MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem5 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac1lem5 17647
Description: Lemma for pgpfac1 17648 (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t, s,  .0.    A, s, t    .(+) , s, t    P, s, t    B, s, t    G, s, t    U, s, t    S, s, t    ph, s, t    K, s, t
Allowed substitution hints:    E( t, s)    O( t, s)

Proof of Theorem pgpfac1lem5
Dummy variables  b  u  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
2 pwfi 7875 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  <->  ~P B  e.  Fin )
31, 2sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  Fin )
43adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  ~P B  e.  Fin )
5 pgpfac1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgss 16769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  (SubGrp `  G
)  ->  v  C_  B )
763ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  C_  B )
8 selpw 3992 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P B  <->  v  C_  B )
97, 8sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  e.  ~P B )
109rabssdv 3547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )
11 ssfi 7798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  Fin  /\ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
124, 10, 11syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
13 finnum 8381 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
16 pgpfac1.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
17 ablgrp 17370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
195subgacs 16803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
20 acsmre 15509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
22 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
235subgss 16769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
25 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2624, 25sseldd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
27 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2827mrcsncl 15469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
2921, 26, 28syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
3015, 29syl5eqel 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3130adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
32 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  S  C.  U
)
3325snssd 4148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { A }  C_  U )
3433, 24sstrd 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
3521, 27, 34mrcssidd 15482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
3635, 15syl6sseqr 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
37 snssg 4136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
3936, 38mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4039adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  A  e.  S )
41 psseq1 3558 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  (
v  C.  U  <->  S  C.  U
) )
42 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  S ) )
4341, 42anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  S  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( S  C.  U  /\  A  e.  S
) ) )
4443rspcev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( S  C.  U  /\  A  e.  S ) )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4531, 32, 40, 44syl12anc 1262 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )
46 rabn0 3788 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4745, 46sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/) )
48 simpr1 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
49 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  =/=  (/) )
5012adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
51 ssfi 7798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  /\  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  u  e.  Fin )
5250, 48, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  e.  Fin )
53 simpr3 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  -> [ C.]  Or  u
)
54 fin1a2lem10 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  u )
5549, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  u )
5648, 55sseldd 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
5756ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  ( (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
5857alrimiv 1766 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
59 zornn0g 8933 . . . . . 6  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card  /\  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  /\  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w )
6014, 47, 58, 59syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w
)
61 psseq1 3558 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  C.  U  <->  w  C.  U
) )
62 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  w ) )
6361, 62anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
6463ralrab 3239 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6564rexbii 2934 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6660, 65sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6766ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
68 pgpfac1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
69 psseq1 3558 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  (
v  C.  U  <->  s  C.  U
) )
70 eleq2 2502 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  s ) )
7169, 70anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( v  =  s  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( s  C.  U  /\  A  e.  s ) ) )
7271ralrab 3239 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
7368, 72sylibr 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) )
74 r19.29 2970 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )
7571elrab 3235 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )
76 ineq2 3664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  i^i  t )  =  ( S  i^i  v
) )
7776eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  } ) )
78 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  v ) )
7978eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
v )  =  s ) )
8077, 79anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  v  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s ) ) )
8180cbvrexv 3063 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s ) )
82 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
s  C.  U )
8382ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  s  C.  U
)
84 simpr2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  =  s )
8584psseq1d 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  U 
<->  s  C.  U )
)
8683, 85mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  C.  U
)
87 pssdif 3862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  =/=  (/) )
88 n0 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  \  ( S 
.(+)  v ) )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
8987, 88sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
9086, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
91 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( od `  G
)
92 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  (gEx `  G )
93 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
94 pgpfac1.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
95 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
9695ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  P pGrp  G )
9716ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  G  e.  Abel )
981ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  B  e.  Fin )
99 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
10099ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
10122ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G )
)
10225ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A  e.  U )
103 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  v  e.  (SubGrp `  G )
)
104 simprl1 1050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  i^i  v )  =  {  .0.  } )
10586adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C.  U )
106105pssssd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C_  U )
107 simprl3 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
10884adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  =  s )
109 psseq1 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  y  <->  s  C.  y
) )
110109notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y  <->  -.  s  C.  y ) )
111110imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  ( (
y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y
) ) )
112111ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y ) ) )
113 psseq1 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C.  U  <->  w  C.  U
) )
114 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  w ) )
115113, 114anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
116 psseq2 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
s  C.  y  <->  s  C.  w
) )
117116notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  s  C.  y  <->  -.  s  C.  w ) )
118115, 117imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  ( (
w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
119118cbvralv 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
120112, 119syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) ) )
121108, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
122107, 121mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y ) )
123 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
124 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12527, 15, 5, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 100, 101, 102, 103, 104, 106, 122, 123, 124pgpfac1lem4 17646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
126125expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
127126exlimdv 1771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
12890, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
1291283exp2 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) ) )
130129impd 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
131130rexlimdva 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
13281, 131syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
133132impd 432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13475, 133sylan2b 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  (
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
135134rexlimdva 2924 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13674, 135syl5 33 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13773, 136mpand 679 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
13867, 137syld 45 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
139930subg 16793 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14018, 139syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
141140adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14293subg0cl 16776 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
14330, 142syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
144143snssd 4148 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  S )
145144adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  } 
C_  S )
146 sseqin2 3687 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C_  S  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
147145, 146sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
14894lsmss2 17253 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  C_  S )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
14930, 140, 144, 148syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
150149eqeq1d 2431 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U  <->  S  =  U
) )
151150biimpar 487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  }
)  =  U )
152 ineq2 3664 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  {  .0.  }
) )
153152eqeq1d 2431 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } ) )
154 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  {  .0.  } ) )
155154eqeq1d 2431 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )
156153, 155anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) ) )
157156rspcev 3188 . . . 4  |-  ( ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
158141, 147, 151, 157syl12anc 1262 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
159158ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  =  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
16027mrcsscl 15477 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  U  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  { A } )  C_  U
)
16121, 33, 22, 160syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  C_  U
)
16215, 161syl5eqss 3514 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
163 sspss 3570 . . 3  |-  ( S 
C_  U  <->  ( S  C.  U  \/  S  =  U ) )
164162, 163sylib 199 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  \/  S  =  U
) )
165138, 159, 164mpjaod 382 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442    C. wpss 3443   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    Or wor 4774   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   [ C.] crpss 6584   Fincfn 7577   cardccrd 8368   Basecbs 15084   0gc0g 15297  Moorecmre 15439  mrClscmrc 15440  ACScacs 15442   Grpcgrp 16620  .gcmg 16623  SubGrpcsubg 16762   odcod 17116  gExcgex 17117   pGrp cpgp 17118   LSSumclsm 17221   Abelcabl 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-rpss 6585  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-eqg 16767  df-ga 16895  df-cntz 16922  df-od 17120  df-gex 17121  df-pgp 17122  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368
This theorem is referenced by:  pgpfac1  17648
  Copyright terms: Public domain W3C validator