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Theorem pgpfac1lem3 17645
Description: Lemma for pgpfac1 17648. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w )
)
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
pgpfac1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
pgpfac1.mw  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
pgpfac1.d  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    w, t, A    t, D, w    t,  .(+) , w    t, P, w    t, B    t, G, w    t, U, w   
t, C, w    t, S, w    t, W, w    ph, t, w    t,  .x. , w    t, K, w
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w, t)    M( w, t)    O( w, t)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables  b  x  y  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 pgpfac1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
3 ablgrp 17370 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
41, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5 pgpfac1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgacs 16803 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
7 acsmre 15509 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
84, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
9 pgpfac1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
105subgss 16769 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
12 pgpfac1.d . . . . . 6  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
1413eldifad 3454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( K `  { A } )
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
1711, 16sseldd 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1918mrcsncl 15469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
208, 17, 19syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
2115, 20syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2322lsmub1 17243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  W ) )
2421, 2, 23syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
W ) )
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
2624, 25sstrd 3480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( od `  G
)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (gEx `  G )
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w )
)
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  G )
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 17644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  E  /\  P  ||  M ) )
3938simprd 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  M )
40 pgpprm 17180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
42 prmz 14597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
44 prmnn 14596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4645nnne0d 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
47 dvdsval2 14286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4843, 46, 36, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4939, 48mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  P
)  e.  ZZ )
5017snssd 4148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
518, 18, 50mrcssidd 15482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
5251, 15syl6sseqr 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
53 snssg 4136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
5416, 53syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
5552, 54mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
5635subgmulgcl 16781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( M  /  P )  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  ->  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  S )
5721, 49, 55, 56syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  S )
5826, 57sseldd 3471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  U )
59 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6059subgcl 16778 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  C  e.  U  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  U )  ->  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  e.  U )
619, 14, 58, 60syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  U )
6212, 61syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
6311, 62sseldd 3471 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  B )
6418mrcsncl 15469 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  D  e.  B
)  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G
) )
658, 63, 64syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )
6622lsmsubg2 17432 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
671, 2, 65, 66syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
68 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 17238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y ) ) )
70 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) )
715, 35, 70, 18cycsubg2 16805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  D  e.  B )  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
724, 63, 71syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
7372rexeqdv 3039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y ) ) )
74 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  D )  e. 
_V
7574rgenw 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  ZZ  ( n  .x.  D )  e.  _V
76 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
w ( -g `  G
) y )  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) )
7776eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  x  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
7870, 77rexrnmpt 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ZZ  (
n  .x.  D )  e.  _V  ->  ( E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) ) )
7975, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )
8073, 79syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8180rexbidv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8269, 81bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8382adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
84 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )
852ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  e.  (SubGrp `  G
) )
86 simplrl 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  W )
87 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  ZZ )
8887zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  CC )
8945nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
9089ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  CC )
9146ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  =/=  0 )
9288, 90, 91divcan1d 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  x.  P
)  =  n )
9392oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( n 
.x.  D ) )
944ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Grp )
9513eldifbd 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
9622lsmsubg2 17432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
971, 21, 2, 96syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
9824, 57sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
9968subgsubcl 16779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D
( -g `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
100993expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
101100impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10297, 98, 101syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
10312oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D ( -g `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  =  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
10411, 14sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
1055subgss 16769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
10621, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
107106, 57sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )
1085, 59, 68grppncan 16696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )  ->  ( ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  =  C )
1094, 104, 107, 108syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
110103, 109syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
111110eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
112102, 111sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
11395, 112mtod 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W )
)
114113ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) )
11541ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  Prime )
116 coprm 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  n  <->  ( P  gcd  n )  =  1 ) )
117115, 87, 116syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n 
<->  ( P  gcd  n
)  =  1 ) )
11843ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
119 bezout 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
120118, 87, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
121 eqeq1 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  (
( P  gcd  n
)  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) ) )
1221212rexbidv 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
123120, 122syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
12494adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
125118adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
126 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
127125, 126zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  e.  ZZ )
12887adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
129 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  ZZ )
130128, 129zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  e.  ZZ )
13163ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  D  e.  B )
132131adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  B )
1335, 35, 59mulgdir 16734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( P  x.  a )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  b
)  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
13597ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
136135adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( S  .(+) 
W )  e.  (SubGrp `  G ) )
13790adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
138 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
139138ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
140137, 139mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  =  ( a  x.  P ) )
141140oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( ( a  x.  P
