpcgrp 15415   odcod 16033   pGrp cpgp 16035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-eqg 15685  df-ga 15813  df-od 16037  df-pgp 16039
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