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Theorem pgpfac1lem3 16564
Description: Lemma for pgpfac1 16567. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w )
)
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
pgpfac1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
pgpfac1.mw  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
pgpfac1.d  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    w, t, A    t, D, w    t,  .(+) , w    t, P, w    t, B    t, G, w    t, U, w   
t, C, w    t, S, w    t, W, w    ph, t, w    t,  .x. , w    t, K, w
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w, t)    M( w, t)    O( w, t)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables  b  x  y  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 pgpfac1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
3 ablgrp 16271 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5 pgpfac1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgacs 15705 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
7 acsmre 14582 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
84, 6, 73syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
9 pgpfac1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
105subgss 15671 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
12 pgpfac1.d . . . . . 6  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
1413eldifad 3333 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( K `  { A } )
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
1711, 16sseldd 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1918mrcsncl 14542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
208, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
2115, 20syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2322lsmub1 16144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  W ) )
2421, 2, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
W ) )
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
2624, 25sstrd 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( od `  G
)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (gEx `  G )
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w )
)
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  G )
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 16563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  E  /\  P  ||  M ) )
3938simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  M )
40 pgpprm 16081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
4130, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
42 prmz 13759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
44 prmnn 13758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4645nnne0d 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
47 dvdsval2 13530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4843, 46, 36, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4939, 48mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  P
)  e.  ZZ )
5017snssd 4011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
518, 18, 50mrcssidd 14555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
5251, 15syl6sseqr 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
53 snssg 4000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
5416, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
5552, 54mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
5635subgmulgcl 15683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( M  /  P )  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  ->  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  S )
5721, 49, 55, 56syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  S )
5826, 57sseldd 3350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  U )
59 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6059subgcl 15680 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  C  e.  U  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  U )  ->  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  e.  U )
619, 14, 58, 60syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  U )
6212, 61syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
6311, 62sseldd 3350 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  B )
6418mrcsncl 14542 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  D  e.  B
)  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G
) )
658, 63, 64syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )
6622lsmsubg2 16330 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
671, 2, 65, 66syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
68 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 16139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y ) ) )
70 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) )
715, 35, 70, 18cycsubg2 15707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  D  e.  B )  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
724, 63, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
7372rexeqdv 2918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y ) ) )
74 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  D )  e. 
_V
7574rgenw 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  ZZ  ( n  .x.  D )  e.  _V
76 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
w ( -g `  G
) y )  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) )
7776eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  x  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
7870, 77rexrnmpt 5846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ZZ  (
n  .x.  D )  e.  _V  ->  ( E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) ) )
7975, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )
8073, 79syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8180rexbidv 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8269, 81bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8382adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )
852ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  e.  (SubGrp `  G
) )
86 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  W )
87 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  ZZ )
8887zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  CC )
8945nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  CC )
9146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  =/=  0 )
9288, 90, 91divcan1d 10100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  x.  P
)  =  n )
9392oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( n 
.x.  D ) )
944ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Grp )
9513eldifbd 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
9622lsmsubg2 16330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
971, 21, 2, 96syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
9824, 57sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
9968subgsubcl 15681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D
( -g `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
100993expia 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
101100impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10297, 98, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
10312oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D ( -g `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  =  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
10411, 14sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
1055subgss 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
10621, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
107106, 57sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )
1085, 59, 68grppncan 15605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )  ->  ( ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  =  C )
1094, 104, 107, 108syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
110103, 109syl5eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
111110eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
112102, 111sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
11395, 112mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W )
)
114113ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) )
11541ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  Prime )
116 coprm 13778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  n  <->  ( P  gcd  n )  =  1 ) )
117115, 87, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n 
<->  ( P  gcd  n
)  =  1 ) )
11843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
119 bezout 13718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
120118, 87, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
121 eqeq1 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  (
( P  gcd  n
)  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) ) )
1221212rexbidv 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
123120, 122syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
12494adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
125118adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
126 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
127125, 126zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  e.  ZZ )
12887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
129 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  ZZ )
130128, 129zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  e.  ZZ )
13163ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  D  e.  B )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  B )
1335, 35, 59mulgdir 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( P  x.  a )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  b
)  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
13597ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( S  .(+) 
W )  e.  (SubGrp `  G ) )
13790adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
138 zcn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
139138ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
140137, 139mulcomd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  =  ( a  x.  P ) )
141140oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( ( a  x.  P
)  .x.  D )
)
1425, 35mulgass 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
144141, 143eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( a  .x.  ( P 
.x.  D ) ) )
