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Theorem pgpfi 17256
Description: The converse to pgpfi1 17246. A finite group is a  P-group iff it has size some power of  P. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgpfi.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
pgpfi  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, G    P, n    n, X

Proof of Theorem pgpfi
Dummy variables  g  m  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfi.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2422 . . . 4  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
31, 2ispgp 17243 . . 3  |-  ( P pGrp 
G  <->  ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )
4 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  Prime )
51grpbn0 16694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
65ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  =/=  (/) )
7 hashnncl 12553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
87ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
96, 8mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
104, 9pccld 14799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  NN0 )
1110nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  RR )
1211leidd 10187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )
1310nn0zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )
14 pcid 14821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
154, 13, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
1612, 15breqtrrd 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  pCnt  ( # `  X
) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
1716ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( P  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
18 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
1918oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
) )
2018oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( P  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
2117, 19, 203brtr4d 4454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =  P )  ->  ( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
22 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  G  e.  Grp )
23 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  X  e.  Fin )
2423ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  X  e.  Fin )
25 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  e.  Prime )
26 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  ||  ( # `  X
) )
271, 2odcau 17255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
2822, 24, 25, 26, 27syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  E. g  e.  X  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
2925adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  Prime )
30 prmz 14625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
31 iddvds 14315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ZZ  ->  p  ||  p )
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  p
)
33 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  p )
3432, 33breqtrrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  (
( od `  G
) `  g )
)
35 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )
36 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  g  ->  (
( od `  G
) `  x )  =  ( ( od
`  G ) `  g ) )
3736eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  g  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
3837rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  g  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  <->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) ) )
3938rspccva 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4035, 39sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  g  e.  X )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m ) )
4140ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  E. m  e.  NN0  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ m ) )
424ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  P  e.  Prime )
43 prmnn 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4429, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  e.  NN )
4533, 44eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  e.  NN )
46 pcprmpw 14831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  g )  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  g
)  =  ( P ^ m )  <->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4742, 45, 46syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 g )  =  ( P ^ m
)  <->  ( ( od
`  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) ) )
4841, 47mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( ( od `  G ) `  g )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) ) )
4934, 48breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od `  G
) `  g )
) ) )
5042, 45pccld 14799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )
51 prmdvdsexpr 14668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  P  e.  Prime  /\  ( P  pCnt  ( ( od `  G ) `  g
) )  e.  NN0 )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5229, 42, 50, 51syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  ( p  ||  ( P ^ ( P  pCnt  ( ( od
`  G ) `  g ) ) )  ->  p  =  P ) )
5349, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  /\  (
g  e.  X  /\  ( ( od `  G ) `  g
)  =  p ) )  ->  p  =  P )
5428, 53rexlimddv 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  ||  ( # `  X
) )  ->  p  =  P )
5554ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( # `
 X )  ->  p  =  P )
)
5655necon3ad 2630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  =/=  P  ->  -.  p  ||  ( # `
 X ) ) )
5756imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  -.  p  ||  ( # `  X ) )
58 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  ->  p  e.  Prime )
599ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( # `  X )  e.  NN )
60 pceq0 14819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( ( p  pCnt  (
# `  X )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( # `  X
) ) )
6257, 61mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  =  0 )
63 prmnn 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
6463ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  P  e.  NN )
6564, 10nnexpcld 12443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  NN )
6665ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  NN )
6758, 66pccld 14799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  e. 
NN0 )
6867nn0ge0d 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
6962, 68eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  p  =/=  P )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7021, 69pm2.61dane 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( # `
 X ) )  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
7170ralrimiva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
72 hashcl 12544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
7372ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
7473nn0zd 11045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  e.  ZZ )
7565nnzd 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) )  e.  ZZ )
76 pc2dvds 14827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  X
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( # `  X
) )  <_  (
p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (
# `  X )
)  <_  ( p  pCnt  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) ) )
7871, 77mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( # `  X
)  ||  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
79 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )
8079breq2d 4435 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P  pCnt  (
# `  X )
)  ->  ( ( # `
 X )  ||  ( P ^ n )  <-> 
( # `  X ) 
||  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
8180rspcev 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0  /\  ( # `
 X )  ||  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  X
) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n ) )
8210, 78, 81syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  ||  ( P ^ n ) )
83 pcprmpw2 14830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
84 pcprmpw 14831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n )  <->  ( # `  X
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
8583, 84bitr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X ) 
||  ( P ^
n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
864, 9, 85syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  X )  ||  ( P ^ n )  <->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
8782, 86mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
884, 87jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) )
89883adantr2 1165 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  /\  ( P  e.  Prime  /\  G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `
 x )  =  ( P ^ m
) ) )  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
9089ex 435 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  E. m  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  =  ( P ^ m ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
913, 90syl5bi 220 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  -> 
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) ) )
921pgpfi1 17246 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( # `  X )  =  ( P ^
n )  ->  P pGrp  G ) )
93923expia 1207 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) ) )
9493rexlimdv 2912 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  P pGrp  G ) )
9594expimpd 606 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )  ->  P pGrp  G ) )
9695adantr 466 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( ( P  e. 
Prime  /\  E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )  ->  P pGrp  G )
)
9791, 96impbid 193 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   0cc0 9546    <_ cle 9683   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ^cexp 12278   #chash 12521    || cdvds 14304   Primecprime 14621    pCnt cpc 14785   Basecbs 15120   Grpcgrp 16668   odcod 17164   pGrp cpgp 17168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-eqg 16815  df-ga 16943  df-od 17171  df-pgp 17175
This theorem is referenced by:  pgpfi2  17257  sylow2alem2  17269  slwhash  17275  fislw  17276
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