MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pgpfac1lem5 17790
Description: Lemma for pgpfac1 17791. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t, s,  .0.    A, s, t    .(+) , s, t    P, s, t    B, s, t    G, s, t    U, s, t    S, s, t    ph, s, t    K, s, t
Allowed substitution hints:    E( t, s)    O( t, s)

Proof of Theorem pgpfac1lem5
Dummy variables  b  u  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
2 pwfi 7887 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  <->  ~P B  e.  Fin )
31, 2sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  Fin )
43adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  ~P B  e.  Fin )
5 pgpfac1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgss 16896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  (SubGrp `  G
)  ->  v  C_  B )
763ad2ant2 1052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  C_  B )
8 selpw 3949 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P B  <->  v  C_  B )
97, 8sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  e.  ~P B )
109rabssdv 3495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )
11 ssfi 7810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  Fin  /\ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
124, 10, 11syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
13 finnum 8400 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
16 pgpfac1.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
17 ablgrp 17513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
195subgacs 16930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
20 acsmre 15636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
22 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
235subgss 16896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
25 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2624, 25sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
27 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2827mrcsncl 15596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
2921, 26, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
3015, 29syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3130adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
32 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  S  C.  U
)
3325snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { A }  C_  U )
3433, 24sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
3521, 27, 34mrcssidd 15609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
3635, 15syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
37 snssg 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
3936, 38mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4039adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  A  e.  S )
41 psseq1 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  (
v  C.  U  <->  S  C.  U
) )
42 eleq2 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  S ) )
4341, 42anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  S  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( S  C.  U  /\  A  e.  S
) ) )
4443rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( S  C.  U  /\  A  e.  S ) )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4531, 32, 40, 44syl12anc 1290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )
46 rabn0 3755 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4745, 46sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/) )
48 simpr1 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
49 simpr2 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  =/=  (/) )
5012adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
51 ssfi 7810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  /\  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  u  e.  Fin )
5250, 48, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  e.  Fin )
53 simpr3 1038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  -> [ C.]  Or  u
)
54 fin1a2lem10 8857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  u )
5549, 52, 53, 54syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  u )
5648, 55sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
5756ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  ( (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
5857alrimiv 1781 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
59 zornn0g 8953 . . . . . 6  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card  /\  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  /\  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w )
6014, 47, 58, 59syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w
)
61 psseq1 3506 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  C.  U  <->  w  C.  U
) )
62 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  w ) )
6361, 62anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
6463ralrab 3188 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6564rexbii 2881 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6660, 65sylib 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U
)  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6766ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
68 pgpfac1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
69 psseq1 3506 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  (
v  C.  U  <->  s  C.  U
) )
70 eleq2 2538 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  s ) )
7169, 70anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( v  =  s  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( s  C.  U  /\  A  e.  s ) ) )
7271ralrab 3188 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
7368, 72sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) )
74 r19.29 2912 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )
7571elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )
76 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  i^i  t )  =  ( S  i^i  v
) )
7776eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  } ) )
78 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  v ) )
7978eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
v )  =  s ) )
8077, 79anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  v  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s ) ) )
8180cbvrexv 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s ) )
82 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
s  C.  U )
8382ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  s  C.  U
)
84 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  =  s )
8584psseq1d 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  U 
<->  s  C.  U )
)
8683, 85mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  C.  U
)
87 pssdif 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  =/=  (/) )
88 n0 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  \  ( S 
.(+)  v ) )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
8987, 88sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
9086, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
91 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( od `  G
)
92 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  (gEx `  G )
93 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
94 pgpfac1.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
95 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
9695ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  P pGrp  G )
9716ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  G  e.  Abel )
981ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  B  e.  Fin )
99 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
10099ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
10122ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G )
)
10225ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A  e.  U )
103 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  v  e.  (SubGrp `  G )
)
104 simprl1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  i^i  v )  =  {  .0.  } )
10586adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C.  U )
106105pssssd 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C_  U )
107 simprl3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
10884adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  =  s )
109 psseq1 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  y  <->  s  C.  y
) )
110109notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y  <->  -.  s  C.  y ) )
111110imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  ( (
y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y
) ) )
112111ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y ) ) )
113 psseq1 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C.  U  <->  w  C.  U
) )
114 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  w ) )
115113, 114anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
116 psseq2 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
s  C.  y  <->  s  C.  w
) )
117116notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  s  C.  y  <->  -.  s  C.  w ) )
118115, 117imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  ( (
w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
119118cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
120112, 119syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) ) )
121108, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
122107, 121mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y ) )
123 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
124 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12527, 15, 5, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 100, 101, 102, 103, 104, 106, 122, 123, 124pgpfac1lem4 17789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
126125expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
127126exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
12890, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
1291283exp2 1251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) ) )
130129impd 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
131130rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
13281, 131syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
133132impd 438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13475, 133sylan2b 483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  (
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
135134rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13674, 135syl5 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13773, 136mpand 689 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
13867, 137syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
139930subg 16920 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14018, 139syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
141140adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14293subg0cl 16903 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
14330, 142syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
144143snssd 4108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  S )
145144adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  } 
C_  S )
146 sseqin2 3642 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C_  S  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
147145, 146sylib 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
14894lsmss2 17396 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  C_  S )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
14930, 140, 144, 148syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
150149eqeq1d 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U  <->  S  =  U
) )
151150biimpar 493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  }
)  =  U )
152 ineq2 3619 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  {  .0.  }
) )
153152eqeq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } ) )
154 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  {  .0.  } ) )
155154eqeq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )
156153, 155anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) ) )
157156rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
158141, 147, 151, 157syl12anc 1290 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
159158ex 441 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  =  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
16027mrcsscl 15604 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  U  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  { A } )  C_  U
)
16121, 33, 22, 160syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  C_  U
)
16215, 161syl5eqss 3462 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
163 sspss 3518 . . 3  |-  ( S 
C_  U  <->  ( S  C.  U  \/  S  =  U ) )
164162, 163sylib 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  \/  S  =  U
) )
165138, 159, 164mpjaod 388 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390    C. wpss 3391   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    Or wor 4759   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   [ C.] crpss 6589   Fincfn 7587   cardccrd 8387   Basecbs 15199   0gc0g 15416  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  ACScacs 15569   Grpcgrp 16747  .gcmg 16750  SubGrpcsubg 16889   odcod 17243  gExcgex 17245   pGrp cpgp 17247   LSSumclsm 17364   Abelcabl 17509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ga 17022  df-cntz 17049  df-od 17250  df-gex 17252  df-pgp 17254  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511
This theorem is referenced by:  pgpfac1  17791
  Copyright terms: Public domain W3C validator