14522lsmub2 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
14621, 2, 145syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  .(+) 
W ) )
14712oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( P 
.x.  D )  =  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
1485, 35, 59mulgdi 16303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( P  e.  ZZ  /\  C  e.  B  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
150147, 149syl5eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( P  .x.  ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ) )
1515, 35mulgass 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( M  /  P
)  e.  ZZ  /\  A  e.  B )
)  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P ) )  .x.  A )  =  ( P  .x.  ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) ) )
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
15336zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
154153, 89, 46divcan2d 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  P ) )  =  M )
155154oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( M 
.x.  A ) )
156152, 155eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
)  =  ( M 
.x.  A ) )
157156oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  A
) ) )
158150, 157eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  A ) ) )
159158, 37eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  W )
160146, 159sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
161160ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16335subgmulgcl 15683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
164136, 126, 162, 163syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
165144, 164eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16688adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
167 zcn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
168167ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  CC )
169166, 168mulcomd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  =  ( b  x.  n ) )
170169oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( ( b  x.  n )  .x.  D
) )
1715, 35mulgass 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
173170, 172eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
17484oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( w (
-g `  G )
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
1751ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Abel )
1765subgss 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( W  e.  (SubGrp `  G
)  ->  W  C_  B
)
17785, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  B )
178177, 86sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  B )
1795, 35mulgcl 15633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )  ->  (
n  .x.  D )  e.  B )
18094, 87, 131, 179syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  B )
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 16299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )  =  ( n  .x.  D ) )
182174, 181eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( n  .x.  D ) )
183146ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
184183, 86sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18524sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( S  .(+)  W ) )
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18768subgsubcl 15681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  w  e.  ( S  .(+)  W )  /\  x  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( w
( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W )
)
188135, 184, 186, 187syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W ) )
189182, 188eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
190189adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
19135subgmulgcl 15683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  b  e.  ZZ  /\  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
192136, 129, 190, 191syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
193173, 192eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
19459subgcl 15680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( n  x.  b )  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )  -> 
( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) )  e.  ( S  .(+)  W ) )
195136, 165, 193, 194syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  .x.  D )
( +g  `  G ) ( ( n  x.  b )  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
196134, 195eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
197 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  .x.  D ) )
198197eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
( 1  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
199196, 198syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
200199rexlimdvva 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) )  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
201123, 200syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
2025, 35mulg1 15623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  B  ->  (
1  .x.  D )  =  D )
203131, 202syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( 1  .x.  D
)  =  D )
204203eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
205201, 204sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
206117, 205sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
207114, 206mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  ||  n )
208 dvdsval2 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
209118, 91, 87, 208syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
210207, 209mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  /  P
)  e.  ZZ )
2115, 35mulgass 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( n  /  P )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( n  /  P
)  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
21393, 212eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
214159ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  W )
21535subgmulgcl 15683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
n  /  P )  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  W )  ->  (
( n  /  P
)  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
21685, 210, 214, 215syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
217213, 216eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  W )
21868subgsubcl 15681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  w  e.  W  /\  (
n  .x.  D )  e.  W )  ->  (
w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) )  e.  W )
21985, 86, 217, 218syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) )  e.  W )
22084, 219eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  W )
221220ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  (
w  e.  W  /\  n  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
222221rexlimdvva 2842 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
22383, 222sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  ->  x  e.  W
) )
224223imdistanda 693 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  -> 
( x  e.  S  /\  x  e.  W
) ) )
225 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
226 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  W )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  W ) )
227224, 225, 2263imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  i^i  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  ->  x  e.  ( S  i^i  W ) ) )
228227ssrdv 3355 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  ( S  i^i  W ) )
229228, 33sseqtrd 3385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  {  .0.  } )
23029subg0cl 15678 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
23121, 230syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
23229subg0cl 15678 . . . . . 6  |-  ( ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )
23367, 232syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )
234231, 233elind 3533 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
235234snssd 4011 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
236229, 235eqssd 3366 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  } )
23722lsmass 16156 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
23821, 2, 65, 237syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
23962, 113eldifd 3332 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
24018, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 16561 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( U  \  ( S  .(+)  W ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
241239, 240mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
242238, 241eqtr3d 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U )
243 ineq2 3539 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
244243eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  {  .0.  } ) )
245 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
246245eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+) 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  U ) )
247244, 246anbi12d 710 . . 3  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) ) )
248247rspcev 3066 . 2  |-  ( ( ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
24967, 236, 242, 248syl12anc 1216 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 2966    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321    C. wpss 3322   {csn 3870   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343   ran crn 4833   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    / cdiv 9985   NNcn 10314   ZZcz 10638    || cdivides 13527    gcd cgcd 13682   Primecprime 13755   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370  Moorecmre 14512  mrClscmrc 14513  ACScacs 14515   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405  .gcmg 15406  SubGrpcsubg 15664   odcod 16017  gExcgex 16018   pGrp cpgp 16019   LSSumclsm 16122   Abelcabel 16267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-disj 4256  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15534  df-minusg 15535  df-sbg 15536  df-mulg 15537  df-subg 15667  df-eqg 15669  df-ga 15797  df-cntz 15824  df-od 16021  df-gex 16022  df-pgp 16023  df-lsm 16124  df-cmn 16268  df-abl 16269
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  16565
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