)  .x.  D )
)
1425, 35mulgass 16739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
144141, 143eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( a  .x.  ( P 
.x.  D ) ) )
14522lsmub2 17244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
14621, 2, 145syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  .(+) 
W ) )
14712oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( P 
.x.  D )  =  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
1485, 35, 59mulgdi 17402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( P  e.  ZZ  /\  C  e.  B  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
150147, 149syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( P  .x.  ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ) )
1515, 35mulgass 16739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( M  /  P
)  e.  ZZ  /\  A  e.  B )
)  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P ) )  .x.  A )  =  ( P  .x.  ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) ) )
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
15336zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
154153, 89, 46divcan2d 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  P ) )  =  M )
155154oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( M 
.x.  A ) )
156152, 155eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
)  =  ( M 
.x.  A ) )
157156oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  A
) ) )
158150, 157eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  A ) ) )
159158, 37eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  W )
160146, 159sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
161160ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
162161adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16335subgmulgcl 16781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
164136, 126, 162, 163syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
165144, 164eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16688adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
167 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
168167ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  CC )
169166, 168mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  =  ( b  x.  n ) )
170169oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( ( b  x.  n )  .x.  D
) )
1715, 35mulgass 16739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
173170, 172eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
17484oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( w (
-g `  G )
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
1751ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Abel )
1765subgss 16769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( W  e.  (SubGrp `  G
)  ->  W  C_  B
)
17785, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  B )
178177, 86sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  B )
1795, 35mulgcl 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )  ->  (
n  .x.  D )  e.  B )
18094, 87, 131, 179syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  B )
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 17398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )  =  ( n  .x.  D ) )
182174, 181eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( n  .x.  D ) )
183146ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
184183, 86sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18524sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( S  .(+)  W ) )
186185ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18768subgsubcl 16779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  w  e.  ( S  .(+)  W )  /\  x  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( w
( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W )
)
188135, 184, 186, 187syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W ) )
189182, 188eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
190189adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
19135subgmulgcl 16781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  b  e.  ZZ  /\  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
192136, 129, 190, 191syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
193173, 192eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
19459subgcl 16778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( n  x.  b )  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )  -> 
( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) )  e.  ( S  .(+)  W ) )
195136, 165, 193, 194syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  .x.  D )
( +g  `  G ) ( ( n  x.  b )  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
196134, 195eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
197 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  .x.  D ) )
198197eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
( 1  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
199196, 198syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
200199rexlimdvva 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) )  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
201123, 200syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
2025, 35mulg1 16716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  B  ->  (
1  .x.  D )  =  D )
203131, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( 1  .x.  D
)  =  D )
204203eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
205201, 204sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
206117, 205sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
207114, 206mt3d 128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  ||  n )
208 dvdsval2 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
209118, 91, 87, 208syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
210207, 209mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  /  P
)  e.  ZZ )
2115, 35mulgass 16739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( n  /  P )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( n  /  P
)  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
21393, 212eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
214159ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  W )
21535subgmulgcl 16781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
n  /  P )  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  W )  ->  (
( n  /  P
)  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
21685, 210, 214, 215syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
217213, 216eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  W )
21868subgsubcl 16779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  w  e.  W  /\  (
n  .x.  D )  e.  W )  ->  (
w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) )  e.  W )
21985, 86, 217, 218syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) )  e.  W )
22084, 219eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  W )
221220ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  (
w  e.  W  /\  n  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
222221rexlimdvva 2931 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
22383, 222sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  ->  x  e.  W
) )
224223imdistanda 697 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  -> 
( x  e.  S  /\  x  e.  W
) ) )
225 elin 3655 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
226 elin 3655 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  W )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  W ) )
227224, 225, 2263imtr4g 273 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  i^i  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  ->  x  e.  ( S  i^i  W ) ) )
228227ssrdv 3476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  ( S  i^i  W ) )
229228, 33sseqtrd 3506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  {  .0.  } )
23029subg0cl 16776 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
23121, 230syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
23229subg0cl 16776 . . . . . 6  |-  ( ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )
23367, 232syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )
234231, 233elind 3656 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
235234snssd 4148 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
236229, 235eqssd 3487 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  } )
23722lsmass 17255 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
23821, 2, 65, 237syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
23962, 113eldifd 3453 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
24018, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 17642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( U  \  ( S  .(+)  W ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
241239, 240mpdan 672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
242238, 241eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U )
243 ineq2 3664 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
244243eqeq1d 2431 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  {  .0.  } ) )
245 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
246245eqeq1d 2431 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+) 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  U ) )
247244, 246anbi12d 715 . . 3  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) ) )
248247rspcev 3188 . 2  |-  ( ( ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
24967, 236, 242, 248syl12anc 1262 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442    C. wpss 3443   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    / cdiv 10268   NNcn 10609   ZZcz 10937    || cdvds 14283    gcd cgcd 14442   Primecprime 14593   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297  Moorecmre 15439  mrClscmrc 15440  ACScacs 15442   Grpcgrp 16620   -gcsg 16622  .gcmg 16623  SubGrpcsubg 16762   odcod 17116  gExcgex 17117   pGrp cpgp 17118   LSSumclsm 17221   Abelcabl 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-eqg 16767  df-ga 16895  df-cntz 16922  df-od 17120  df-gex 17121  df-pgp 17122  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  17646
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