Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem4 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac1lem4 17255
 Description: Lemma for pgpfac1 17257. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k mrClsSubGrp
pgpfac1.s
pgpfac1.b
pgpfac1.o
pgpfac1.e gEx
pgpfac1.z
pgpfac1.l
pgpfac1.p pGrp
pgpfac1.g
pgpfac1.n
pgpfac1.oe
pgpfac1.u SubGrp
pgpfac1.au
pgpfac1.w SubGrp
pgpfac1.i
pgpfac1.ss
pgpfac1.2 SubGrp
pgpfac1.c
pgpfac1.mg .g
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 SubGrp
Distinct variable groups:   ,   ,,   , ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 mrClsSubGrp
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 gEx
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 pGrp
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 SubGrp
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 SubGrp
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 SubGrp
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 .g
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 17252 . . . . . . 7
21 ablgrp 16929 . . . . . . . . . . . 12
229, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11
233subgacs 16362 . . . . . . . . . . 11 SubGrp ACS
24 acsmre 15068 . . . . . . . . . . 11 SubGrp ACS SubGrp Moore
2522, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . 10 SubGrp Moore
263subgss 16328 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11
2827, 13sseldd 3500 . . . . . . . . . 10
291mrcsncl 15028 . . . . . . . . . 10 SubGrp Moore SubGrp
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9 SubGrp
312, 30syl5eqel 2549 . . . . . . . 8 SubGrp
327lsmcom 16990 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
339, 31, 14, 32syl3anc 1228 . . . . . . 7
3420, 33eleqtrd 2547 . . . . . 6
35 eqid 2457 . . . . . . 7
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 16797 . . . . . 6
3734, 36mpbid 210 . . . . 5
38 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
393, 19, 38, 1cycsubg2 16364 . . . . . . . . . 10
4022, 28, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9
412, 40syl5eq 2510 . . . . . . . 8
4241rexeqdv 3061 . . . . . . 7
43 ovex 6324 . . . . . . . . 9
4443rgenw 2818 . . . . . . . 8
45 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
4645eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
4738, 46rexrnmpt 6042 . . . . . . . 8
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7
4942, 48syl6bb 261 . . . . . 6
5049rexbidv 2968 . . . . 5
5137, 50mpbid 210 . . . 4
52 rexcom 3019 . . . 4
5351, 52sylib 196 . . 3
5422ad2antrr 725 . . . . . . . 8
553subgss 16328 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5614, 55syl 16 . . . . . . . . . 10
5756adantr 465 . . . . . . . . 9
5857sselda 3499 . . . . . . . 8
59 simplr 755 . . . . . . . . 9
6028ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
613, 19mulgcl 16285 . . . . . . . . 9
6254, 59, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . . 8
63 pgpprm 16739 . . . . . . . . . . 11 pGrp
64 prmz 14232 . . . . . . . . . . 11
658, 63, 643syl 20 . . . . . . . . . 10
6618eldifad 3483 . . . . . . . . . . 11
6727, 66sseldd 3500 . . . . . . . . . 10
683, 19mulgcl 16285 . . . . . . . . . 10
6922, 65, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
7069ad2antrr 725 . . . . . . . 8
71 eqid 2457 . . . . . . . . 9
723, 71, 35grpsubadd 16252 . . . . . . . 8
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1230 . . . . . . 7
74 eqcom 2466 . . . . . . 7
75 eqcom 2466 . . . . . . 7
7673, 74, 753bitr4g 288 . . . . . 6
7776rexbidva 2965 . . . . 5
78 risset 2982 . . . . 5
7977, 78syl6bbr 263 . . . 4
8079rexbidva 2965 . . 3
8153, 80mpbid 210 . 2
828adantr 465 . . 3 pGrp
839adantr 465 . . 3
8410adantr 465 . . 3
8511adantr 465 . . 3
8612adantr 465 . . 3 SubGrp
8713adantr 465 . . 3
8814adantr 465 . . 3 SubGrp
8915adantr 465 . . 3
9016adantr 465 . . 3
9117adantr 465 . . 3 SubGrp
9218adantr 465 . . 3
93 simprl 756 . . 3
94 simprr 757 . . 3
95 eqid 2457 . . 3
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 17254 . 2 SubGrp
9781, 96rexlimddv 2953 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cdif 3468   cin 3470   wss 3471   wpss 3472  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  cfn 7535   cdiv 10227  cz 10885  cprime 14228  cbs 14643   cplusg 14711  c0g 14856  Moorecmre 14998  mrClscmrc 14999  ACScacs 15001  cgrp 16179  csg 16181  .gcmg 16182  SubGrpcsubg 16321  cod 16675  gExcgex 16676   pGrp cpgp 16677  clsm 16780  cabl 16925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-eqg 16326  df-ga 16454  df-cntz 16481  df-od 16679  df-gex 16680  df-pgp 16681  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927 This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  17256
 Copyright terms: Public domain W3C validator