MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem5 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac1lem5 17328
Description: Lemma for pgpfac1 17329 (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t, s,  .0.    A, s, t    .(+) , s, t    P, s, t    B, s, t    G, s, t    U, s, t    S, s, t    ph, s, t    K, s, t
Allowed substitution hints:    E( t, s)    O( t, s)

Proof of Theorem pgpfac1lem5
Dummy variables  b  u  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
2 pwfi 7807 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  <->  ~P B  e.  Fin )
31, 2sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  Fin )
43adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  ~P B  e.  Fin )
5 pgpfac1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgss 16404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  (SubGrp `  G
)  ->  v  C_  B )
763ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  C_  B )
8 selpw 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P B  <->  v  C_  B )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  e.  ~P B )
109rabssdv 3566 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )
11 ssfi 7733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  Fin  /\ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
124, 10, 11syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
13 finnum 8320 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
16 pgpfac1.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
17 ablgrp 17005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
195subgacs 16438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
20 acsmre 15144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
22 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
235subgss 16404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
25 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2624, 25sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
27 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2827mrcsncl 15104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
2921, 26, 28syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
3015, 29syl5eqel 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3130adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
32 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  S  C.  U
)
3325snssd 4161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { A }  C_  U )
3433, 24sstrd 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
3521, 27, 34mrcssidd 15117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
3635, 15syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
37 snssg 4149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
3936, 38mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4039adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  A  e.  S )
41 psseq1 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  (
v  C.  U  <->  S  C.  U
) )
42 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  S ) )
4341, 42anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  S  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( S  C.  U  /\  A  e.  S
) ) )
4443rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( S  C.  U  /\  A  e.  S ) )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4531, 32, 40, 44syl12anc 1224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )
46 rabn0 3804 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4745, 46sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/) )
48 simpr1 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
49 simpr2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  =/=  (/) )
5012adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
51 ssfi 7733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  /\  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  u  e.  Fin )
5250, 48, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  e.  Fin )
53 simpr3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  -> [ C.]  Or  u
)
54 fin1a2lem10 8780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  u )
5549, 52, 53, 54syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  u )
5648, 55sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
5756ex 432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  ( (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
5857alrimiv 1724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
59 zornn0g 8876 . . . . . 6  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card  /\  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  /\  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w )
6014, 47, 58, 59syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w
)
61 psseq1 3577 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  C.  U  <->  w  C.  U
) )
62 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  w ) )
6361, 62anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
6463ralrab 3258 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6564rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6660, 65sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6766ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
68 pgpfac1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
69 psseq1 3577 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  (
v  C.  U  <->  s  C.  U
) )
70 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  s ) )
7169, 70anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( v  =  s  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( s  C.  U  /\  A  e.  s ) ) )
7271ralrab 3258 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
7368, 72sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) )
74 r19.29 2989 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )
7571elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )
76 ineq2 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  i^i  t )  =  ( S  i^i  v
) )
7776eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  } ) )
78 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  v ) )
7978eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
v )  =  s ) )
8077, 79anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  v  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s ) ) )
8180cbvrexv 3082 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s ) )
82 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
s  C.  U )
8382ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  s  C.  U
)
84 simpr2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  =  s )
8584psseq1d 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  U 
<->  s  C.  U )
)
8683, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  C.  U
)
87 pssdif 3877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  =/=  (/) )
88 n0 3793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  \  ( S 
.(+)  v ) )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
8987, 88sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
9086, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
91 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( od `  G
)
92 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  (gEx `  G )
93 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
94 pgpfac1.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
95 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
9695ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  P pGrp  G )
9716ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  G  e.  Abel )
981ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  B  e.  Fin )
99 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
10099ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
10122ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G )
)
10225ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A  e.  U )
103 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  v  e.  (SubGrp `  G )
)
104 simprl1 1039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  i^i  v )  =  {  .0.  } )
10586adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C.  U )
106105pssssd 3587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C_  U )
107 simprl3 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
10884adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  =  s )
109 psseq1 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  y  <->  s  C.  y
) )
110109notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y  <->  -.  s  C.  y ) )
111110imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  ( (
y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y
) ) )
112111ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y ) ) )
113 psseq1 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C.  U  <->  w  C.  U
) )
114 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  w ) )
115113, 114anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
116 psseq2 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
s  C.  y  <->  s  C.  w
) )
117116notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  s  C.  y  <->  -.  s  C.  w ) )
118115, 117imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  ( (
w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
119118cbvralv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
120112, 119syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) ) )
121108, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
122107, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y ) )
123 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
124 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12527, 15, 5, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 100, 101, 102, 103, 104, 106, 122, 123, 124pgpfac1lem4 17327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
126125expr 613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
127126exlimdv 1729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
12890, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
1291283exp2 1212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) ) )
130129impd 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
131130rexlimdva 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
13281, 131syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
133132impd 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13475, 133sylan2b 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  (
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
135134rexlimdva 2946 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13674, 135syl5 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13773, 136mpand 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
13867, 137syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
139930subg 16428 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14018, 139syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
141140adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14293subg0cl 16411 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
14330, 142syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
144143snssd 4161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  S )
145144adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  } 
C_  S )
146 sseqin2 3703 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C_  S  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
147145, 146sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
14894lsmss2 16888 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  C_  S )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
14930, 140, 144, 148syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
150149eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U  <->  S  =  U
) )
151150biimpar 483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  }
)  =  U )
152 ineq2 3680 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  {  .0.  }
) )
153152eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } ) )
154 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  {  .0.  } ) )
155154eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )
156153, 155anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) ) )
157156rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
158141, 147, 151, 157syl12anc 1224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
159158ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  =  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
16027mrcsscl 15112 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  U  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  { A } )  C_  U
)
16121, 33, 22, 160syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  C_  U
)
16215, 161syl5eqss 3533 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
163 sspss 3589 . . 3  |-  ( S 
C_  U  <->  ( S  C.  U  \/  S  =  U ) )
164162, 163sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  \/  S  =  U
) )
165138, 159, 164mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461    C. wpss 3462   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    Or wor 4788   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   [ C.] crpss 6552   Fincfn 7509   cardccrd 8307   Basecbs 14719   0gc0g 14932  Moorecmre 15074  mrClscmrc 15075  ACScacs 15077   Grpcgrp 16255  .gcmg 16258  SubGrpcsubg 16397   odcod 16751  gExcgex 16752   pGrp cpgp 16753   LSSumclsm 16856   Abelcabl 17001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-rpss 6553  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-prm 14305  df-pc 14448  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-eqg 16402  df-ga 16530  df-cntz 16557  df-od 16755  df-gex 16756  df-pgp 16757  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003
This theorem is referenced by:  pgpfac1  17329
  Copyright terms: Public domain W3C validator